等差数列及其前n项和 习题课

解一：设首项为a1,公差为d,则
d 5
12a1 6(a1
d)
1211
2 65
2
d
354 2d 32
6a1
6
2
5
2d
17
例6. 一个等差数列的前12项之和为354，
前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，
求公差。
解二：
由
SS奇偶 S奇
S偶 32
27
354
S偶 S奇
习
A ab
2
d 6.性质: 在等差数列an 中， 为公差，
若 m, n, p, q N 且 m n p q
那么： am an a p aq
7.推论: 在等差数列中，与首末两项距离相 等的两项和等于首末两项的和，即
a1 an a2 an1 a3 an2
8. 数列an 前n项和:
等差数列习题课
要
1.定义：an-an-1=d（d为常数） （n≥2）
点 2.等差数列的通项公式：
复 an=a1+(n-1)d
习 3.等差数列的通项变形公式：
an=am+（n-m）·d
要 4、 如果在两个数a与b中间插入一个数A，
使得a、、A、 构成等差数列， 那么A叫做
点 a与b的等差中项.
复 5、 如果a、、A、 成等差数列 ， 那么
192 162
S偶 S奇 6d d 5
例7. Leabharlann Baidu差数列共有２n＋１项，所 有奇数项之和为１３２，所有偶数 项之和为１２０，则n等于__1_0___.
练习: 一项数为偶数的等差数列，奇数
项之和为24，偶数项 之和为30， 若最后一
项比第一项大 21 ，求此数列的首项、公
差、及项数. 2
3
4, d
6
Sn 4n n(n 1) 6 3n2 n 2
例3. 已知正整数数列an中,前n项和
Sn
满足 Sn
1 12
(an
3)2
,
求证: an为等差数列.
例4.已知数列{an }前n项和
Sn 12n n2
（1）求证：{an } 为等差数列；
（２）记数列
{a n
}
的前项和为 Tn
，
求
结论：等差数列的前n项和Sn
na1
n(n 1)d 2
的图
象是相应抛物线上一群孤立的点，它的最值由抛
物线的开口决定。
联系: an = a1+(n-1)d的图象是相 应直线 上 一群孤立的点.它的最值又是怎样?
例1. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn， a3=12， S12>0，S13<0.
(1)求公差d 的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最 大，并说明理由.
例2、已知一个等差数列的前10项的和是
310，前20项的和是1220，由此可以确
定求其前n项和的公式吗？
解： S10 310，S20 1220
Sn
na1
n(n 1) 2
d
1200aa11
45d 310 190d 1220
a1
T n
的表达式.
例5. 已知等差数列｛an｝的前 m项和为30， 前 2m项和为100，求它的前 3m项的和。
解: 在等差数列｛an｝中,有: Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列. 所以,由2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m)得: S3m=210
例6. 一个等差数列的前12项之和为354， 前12项中偶数项与奇数项之比为32：27， 求公差。
Sn a1 a2 an
9.性质：若数列 an前n项和为 sn，则
an SS1n Sn1
(n 2) (n 1)
10.等差数列的前 n项和公式:
Sn
n(a1 an ) 2
或
Sn
na1
n(n 1)d 2
注意：两n个, a公1 ,式d中,都a三n表个明要求 S必n 须已知 11.性质: Sm, S2m-Sm, S3m-S2m,也成等差数列.
3
a1= 2
d=
2
n=8
(1)已知等差数列an，公差为d ,
有2n项，则S偶 S奇
S偶 S奇
S奇 S偶
(2)已知等差数列an, 公差为d, 共
有2n 1项, 则S奇 S偶
S奇 S偶
S奇 S偶
例项和8.已sn知和数an列之间an的的关首系项满a１＝an＝１,其22SSn前n21n (n 2)
(1)
求证
:
1 Sn
为等差数列；
(2) 求 {an}的通项公式.