概率论与数理统计第1讲
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n
P( Ai )
i 1
1 Cn
1i j n
P( Ai Aj )
1i j k n
P( Ai Aj Ak ) ( 1) n -1 P( A1 An )
1 1 1 3 n 1 Cn2 Cn (1) n1 Cn n n( n 1) n( n 1)( n 2) n! 1 1 1 1 (1) n 1 2! 3! n!
（1.1.2）
（2）加法公式
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
推广:设有 n 个随机事件 A1 , , An ，则
（1.1.3）
2
P( A1 An ) P( Ai )
i 1
n
1i j n
P( Ai Aj )
1i j k Biblioteka Baidun
n
(1) k 1
k 1
1 k!
思考：求 lim Pn . 若令 Qn 为随机将 n 封信装入 n 个信封中全部都装错的概率，求
n
lim Qn .
n
复习提醒：古典概型不要做太难的题，考试中考察古典概型往往与随机变量分 布、数字特征等联系。 2 几何概型 定义 1.5 设随机试验 E 的样本空间中包含无限（不可列集）个等可能的样本 点，称此试验为几何概型。 设古典概型 E ，样本空间为 ，随机事件 A 发生的概率为
P( A)
S ( A) 3 S ( ) 4
本题中事件的几何度量为二维平面区域的面积。 复习提醒：几何概型关键抓住几何测度函数，可以类比于二维随机变量的均匀 分布。
第三节 条件概率和乘法公式
1 条件概率 定义 1.6 设随机事件 A, B ，若 P( A) 0 ，则称
P( B A)
P( AB) P( A)
A C
P( A B ) 0 P A 1 P B
B
P AB P A P B P A B 1
D
【分析与解答】本题考察的是事件互斥条件下的概率。 由于事件 A, B 互斥，则 AB ，即得 P AB 0 ，事实上，本题没有说明事件
A B A B A B A B A B A AB
x A ,则 x B A B且A B 集合 A , B 的并集 集合 A , B 的交集 集合 A , B 的差集 集合 A 的补集 集合 A , B 的交集为空集
事件间运算律与集合的运算律是一致的，不需要做重复记忆。 （交换律、结合律、 分配律、德摩根律） 复习提醒：记住以下几点 （1）学会事件的表示；例如“至少”、“至多”、“恰有”等刻画。
】
【分析与解答】本题考察的是条件概率。 因为 P A B 1 ，说明事件 B 发生事件 A 一定发生，即得 B A ，则
A B A ，于是 P( A B) P( A). 答案为【C】 ，选项 B 不一定正确。
复习提醒：条件概率的考察比较频繁，是考试中的一个重点，方法利用定义法 或是缩小样本空间法。 （1）条件概率的应用的条件，标志词一般是“当、已知、如果”； （2）与随机变量联系的条件概率； 下面考察与随机变量有关的条件概率。 思考： X , Y 的概率密度 1, 0 x 1, 0 y 2 x f x, y ， other 0, 1 1 3 求 P Y | X 。答案为 . 2 2 4 2 乘法公式 设随机事件 A, B ，若 P( A) 0 ，则
P( A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
信封中问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率 Pn 是多少？ 【分析与解答】本题考察的是配对的问题。 设 Ai 表示第 i(i 1, 2,, n) 信纸恰好装进第 i 个信封中，则 1 1 P( Ai Aj ) , P( Ai ) , n(n 1) n 1 依次类推 P( Ai Aj Ak ) , n( n 1)( n 2) Pn P A1 A2 An
【分析与解答】本题考察的是随机事件的运算。 由于 AB AB ，于是利用德摩根律得 AB A B AB ，即
A B A B AB A B A B
答案选【B】. 2 概率的概念和性质 2.1 概率的概念 定义 1.3 设随机试验 E ，样本空间 ，对于随机事件 A ，则将 P( A) 定 义为满足下面三个条件的集合函数： （1） P( A) 0 ； （2） P() 1 ； （3）可列可加性，设 A1 , An , 两两互斥，则
P( AB) P( A) P( B A)
同理若 P( B) 0 ，则
（1.3.2）
P( AB) P( B) P( A B)
推广：设随机事件 A, B, C ，若 P( AB) 0 ，则
（1.3.3）
P( ABC ) P(C | AB) P( B | A) P( A)
设 n 个随机事件 A1 , A2 , , An ， P( A1 A2 An 1 ) 0,
（1.2.1）
【例】袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随 2 机地从袋中各取一球，取后不放回，则第 2 个人取到黄球的概率是_______. 5 【分析与解答】本题考察的是古典概型。 这里利用的抽签原理， 依次取球第 i 人取出黄球的概率不变， 为黄球所占的比例。 分析：设 Ai 表示第 i (i 1, 2) 人取出黄球，于是 20 19 30 20 2 . 50 49 50 49 5 思考：依次不放回取出一白一黄球的概率，任取两只为一白一黄球的概率？ 【例】某人一次写了 n 封信，又写了 n 个信封，如果他任意将 n 张信纸装入 n 个
（1.3.1）
为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率。 条件概率为事件 A, B 同时发生占事件 A 发生的比例，条件概率求解时可以通过 缩小样本空间法来求解。 其满足公理化性质，与概率的公理化性质平行，这里不一一列举。
5
【例】设 A, B 为随机事件，且 PB 0 ， P A B 1 ，则必有【 （A） P A B P A （C） P A B P A （B） P A B PB （D） P A B PB .
6
（3）已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; 【分析与解答】本题考察的是几个容易混淆的概率。 （1）第三次取得次品这是个抽签的模型，没有对前两次是否取得次品做出要 3 求，于是第三次取得次品的概率为次品占有的比例 . 10 （ 2）记 Ai (i 1, 2,3) 为第 i 次取得次品，第三次才取得次品的事件为 A1 A2 A3 ， 于是第三次才取得次品的概率为
第二节 古典概型与几何概型
1 古典概型 定义 1.4 设随机试验 E 的样本空间中包含有限个等可能的样本点， 称此试验 为古典概型。 设古典概型 E ，样本空间为 {1 , 2 , , n } ，随机事件 A 发生的概率为
3
P( A)
k 事件A含基本事件数 n 中含基本事件数
第一讲
随机事件与概率
引言：本讲内容是概率论的基础理论，是概率论的理论依据，在后面几讲中都有 其具体的表现，毫不夸张地说学好这一章是概率论试题上取得高分的前提。 考试要求： 1 了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系 及运算． 2 理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何 型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯 (Bayes)公式． 3 理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验 的概念，掌握计算有关事件概率的方法．
（4）减法公式 设随机事件 A, B ，则
（1.1.4）
P( A B) P( A) P( AB)
特别地，当 A B 时，则
（1.1.5）
P( A B) P( A) P( B)
（1.1.6）
复习提醒：应用概率公式计算时同时注重事件间的运算性质和运算律。 【例】设事件 A, B 互斥（互不相容） ，则【 】
4
P( A)
S ( A) S ( )
（1.2.2）
其中 S () 为几何测度函数，其形式为区间长度、区域面积和空间立体体积。 【例】 （ 2007）在区间（ 0,1）中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于 的概率为________. 【分析与解答】本题考察的是几何概型。 1 2
设取正数 x , y (0,1) ,由 x, y 所构成的全体为 ，其几何面积为 S () 1. 1 ，事件 A 构成的几何区域为图示中的阴影部分， 2 1 1 1 3 其几何面积为 S ( A) 1 2 ，于是 2 2 2 4 记 A 为两数之差的绝对值小于
P( Ai Aj Ak ) ( 1) n -1 P( A1 An )
注：多个事件的和事件的概率求解可以利用此公式，但是有时用起来比较复杂， 如果事件间有独立性的条件，则利用概率公式将和事件的概率转化为对逆事件 乘积，这将大大的简化计算的过程。 （3）事件 A 与逆事件 A 满足
P( A) P( A) 1
P A i 1 i P ( Ai ) i 1
（1.1.1）
称 P ( A) 为随机事件 A 的概率。 2.2 概率重要公式 （1）有限可加性，设 A1 , An 两两互斥，则
n n P Ai P ( Ai ) i 1 i 1
表 1.1 随机事件关系与运算 关系及 运算 集合角度 事件角度 事件 A 发生必导致事件 B 的发生 事件 A , B 等价 和事件：事件 A , B 至少有一个发生 积事件：事件 A , B 同时发生 差事件：事件 A 发生，但事件 B 不发生 逆事件: 事件 A 不发生 互斥：一次试验下事件 A , B 不能同时发生
第一部分
本讲知识点分析
第一节 基本概念
1 样本空间和随机事件 定义 1.1 随机试验 E 所有可能结果的全体，称为样本空间，记为 .每一个 可能的结果称为样本点或是基本事件，记为 . 这里样本空间为基本事件空间。 随机实验的样本是由试验的目的确定的。 定义 1.2 设随机试验 E ，称样本空间 的子集为随机事件，简称事件，常 记为 A, B, C 等；随机事件其本质为集合，若一次试验下出现 A, 则称事件 A 发生，若一次试验下出现 A, ，则称事件 A 没有发生。 注：样本空间和随机事件均为集合，可以就具体的随机试验来分析，加强对定义 的理解。 2 随机事件关系及运算 以下内容从集合和事件含义两方面讨论，有助于大家记忆。
1
（2）记忆事件运算性质中的德摩根律，即
A B A B ， A B A B
（3）区分互斥与独立两个概念。 【例】设随机事件 A, B 满足 AB AB ，则下列选项中正确的是【 （A） A B （C） A B A （B） A B （D） A B B 】
A, B 是否独立，所以选项（B）不能直接得到；同时事件 A, B 不一定是对逆事件，
不能选（C） ；选 项 （ A）
P( A B ) P( A B) 1 P( A B)
不能计算出结果，选项（D）
P A B P ( AB ) 1 P AB 1
答案【D】.
（1.3.4）
P( A1 A2 An1 An ) P ( An | A1 An1 ) P ( An1 | A1 An 2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) （1.3.5）
【例】 设 10 件产品中有 3 件次品, 回. 试求下列事件的概率. （1）第三次取得次品; （2）第三次才取得次品; 7 件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放
P( Ai )
i 1
1 Cn
1i j n
P( Ai Aj )
1i j k n
P( Ai Aj Ak ) ( 1) n -1 P( A1 An )
1 1 1 3 n 1 Cn2 Cn (1) n1 Cn n n( n 1) n( n 1)( n 2) n! 1 1 1 1 (1) n 1 2! 3! n!
（1.1.2）
（2）加法公式
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
推广:设有 n 个随机事件 A1 , , An ，则
（1.1.3）
2
P( A1 An ) P( Ai )
i 1
n
1i j n
P( Ai Aj )
1i j k Biblioteka Baidun
n
(1) k 1
k 1
1 k!
思考：求 lim Pn . 若令 Qn 为随机将 n 封信装入 n 个信封中全部都装错的概率，求
n
lim Qn .
n
复习提醒：古典概型不要做太难的题，考试中考察古典概型往往与随机变量分 布、数字特征等联系。 2 几何概型 定义 1.5 设随机试验 E 的样本空间中包含无限（不可列集）个等可能的样本 点，称此试验为几何概型。 设古典概型 E ，样本空间为 ，随机事件 A 发生的概率为
P( A)
S ( A) 3 S ( ) 4
本题中事件的几何度量为二维平面区域的面积。 复习提醒：几何概型关键抓住几何测度函数，可以类比于二维随机变量的均匀 分布。
第三节 条件概率和乘法公式
1 条件概率 定义 1.6 设随机事件 A, B ，若 P( A) 0 ，则称
P( B A)
P( AB) P( A)
A C
P( A B ) 0 P A 1 P B
B
P AB P A P B P A B 1
D
【分析与解答】本题考察的是事件互斥条件下的概率。 由于事件 A, B 互斥，则 AB ，即得 P AB 0 ，事实上，本题没有说明事件
A B A B A B A B A B A AB
x A ,则 x B A B且A B 集合 A , B 的并集 集合 A , B 的交集 集合 A , B 的差集 集合 A 的补集 集合 A , B 的交集为空集
事件间运算律与集合的运算律是一致的，不需要做重复记忆。 （交换律、结合律、 分配律、德摩根律） 复习提醒：记住以下几点 （1）学会事件的表示；例如“至少”、“至多”、“恰有”等刻画。
】
【分析与解答】本题考察的是条件概率。 因为 P A B 1 ，说明事件 B 发生事件 A 一定发生，即得 B A ，则
A B A ，于是 P( A B) P( A). 答案为【C】 ，选项 B 不一定正确。
复习提醒：条件概率的考察比较频繁，是考试中的一个重点，方法利用定义法 或是缩小样本空间法。 （1）条件概率的应用的条件，标志词一般是“当、已知、如果”； （2）与随机变量联系的条件概率； 下面考察与随机变量有关的条件概率。 思考： X , Y 的概率密度 1, 0 x 1, 0 y 2 x f x, y ， other 0, 1 1 3 求 P Y | X 。答案为 . 2 2 4 2 乘法公式 设随机事件 A, B ，若 P( A) 0 ，则
P( A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
信封中问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率 Pn 是多少？ 【分析与解答】本题考察的是配对的问题。 设 Ai 表示第 i(i 1, 2,, n) 信纸恰好装进第 i 个信封中，则 1 1 P( Ai Aj ) , P( Ai ) , n(n 1) n 1 依次类推 P( Ai Aj Ak ) , n( n 1)( n 2) Pn P A1 A2 An
【分析与解答】本题考察的是随机事件的运算。 由于 AB AB ，于是利用德摩根律得 AB A B AB ，即
A B A B AB A B A B
答案选【B】. 2 概率的概念和性质 2.1 概率的概念 定义 1.3 设随机试验 E ，样本空间 ，对于随机事件 A ，则将 P( A) 定 义为满足下面三个条件的集合函数： （1） P( A) 0 ； （2） P() 1 ； （3）可列可加性，设 A1 , An , 两两互斥，则
P( AB) P( A) P( B A)
同理若 P( B) 0 ，则
（1.3.2）
P( AB) P( B) P( A B)
推广：设随机事件 A, B, C ，若 P( AB) 0 ，则
（1.3.3）
P( ABC ) P(C | AB) P( B | A) P( A)
设 n 个随机事件 A1 , A2 , , An ， P( A1 A2 An 1 ) 0,
（1.2.1）
【例】袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随 2 机地从袋中各取一球，取后不放回，则第 2 个人取到黄球的概率是_______. 5 【分析与解答】本题考察的是古典概型。 这里利用的抽签原理， 依次取球第 i 人取出黄球的概率不变， 为黄球所占的比例。 分析：设 Ai 表示第 i (i 1, 2) 人取出黄球，于是 20 19 30 20 2 . 50 49 50 49 5 思考：依次不放回取出一白一黄球的概率，任取两只为一白一黄球的概率？ 【例】某人一次写了 n 封信，又写了 n 个信封，如果他任意将 n 张信纸装入 n 个
（1.3.1）
为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率。 条件概率为事件 A, B 同时发生占事件 A 发生的比例，条件概率求解时可以通过 缩小样本空间法来求解。 其满足公理化性质，与概率的公理化性质平行，这里不一一列举。
5
【例】设 A, B 为随机事件，且 PB 0 ， P A B 1 ，则必有【 （A） P A B P A （C） P A B P A （B） P A B PB （D） P A B PB .
6
（3）已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; 【分析与解答】本题考察的是几个容易混淆的概率。 （1）第三次取得次品这是个抽签的模型，没有对前两次是否取得次品做出要 3 求，于是第三次取得次品的概率为次品占有的比例 . 10 （ 2）记 Ai (i 1, 2,3) 为第 i 次取得次品，第三次才取得次品的事件为 A1 A2 A3 ， 于是第三次才取得次品的概率为
第二节 古典概型与几何概型
1 古典概型 定义 1.4 设随机试验 E 的样本空间中包含有限个等可能的样本点， 称此试验 为古典概型。 设古典概型 E ，样本空间为 {1 , 2 , , n } ，随机事件 A 发生的概率为
3
P( A)
k 事件A含基本事件数 n 中含基本事件数
第一讲
随机事件与概率
引言：本讲内容是概率论的基础理论，是概率论的理论依据，在后面几讲中都有 其具体的表现，毫不夸张地说学好这一章是概率论试题上取得高分的前提。 考试要求： 1 了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系 及运算． 2 理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何 型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯 (Bayes)公式． 3 理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验 的概念，掌握计算有关事件概率的方法．
（4）减法公式 设随机事件 A, B ，则
（1.1.4）
P( A B) P( A) P( AB)
特别地，当 A B 时，则
（1.1.5）
P( A B) P( A) P( B)
（1.1.6）
复习提醒：应用概率公式计算时同时注重事件间的运算性质和运算律。 【例】设事件 A, B 互斥（互不相容） ，则【 】
4
P( A)
S ( A) S ( )
（1.2.2）
其中 S () 为几何测度函数，其形式为区间长度、区域面积和空间立体体积。 【例】 （ 2007）在区间（ 0,1）中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于 的概率为________. 【分析与解答】本题考察的是几何概型。 1 2
设取正数 x , y (0,1) ,由 x, y 所构成的全体为 ，其几何面积为 S () 1. 1 ，事件 A 构成的几何区域为图示中的阴影部分， 2 1 1 1 3 其几何面积为 S ( A) 1 2 ，于是 2 2 2 4 记 A 为两数之差的绝对值小于
P( Ai Aj Ak ) ( 1) n -1 P( A1 An )
注：多个事件的和事件的概率求解可以利用此公式，但是有时用起来比较复杂， 如果事件间有独立性的条件，则利用概率公式将和事件的概率转化为对逆事件 乘积，这将大大的简化计算的过程。 （3）事件 A 与逆事件 A 满足
P( A) P( A) 1
P A i 1 i P ( Ai ) i 1
（1.1.1）
称 P ( A) 为随机事件 A 的概率。 2.2 概率重要公式 （1）有限可加性，设 A1 , An 两两互斥，则
n n P Ai P ( Ai ) i 1 i 1
表 1.1 随机事件关系与运算 关系及 运算 集合角度 事件角度 事件 A 发生必导致事件 B 的发生 事件 A , B 等价 和事件：事件 A , B 至少有一个发生 积事件：事件 A , B 同时发生 差事件：事件 A 发生，但事件 B 不发生 逆事件: 事件 A 不发生 互斥：一次试验下事件 A , B 不能同时发生
第一部分
本讲知识点分析
第一节 基本概念
1 样本空间和随机事件 定义 1.1 随机试验 E 所有可能结果的全体，称为样本空间，记为 .每一个 可能的结果称为样本点或是基本事件，记为 . 这里样本空间为基本事件空间。 随机实验的样本是由试验的目的确定的。 定义 1.2 设随机试验 E ，称样本空间 的子集为随机事件，简称事件，常 记为 A, B, C 等；随机事件其本质为集合，若一次试验下出现 A, 则称事件 A 发生，若一次试验下出现 A, ，则称事件 A 没有发生。 注：样本空间和随机事件均为集合，可以就具体的随机试验来分析，加强对定义 的理解。 2 随机事件关系及运算 以下内容从集合和事件含义两方面讨论，有助于大家记忆。
1
（2）记忆事件运算性质中的德摩根律，即
A B A B ， A B A B
（3）区分互斥与独立两个概念。 【例】设随机事件 A, B 满足 AB AB ，则下列选项中正确的是【 （A） A B （C） A B A （B） A B （D） A B B 】
A, B 是否独立，所以选项（B）不能直接得到；同时事件 A, B 不一定是对逆事件，
不能选（C） ；选 项 （ A）
P( A B ) P( A B) 1 P( A B)
不能计算出结果，选项（D）
P A B P ( AB ) 1 P AB 1
答案【D】.
（1.3.4）
P( A1 A2 An1 An ) P ( An | A1 An1 ) P ( An1 | A1 An 2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) （1.3.5）
【例】 设 10 件产品中有 3 件次品, 回. 试求下列事件的概率. （1）第三次取得次品; （2）第三次才取得次品; 7 件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放