组合数学讲义及答案4章容斥原理.

《组合数学》第四章容斥原理，

＝

＝＝表 4.5.4 重集

的（3，6）圆排列周期为 9 的(3,6圆排列（9 个）⊙xxxyyyyyy，

⊙xxyxyyyyy，⊙xxyyxyyyy，⊙xxyyyxyyy，⊙xxyyyyxyy，⊙xxyyyyyxy，

⊙xyxyxyyyy，⊙xyxyyxyyy，⊙xyxyyyxyy 周期为 3 的(3,6圆排列（1 个）⊙x y y x y y x y y 46/49

《组合数学》第四章容斥原理习题四 1、基本题：1～6，9～10，11，13～16 2、加强题：7，12，17，18 3、提高题：8 1. 试求不超过 200 的正整数中素数的个数。 2. 问由 1 到 2000 的整数中：（1）至少能被 2，3，5 之一整除的数有多少个？（2）至少能被 2，3，5 中两个数同时整除的数有多少个？（3）能且只能被2，3，5 中 1 个数整除的数有多少个？ 3. 求从 1 到 500 的整数中能被 3 和 5 整除但不能被 7 整除的数的个数。 4. 某人参加一种会议，会上有 6 位朋友，他和其中每一人在会上各相遇 12 次，每二人各相遇 6 次，每三人各相遇 4 次，每四人各相遇

3 次，每五人各相遇 2 次，与六人都相遇 1 次，一人也没遇见的有 5 次，问该人共参加几次会议？ 5. n 位的四进制数中，数字 1，2，3 各自至少出现一次的数有多少个？ 6. 某照相馆给 n 个人分别照相后，装入每人的纸袋里，问出现以下情况有多少种可能：（1）没有任何一个人得到自己的相片；（2）至少有一人得到自己的相片；（3）至少有两人得到自己的相片。 7. 把{a,a,a,b,b,b,c,c,c}排成相同字母互不相邻的排列，有多少种排法？ 8. 把1,2,…,n 排成一圈，令 f(n表示没有相邻数字恰好是自然顺 47/49

《组合数学》第四章容斥原理序的排列数（1）求 f(n；（2）证明 f(n＋ f(n ＋1＝Dn . 9. n 个单位各派两名代表出席一个会议，2n 位代表围圆桌而坐，试问（1）同一单位的代表相邻而坐的方案有多少？（2）同一单位的代表互不相邻的方案又有多少？ 10. 一书架有 m 层，分别放置 m 类不同种类的书，每层 n 册，现将书架上的图书全部取出整理，整理过程中要求同一类的书仍然放在同一层，但可以打乱顺序，试问（1） m 类书全不在各自原来层次上的方案数有多少？（2）每层的 n 本书都不在原来位置上的方案数是多少？（3） M 层书都不在原来层次，每层 n 本书也不在原来位置上的方案数又是多少？ 11. n 个人参加一晚会，每人寄存一顶帽子和一把雨伞，会后各人也是任取一顶帽子和一把雨伞，问（1）有多少种可能使得没有人能拿到他原来的任一件物品？（2）有多少种可能使得没有人能同时拿到他原来的两件物品？ 12. 求方程的整数解的个数，若（1）每个变元都满足。（2）

8 ，，某班选修数学、英语和语文课程的学生分别为 79、 80、 81 人，其中兼修数学和英语的 68 人，兼修英语和语文的 69 人，兼修语文和数学的 70 人，三门课都修的有 61 人，一门课也未修的有 6 人，问该班共有多少名学生? 14. 某班有学生 25 人，其中有 14 人会西班牙语，12 人会法语， 48/49

《组合数学》第四章容斥原理 6 人会法语和西班牙语，5 人会德语和西班牙语，还有 2 人对这三种语言都会说，而 6 个讲德语的人都至少还会说另一种语言（指这三种语言中的一种）。求不会外语的人数 15. 某班每天放学后都要打扫卫

生，其项目有扫地、整理桌椅、擦窗子和黑板共 4 项工作，故每天留下 4 名同学打扫卫生，每人恰好完成其中的一项。而今天留下的 4 名同学中，甲喜欢整理桌椅或擦窗子，乙不喜欢擦窗子，丙不喜欢整理桌椅，丁同学对每一项工作都不挑剔。那么，能给出多少种安排打扫卫生的方案，使得每个同学都能干自己喜欢且不用干自己不喜欢的工作？ 16. 单位举行晚会，有 6 个部门各表演一个节目，上场次序编号为 1，2，…，6。现进行抽签，以决定上场次序。但其中有一个部门希望自己抽到的编号为偶数，另一个部门不希望抽到 4 或 6，还有一个部门不希望自己的编号是 3 的倍数。那么，抽签结果使大家都满意的概率是多少？ 17. 现有 t 种不同颜色的球，第一种颜色的球有个，第二种颜色的球有个，…，第 t 种颜色的球有个，要把这些球分别装入 k 个不同的盒子中，且使每盒至少放入一个球，问共有多少种不同的装法？ 18. 某单位欲在开会用的圆桌上摆上若干盆鲜花，且摆出来的图案为圆形。现有红、黄、蓝三种颜色的鲜花可供选用，且每种颜色的鲜花有充分多，问：（1）从中选出 6 盆鲜花，能摆成多少种不同的图案？（2）若选出 9 盆鲜花，但希望摆出来的圆形图案的重复周期为 3，又可摆成多少种图案？（3）若只选出 3 盆鲜花，又能摆出多少种图案来？并请列举出所有摆法？ 49/49