数学方法在经济学中的应用

数学方法在经济中的应用

随着社会的发展，数学与经济的结合日益密切，越来越多的经济问题需要数学来解决，经济的发展又不断向数学提出了新的挑战。从日常生活中，经济学课程中，以及在应用数学与方法课程的学习中，了解了各种数学方法，以及其在经济学中的应用。

一、数学在经济学中的重要作用

数学被誉为科学的皇冠，从某种意义上说，是数学加快了经济学的发展，无论是从古典经济到古典经济学的转变，还是从“边际革命”到凯恩斯主义的转变，都与数学的应用有着重要的关系。将数学运用到经济学有以下几方面的优点：（一）作为简单明了的表达工具

数学最直观的特点就是简明扼要，而且有唯一值的特性。如果用文字的表达方式，由于不同的学者所使用的语言，翻译时存在的障碍，表达上存在的歧义，理解上的偏差等等都致使对研究成果造成误解，曾经就有一些学者因为表达方式不当使得他们的研究成果发表很长一段时间后都得不到其他人的认可。而使用数学语言，可以简单明了的表达所要的思想。如宏观经济学上的国民收入可以简明的列为Y=C+I+G+（X-M）,这样就可以用一个等式表明影响它的各个变量，继而研究各个变量的变化对总体的影响，通过这样的方法，可以简化研究时一些不必要的程序。

（二）作为论证经济学理论的重要工具

一个经济理论的产生，通常提出后还要不断地通过论证才能证明其价值性。数学有很强的逻辑性和推理性，用数学可以对经济学理论进行推导，如果在数学上他通不过，肯定其中存在一定的问题，就需要再重新思考下理论。如果通过数学文字来进行论证，需要大量的篇幅，但仍然没有较强的说服力，如果借助数学方法，经过数学论证的理论，贝U更容易被接受。如凯恩斯的《就业、利息、货币通论》经过凯恩斯学派的发展成为IS-LM模型，间或了其中的推论过程，让结果更加直接、明显。用数学方法虽然不是万能的，但它可以至少保证经济理论在逻辑上不出现错误，有助于正确理论的产生。

（三）提供量化的工具

传统的经济研究，通过用思辨式的议论方法得出结论，这样定性的分析只能

提供大概、总括的估计，其中存在着众多的不确定性，不利于让人信服，不利于政策的实施执行，不利于具体问题的解决。二通过量化这样的思路，可以将那些看似杂乱无章的资料整理加工起来，综合考察经济活动中的各个变量，进而研究经济现象，探索经济活动中存在的规律。例如在微观经济学中的边际、均衡等问题中，通过衡量就可以得出具体的数据，对时间有很大的指导意义。另外还可以看到数学在金融产品，衍生工具定价的问题中所起的重大作用，就是量化所提供的强大功能。

二、数学在经济学中的应用

由于在应用数学方法这门课程学习的数学方法有微分方程、优化模型、回归分析、主成份分析、模糊模式识别、灰色系统理论应用、神经网络方法和支持向量机方法。本文挑选了在经济领域应用得较多的微分方程和模糊模式识别方法来详细阐述。

(一)微分方程在经济学中的应用

微分方程应用到经济学领域，主要是通过对各种经济问题转化为各种各样的模型，然后对其进行分析。主要的模型有：供需均衡的价格调整模型、索洛新古典经济增长模型、新产品的推广模型。

1供需均衡的价格调整模型

在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某

商品的供给量S及需求量D与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为

S PI b i P, D =a-bP,

其中a i,b i,a,b均为常数，且b i> 0,b> 0; P为实际价格。

供需均衡的静态模型为

D 二a -bP,

* S=a i +b i P,

D(P)=S(P).

显然，静态模型的均衡价格为

P e4 •

b 0

对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉(W alras)

假设：超额需求[D(P)_S(P):为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖 方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此， t 时刻价格的变化率与超额 需求D 出成正比，即

d P

d<(D ^)，于是瓦尔拉假设下的动态模型为

d t D =a —bP(t),

S =

a i

b i P(t),

d P 拆二 k[D(P) -S(P)].

整理上述模型得 d P

(Pe-P),

d t 其中■ =k(b b i )>0,这个方程的通解为

P(t)=P e Ce ，•

假设初始价格为卩(0)夕0,代入上式得，C =P 0~P e ,于是动态价格调整模型的解为

P(t)=P e (P o-P e ) • e ，，

由于■>0，故

这表明，随着时间的不断延续，实际价格 P(t)将逐渐趋于均衡价格P e 。

2、索洛新古典经济增长模型

设Y(t)表示时刻t 的国民收入，K(t)表示时刻t 的资本存量，L(t)表示时刻t 的 劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：

Y = f(K,L) = Lf (r,1),

其中s 为储蓄率(s > 0)，，为劳动力增长率(■ > 0)，L 。表示初始劳动力(L 。> 0)，r=

K 称

L 为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量.

将K=rL 两边对t 求导，并 利用1有

d K=L d r r d L=L d r rL .

d t d t d t d t 又由模型中的方程可得

jdK d t 二 sY(t),

1

事实上，我们在(10斗2)式中，令裁,可得其均衡值小弘严

3、新产品的推广模型 d K sLf(r,1), d t

于是有

d r r^sf(r,1). (10_4_1) d t

取生产函数为柯布--道格拉斯(Cobb —Douglas)函数，即

XCLM OK L := A o Lr:,

其中A °>0, O v : < 1均为常数.

易知f(r,1)^0r>,将其代入(10^-1)式中得

_.订=sA 0r 【 (10_4_2)

方程两边同除以r ?,便有

d r 1 _

<

r r sA °.

d t 令r 1 -：之,则d Z =(1 -:•) ■ 7 dr ,上述方程可变为

d t d t

d z (1 —二)■ z 二SA 0(1

-二). d t 这是关于z 的一阶非齐次线性方程，其通解为

za"1"出 (C 为任意常数).

以zA-:代入后整理得

r(t)=j c e"1

® 当t=0时，若r(O)h o ,则有

于是有

C*1-:— -Ao .

r(t)二 .|(r 0 七-s A o 廿

因此, 1

t i m r(t ^(-A o )":.

匚

I

—