4.1.2圆的一般方程【正式】

解：(1)由2x2 2y2 4x 12y 1 0 即：（x 1)2 ( y 3)2 21
得x2 y2 2x 6y 1 0 2
2
故它表示以（1，3）为圆心,
42 为半径的圆. 2
(2)由x2 y2 2ax 0 故它表示以（ a,0） 得（x a)2 y2 a2 0 为圆心，a 为半径的圆
解：设所求圆的方程为：(x a)2 (y b)2 r2(r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2
(2 a)2 (8 b)2 r2
a2 b 3
r 5
所求圆的方程为 (x 2)2 (y 3)2 25
方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆吗?
将x2+y2+Dx+Ey+F=0配方为标准方程
(1)当D2 E 2 4F 0时,
方程 x2 y2 Dx Ey F 0表示圆心在
( D , E )半径为1 D2 E 2 4F的圆
22
2
(2)当D2 E2 4F 0时,
方程x2
y2
例5. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上， 被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0相切，求反射光线所在直线 的方程.
A(-3，3) •
C(2, 2)
•
• B(-3，-3)
切,则b _2_或_-2
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一：
y
A(5,1)
几何方法
O
x
E
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法二：待定系数法
D 4
E
6
F 12
所求圆的方程为 x2 y2 4x 6 y 12 0
[小结]: 注意:求圆的方程时,要学会根据题目 条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般 采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采 用圆的一般方程用待定系数法求解.
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
巩固：
(1)已知圆x2 y2 Dx Ey F 0的圆心为
(2,3),半径为4,则D _4__ E -_6__ F -_3__
(2)x2 y2 2ax y a 0表示圆, 则a的取值范围是a___R_,_a 1
2
(3)圆x2 y2 4x 2by b2 0与x轴相
Dx
Ey
F
0表示点(
D 2
,
E 2
)
(3)当D2 E 2 4F 0时,
方程x2 y2 Dx Ey F 0不表示任何图形 .
[定义] : 圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
(D2 E2 4F 0)
圆心
-
D 2
,
E 2
r
D2 E2 4F 2
[观察]：圆的标准方程与圆的一般方程在
4.求圆心在直线y = x上,与两轴同时相切,
半径为2的圆的方程.
y
y=x
2
-2 C(-2,-2)
C(2,2)
02
x
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
小结:利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径.
展开圆的标准方程 (x-a )2+(y-b)2=r2 得：x2+y2-2a x-2by+a2+b2-r2=0 即：x2+y2+Dx+Ey+F=0
圆的一般方程
【课前练习】 1.圆心在（-1,2），与 y 轴相切 (x+1)2+(y-2)2=1
2.已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),圆方程
(x-8)2+(y-3)2=13
3.已知两点A(4,9)、B(6,3), 以AB为直径的圆的方程是
(x-5)2+(y-6)2=10
4.求圆心在直线y = x上,与两轴同时相切,半径为2的 圆的方程.
（1）x2 y2 2x 6 y 1 0 ①是 (2)x2 y2 2x 6 y 10 0②不是 (3)x2 y2 2x 6 y 13 0③不是
例2：下列方程各表示什么图形?若是圆则
求出圆心、半径.(2)x2 y2 2ax 0(a 0) (1)2x2 2 y 2 4x 12y 1 0
形式上的异同点.
圆的标准方程 (xa)2 (yb)2 r2
x y 圆的一般方程
2
2
Dx Ey F 0
[说明]：
(D2 E2 4F 0)
(1)圆的标准方程的优点在于它明确地指出了
圆心和半径 ；
(2)圆的一般方程突出了方程形式上的特点.
（3）解题时最终用哪种方程格式都可以
例1：
判断以下方程是不是圆的方程?
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
7
2
(1)2
F 0