复数的几种表示形式

复数的几种表示形式 Prepared on 22 November 2020

复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。

坐标形式：z=a+bi。这个就非常简单了，它是复数的定义。

自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。

（a,b）对应复数在复平面上的坐标。

三角形式：z=r(cosθ+isinθ)

这个结合几何意义容易看出来：

记复数z的模为r，幅角为θ，

显然有a=rcosθ,b=rsinθ

代入坐标形式里即有：

Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2))

)）

=r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ

2

通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如：

在旋转的几何背景下，我们还容易发现：

Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))

特别地，令r=1，可以得到着名的王陆杰公式：

（cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ)

这个公式很有用，我们下一次再谈。

指数形式：z=re iθ

因此有e iθ=cosθ+isinθ

从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ

借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式

e i(nθ)=cosnθ+isinnθ=(e iθ)n=(cosθ+isinθ)n

这里面还藏着一个号称数学最美的式子：

特别地，令θ=π，则e iπ=-1。

我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。