综合实验二：人口增长模型及其数量预测
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92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4];
plot(t,x,'*',t,x);
a0=[0.001,1];
a=curvefit('fun1',a0,t,x)
ti=1790:5:2020;
xi=fun1(a,ti);
hold on
plot(ti,xi);
t1=2010;
x1=fun1(a,t1)
hold off
在MATLAB命令窗口运行该程序，输出结果a = 0.0148 -23.8311；x1 =358.4822
因此，参数a=0.0148, b=-23.8307，拟合函数在2010处的函数值f(2010)=358.4822。但在求解时，出现提示“矩阵接近奇异或尺度不好，结果可能不准确”。通过作图，我们来看看拟合的误差如何，见图2。从图中可看出，拟合曲线与原数据还是比较吻合，因此，预测美国在2010年的人口数为358.4822百万。
1840
1850
人口(×106)
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
年 份
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
人口(×106)
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
年 份
1930
1940
1950
1960
1970
1980
人口(×106)
123.2
131.7
建ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法1：
由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t),f(t)=ea+bt，a,b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数 的最小值点。其中xi是ti时刻美国的人口数。利用MATLAB软件中的曲线拟合程序“curvefit”，编制的程序如下：
150.7
179.3
204.0
226.5
实验分析：
首先在平面上绘出已知数据的分布图，通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律，再用函数拟合的方法确定其中的未知参数，从而估计出2010年的美国人口。利用MATLAB软件作出美国人口统计数据的连线图如图1。
图1美国人口统计数据连线图图2建模方法1的拟合效果图
提示1：Malthus模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为r。记时刻t的人口为x(t），（即x(t）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x0，于是得到如下微分方程：
提示 2 ：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设 人口的增长率为 x 的减函数，如设 r(x)=r(1-x/ ) ，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ， 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：
四、实验要求与任务
从 1790 — 1980 年间美国每隔 10 年的人口记录如表综 2.1 所示：
表综 2.1
年 份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
人口 ( × 10 6 )
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
年 份
1860
1870
1880
1890
1900
1910
2010年美国人口预测报告
97自动化乔宇
实验目的：
1．掌握利用MATLAB软件解决拟合问题的方法
2．学会用拟合方法解决实际问题
实验内容：
给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一个间隔），请估计出美国2010年的人口。
表1美国人口统计数据
年 份
1790
1800
1810
1820
1830
通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛 。
二、实验内容
1.数学建模的基本方法；
2.查阅资料理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型；
3.Matlab软件中曲线拟合函数的异常情况处理；
建模方法2：
上述模型对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x，我们假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x)，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t时，静增长率趋于零。
综合实验一：人口增长模型及其数量预测
一、实验目的及意义
1.学习由实际问题去建立数学模型的全过程；
2.训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题；
3.应用matlab软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab程序来求解其中的数学模型；
4.提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；
指数函数的函数M——文件
functionf=fun1(a,t)
f=exp(a(1)*x+a(2));
用最小二乘拟合求上述函数中待定常数，以及检验拟合效果的图形绘制程序
t=1790:10:1990;
x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76...
4.误差分析与模型检验。
三、实验步骤
1.分析理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型；
2.利用Matlab软件求解上述两个模型；
3.设计数据拟合方法；
4.编写M文件,保存文件并运行观察运行结果(数值或图形)，并进行误差分析；
5.利用至少两种模型预测人口数量；
6.分析、整理和总结，写出实验报告。
1920
人口 ( × 10 6 )
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
年 份
1930
1940
1950
1960
1970
1980
人口 ( × 10 6 )
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
用以上数据检验马尔萨斯 ( Malthus) 人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国 2010 年的人口数量。
plot(t,x,'*',t,x);
a0=[0.001,1];
a=curvefit('fun1',a0,t,x)
ti=1790:5:2020;
xi=fun1(a,ti);
hold on
plot(ti,xi);
t1=2010;
x1=fun1(a,t1)
hold off
在MATLAB命令窗口运行该程序，输出结果a = 0.0148 -23.8311；x1 =358.4822
因此，参数a=0.0148, b=-23.8307，拟合函数在2010处的函数值f(2010)=358.4822。但在求解时，出现提示“矩阵接近奇异或尺度不好，结果可能不准确”。通过作图，我们来看看拟合的误差如何，见图2。从图中可看出，拟合曲线与原数据还是比较吻合，因此，预测美国在2010年的人口数为358.4822百万。
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人口(×106)
3.9
5.3
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17.1
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年 份
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1870
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1910
1920
人口(×106)
31.4
38.6
50.2
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76.0
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106.5
年 份
1930
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1970
1980
人口(×106)
123.2
131.7
建ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法1：
由图1可以发现美国人口的变化规律曲线近似为一条指数函数曲线，因此我们假设美国的人口满足函数关系x=f(t),f(t)=ea+bt，a,b为待定常数，根据最小二乘拟合的原理，a,b是函数 的最小值点。其中xi是ti时刻美国的人口数。利用MATLAB软件中的曲线拟合程序“curvefit”，编制的程序如下：
150.7
179.3
204.0
226.5
实验分析：
首先在平面上绘出已知数据的分布图，通过直观观察，猜测人口随时间的变化规律，再用函数拟合的方法确定其中的未知参数，从而估计出2010年的美国人口。利用MATLAB软件作出美国人口统计数据的连线图如图1。
图1美国人口统计数据连线图图2建模方法1的拟合效果图
提示1：Malthus模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为r。记时刻t的人口为x(t），（即x(t）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x0，于是得到如下微分方程：
提示 2 ：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设 人口的增长率为 x 的减函数，如设 r(x)=r(1-x/ ) ，其中 r 为固有增长率 (x 很小时 ) ， 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：
四、实验要求与任务
从 1790 — 1980 年间美国每隔 10 年的人口记录如表综 2.1 所示：
表综 2.1
年 份
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
人口 ( × 10 6 )
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
年 份
1860
1870
1880
1890
1900
1910
2010年美国人口预测报告
97自动化乔宇
实验目的：
1．掌握利用MATLAB软件解决拟合问题的方法
2．学会用拟合方法解决实际问题
实验内容：
给出美国人口从1790年到1990年间的人口如表1（每10年为一个间隔），请估计出美国2010年的人口。
表1美国人口统计数据
年 份
1790
1800
1810
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通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛 。
二、实验内容
1.数学建模的基本方法；
2.查阅资料理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型；
3.Matlab软件中曲线拟合函数的异常情况处理；
建模方法2：
上述模型对过去的统计数据吻合得较好，但也存在问题，即人口是呈指数规律无止境地增长，此时人口的自然增长率随人口的增长而增长，这不可能。一般说来，当人口较少时增长得越来越快，即增长率在变大；人口增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小这是因为，自然资源、环境条件等因素不允许人口无限制地增长，它们对人口的增长起着阻滞作用，而且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。而且人口最终会饱和，趋于某一个常数x，我们假设人口的静增长率为r(1-x(t)/x)，即人口的静增长率随着人口的增长而不断减小，当t时，静增长率趋于零。
综合实验一：人口增长模型及其数量预测
一、实验目的及意义
1.学习由实际问题去建立数学模型的全过程；
2.训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题；
3.应用matlab软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab程序来求解其中的数学模型；
4.提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；
指数函数的函数M——文件
functionf=fun1(a,t)
f=exp(a(1)*x+a(2));
用最小二乘拟合求上述函数中待定常数，以及检验拟合效果的图形绘制程序
t=1790:10:1990;
x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76...
4.误差分析与模型检验。
三、实验步骤
1.分析理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型；
2.利用Matlab软件求解上述两个模型；
3.设计数据拟合方法；
4.编写M文件,保存文件并运行观察运行结果(数值或图形)，并进行误差分析；
5.利用至少两种模型预测人口数量；
6.分析、整理和总结，写出实验报告。
1920
人口 ( × 10 6 )
31.4
38.6
50.2
62.9
76.0
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106.5
年 份
1930
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人口 ( × 10 6 )
123.2
131.7
150.7
179.3
204.0
226.5
用以上数据检验马尔萨斯 ( Malthus) 人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国 2010 年的人口数量。