自然法,理论力学
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
过点M在法平面内做一直线垂直于n， 称为副法线，取b为副法线单位矢量， 其方向由右手螺旋法则确定，且满足 下式
b = τ×n
§5–3 自然法
二、自然轴系
自然轴系是随着动点位置的改变而变动的轴系
§5–3 自然法
二、自然轴系
自然轴系是随着动点位置的改变而变动的轴系
§5–3 自然法
二、自然轴系
曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值
§5–3 自然法
四、点的运动加速度
vr = drr = τr ⋅ ds = ds τr = vτr
速度对时间求一阶导数，得 ar
dt
= dvr
=
dt
dv τr
+
v
dt
dτr
代入
dτr dt
=
dτr ds
ds dt
=
v ρ
dt nr
dt 则
dt
ar
=
dv τr dt
+
v2 ρ
nr
=
atτr
+
an nr
§5–3 自然法
3
2013-04-15
五、例题分析
a1t
DB
ω
v2 s
v = π 2 cos 2πt 20
3、销钉B 的加速度
O
φA R
θ Ra2n
O'
aτ
=
dv dt
=
− π3 sin2πt 10
E
an
=
v2 R
=
π 4 cos 2 40
2πt
当 t1=1/4 s 时： v1 = 0,
a1n = 0,
x&2 + y& 2
= ( x&&y& − &x&y& )2
x&2 + y& 2
得法向加速度： an =
x&&y& − &x&y& x&2 + y& 2
由
an
=
v2 ρ
( ) 得轨迹的曲率半径：
ρ = v2 an
=
v3 x&&y& − &x&y&
=
x&2 + y& 2 3/ 2 x&&y& − &x&y&
弧坐标运动方程： s = f (t ) （动点沿轨迹的运动方程）
§5–3 自然法
二、自然轴系
切线单位矢量 τ = lim Δ r = d r Δs→0 Δs ds
密切面：当P’点无限 接近于P点时，过这 两点的切线所组成的 平面，称为M点的密 切面。
lim α′ = α
P′→P
§5–3 自然法
二、自然轴系
=
1 ρ
nr
§5–3 自然法
1
2013-04-15
三、点的运动速度
点的速度v是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示。
vr = drr = τr ⋅ ds = ds τr = vτr dt dt dt
速度的大小等于弧坐标对 时间的一阶导数，即
v = ds dt
如果ds/dt>0，则速度与τ的正向相同，弧坐标随时间 而增大。反之，速度与τ的正向相反。
由纯滚动条件
OC = MC = rϕ = rωt
直角坐标表示的运动方程:
x = OC − O M sinϕ = r(ωt − sin ωt) 1
y = O1C − O1M cosϕ = r(1 − cosωt)
直角坐标表示的速度投影:
vx = x& = rω (1 − cos ωt ) , vy = y& = rω sin ωt
but L2 + (ut)2
§5–3 自然法
五、例题分析
2、自然坐标法，C点的运动方程：
Q
tan
ϕ
=
ut L
,
∴ s = bϕ = b ⋅ arctan ut L
3、 C点的速度为：
y b
ϕ O
L
C(xC, yC)
A S(ϕ)
u
x B C0
vc
=
ds dt
=
b
dφ dt
= b u / L = bLu 1+ u 2t 2 / L2 L2 + u 2t 2
由密切面得到的几点结论： z 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的。 z 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于 密切面内的平面曲线。 z 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率。 法平面：过点M做一平面垂直于切线。。
法平面与密切面的交线，称为主法线， 取n为主法线单位矢量，正向指向曲线 凹侧。
注意：一条曲线在一点有一条切线，是否只有一条法线？
法向加速度沿哪一条法线？
§5–3 自然法
四、点的运动加速度
指出在下列情况下,点M作何种运动?
<1> an = 0 , aτ = 常数 (匀变速直线运动)
<2> aτ = 0, ρ = 常 数
(匀速圆周运动)
<3> a = 0 (匀速直线运动或静止)
<4> an = 0 , ρ → ∞ (直线运动)
[[例例2d1]d大].vrt.小点=d变d作arvrt化曲(直率与线线,运在d.d动曲曲vt ,线线有画中都何出应一不的为样同下切)?列,就向d情d直v加t况线速=下和a度点曲为的线速a加τ分度速=别的度。dd说vt方明。
向是否正确。 (1)M1点作匀速运动 (2)M2点作加速运动 (3)M3点作减速运动
<5> aτ = 0,v = 常数 (匀速运动)
<6> ρ = 常数 (圆周运动) <7> aτ = 0 (匀速运动)
<8> an = 0 (直线运动)
<9> aτ = 0, an = 常数 (匀速圆周运动) <10> aτ = 常数, an = 常数 (匀变速曲线运动)
§5–3 自然法
五、例题分析
at
=
dv dt
=
d2s dt 2
——切向加速度
an
=
v2 ρ
=
1 ρ
(ds )2 dt
——法向加速度
速度矢量的大小随时间的
变化率 速度矢量的方向随时间的
变化率
§5–3 自然法
四、点的运动加速度
全加速度
a = a 2t + a 2n 曲线匀速运动
at
tanθ = at an
= 0, v = v0 = 常数, s = s0 + v0t
当 ϕ = π/4时，t =L/u，所以：
vc
=
bu 2L
§5–3 自然法
五、例题分析
[例5].已知杆AB以匀角速度ω 绕A点转动，小环M套在杆AB 和 水平杆上，杆AB初始位置铅直。 求：小环M沿水平杆以及相对于AB杆的速度、加速度。
解：1.小环M轨迹已知（水平直线），其运动方程为：
x = h tan ωt
( ) a1τ
= − π3 10
m/s2
当 t2= 1 s 时：
v2
=
π2 (m/s),
20
( ) a2n
=
π4 40
m/s2
,
a2τ = 0
§5–3 自然法
五、例题分析
[例7].已知点在平面中的运动方程为x=f1(t)和y=f2(t) ，求点的切 向加速度、法向加速度和轨迹的曲率半径的表达式。
解：写出关系 vx = x&, vy = y&; ax = &x&, ay = &y&
§5–3 自然法
五、例题分析
例8 已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯
滚动），设轮子转角ϕ = ωt(ω为常值），如图所示。求用直
角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点 的速度、切向加速度及法向加速度。
§5–3 自然法
五、例题分析
解: M点作曲线运动，取 直角坐标系如图所示。
R
R
E
§5–3 自然法
五、例题分析
转角的运动规律
ϕ = π sin 2πt 8
解：1、（B点轨迹已知）以 O’为原点， O’D为运动正方
向，弧坐标运动方程为：
D B
ω
s = Rθ = 2Rϕ
= π sin 2πt
s
40
O
φ
θ
A
R
R
O'
2、销钉B 的速度：
v = s& = π 2 cos2πt 20
E
(0 ≤ ωt ≤ 2π)
a x = &x& = rω 2 sin ω t , a y = &y& = rω 2 co s ω t
全加速度为:
a=
a
2 x
+
a
2 y
= rω 2
切向加速度为:
at
=
v&
=
rω 2
cos
ωt 2
法向加速度为:
an =
a2
−
a2 t
=
rω 2
sin
ωt 2
§5–3 自然法
曲线匀变速运动
at
=
常数, v
=
v0
+
att, s
=
s0
+
v0t
+
1 2
att 2
¾速度矢量 v 和加速度矢量 a 都位于密切面内，加速度矢量在副
法线方向上没有分量。
（1）点作直线运动时，ρ → ∞， an=0，点只有切向加速度。 （2）点作匀速运动时， v =const.，aτ =0，点只有法向加速度。 （3）点作匀速直线运动时， aτ =0， an=0。
4
§5–3 自然法
五、例题分析
[例3]. 判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动)
(不可能)
(匀速曲线运动)
(不可能)
(减速曲线运动)
(不可能或改作 直线减速运动)
(不可能或改作线加速直线运动) §5–3 自然法
2
2013-04-15
五、例题分析
[例4].摇杆机构的滑杆AB以匀速u向上运动，试分别用直角坐标 法与自然坐标法建立摇杆上C点的运动方程，并求ϕ =π/4时C点的 速度。设初瞬时ϕ =0，摇杆OC= b。
B
分别求导两次，得：
M
C
v = dx = hω
h
dt cos2 ωt
ω
A
a
=
dv dt
=
2hω2 sin ωt cos3 ωt
§5–3 自然法
五、例题分析
2. 小环M相对于AB杆的轨迹也是直线，令AM=xr，则相对 运动方程为：
xr
=
h cos ωt
x’
B
M
x
C
分别求导两次，得：
vr
=
hω sin ωt cos2 ωt
解：1、直角坐标法，C点的运动方程：
y b
ϕ O
L
C(xC, yC)
A S(ϕ)
u
x B C0
AB = ut, OA = L2 + (ut)2
cosϕ = L , sin ϕ = ut
L2 + (ut)2
L2 + (ut)2
⎧ ⎪
xc
=
b cosϕ
=
∴
⎪ ⎨
⎪ ⎪⎩
yc
=
b sinϕ
=
bL L2 + (ut)2
因为
1 = lim Δϕ = dϕ ρ Δx→0 Δs ds
Δτr = 2 τr sin Δϕ 2
当Δs → 0 时，Δϕ → 0 ，Δτr 与 τr 垂直，且
Δτ =& Δϕ
τr = 1
dτ = lim Δτ = lim Δϕ nr = 1 nr
ds Δs→0 Δs Δs→0 Δs
ρ
所以
dτr ds
以及
v2 = vx2 + vy2 = x&2 + y& 2
求导并整理，得切向加速度：
2vat =Leabharlann 2x&&x& + 2 y&&y&
at
=
x&&x& + v
y&&y&
=
x&&x& + y&&y& x&2 + y& 2
§5–3 自然法
五、例题分析
由
an2
=
a2
−
at2
=
&x&2
+
&y&2
−
(
x&&x& + y&&y&)2
2013-04-15
一、点的运动方程
自然法主要用于实际计算，先决条件是点的运动轨迹已知。 如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运
动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧 长随时间变化的规律来描述。
以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标 轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
弧坐标具有以下要素： 1、有坐标原点(一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点) 2、有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向) 3、有相应的坐标系(自然轴系) 4、弧坐标：沿轨迹从O到点M的弧长。
速度为
v=
v
2 x
+
v
2 y
= rω
2(1 − cos ω t) = 2rω sin ω t （0 ≤ ω t ≤ 2π ) 2
§5–3 自然法
五、例题分析
曲线坐标表示的运动方程:
∫ ∫ s =
t
vdt =
t 2rω sin ωt dt = 4r(1 − cos ωt )
0
0
2
2
直角坐标表示的加速度投影:
( ) hω2 1+ sin2 ωt
ar =
cos3 ωt
h
ω
A §5–3 自然法
五、例题分析
[例6].销钉B在半径为R 的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑动，
求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s 时的加速度。已知OA=R=0.1 m，摆杆转
角的运动规律为
ϕ
=
π
sin
2πt
8
D B
ω
s
O
φA θ
O'
b = τ×n
§5–3 自然法
二、自然轴系
自然轴系是随着动点位置的改变而变动的轴系
§5–3 自然法
二、自然轴系
自然轴系是随着动点位置的改变而变动的轴系
§5–3 自然法
二、自然轴系
曲率：曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值
§5–3 自然法
四、点的运动加速度
vr = drr = τr ⋅ ds = ds τr = vτr
速度对时间求一阶导数，得 ar
dt
= dvr
=
dt
dv τr
+
v
dt
dτr
代入
dτr dt
=
dτr ds
ds dt
=
v ρ
dt nr
dt 则
dt
ar
=
dv τr dt
+
v2 ρ
nr
=
atτr
+
an nr
§5–3 自然法
3
2013-04-15
五、例题分析
a1t
DB
ω
v2 s
v = π 2 cos 2πt 20
3、销钉B 的加速度
O
φA R
θ Ra2n
O'
aτ
=
dv dt
=
− π3 sin2πt 10
E
an
=
v2 R
=
π 4 cos 2 40
2πt
当 t1=1/4 s 时： v1 = 0,
a1n = 0,
x&2 + y& 2
= ( x&&y& − &x&y& )2
x&2 + y& 2
得法向加速度： an =
x&&y& − &x&y& x&2 + y& 2
由
an
=
v2 ρ
( ) 得轨迹的曲率半径：
ρ = v2 an
=
v3 x&&y& − &x&y&
=
x&2 + y& 2 3/ 2 x&&y& − &x&y&
弧坐标运动方程： s = f (t ) （动点沿轨迹的运动方程）
§5–3 自然法
二、自然轴系
切线单位矢量 τ = lim Δ r = d r Δs→0 Δs ds
密切面：当P’点无限 接近于P点时，过这 两点的切线所组成的 平面，称为M点的密 切面。
lim α′ = α
P′→P
§5–3 自然法
二、自然轴系
=
1 ρ
nr
§5–3 自然法
1
2013-04-15
三、点的运动速度
点的速度v是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示。
vr = drr = τr ⋅ ds = ds τr = vτr dt dt dt
速度的大小等于弧坐标对 时间的一阶导数，即
v = ds dt
如果ds/dt>0，则速度与τ的正向相同，弧坐标随时间 而增大。反之，速度与τ的正向相反。
由纯滚动条件
OC = MC = rϕ = rωt
直角坐标表示的运动方程:
x = OC − O M sinϕ = r(ωt − sin ωt) 1
y = O1C − O1M cosϕ = r(1 − cosωt)
直角坐标表示的速度投影:
vx = x& = rω (1 − cos ωt ) , vy = y& = rω sin ωt
but L2 + (ut)2
§5–3 自然法
五、例题分析
2、自然坐标法，C点的运动方程：
Q
tan
ϕ
=
ut L
,
∴ s = bϕ = b ⋅ arctan ut L
3、 C点的速度为：
y b
ϕ O
L
C(xC, yC)
A S(ϕ)
u
x B C0
vc
=
ds dt
=
b
dφ dt
= b u / L = bLu 1+ u 2t 2 / L2 L2 + u 2t 2
由密切面得到的几点结论： z 空间曲线上的任意点都存在密切面，而且是唯一的。 z 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于 密切面内的平面曲线。 z 曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率。 法平面：过点M做一平面垂直于切线。。
法平面与密切面的交线，称为主法线， 取n为主法线单位矢量，正向指向曲线 凹侧。
注意：一条曲线在一点有一条切线，是否只有一条法线？
法向加速度沿哪一条法线？
§5–3 自然法
四、点的运动加速度
指出在下列情况下,点M作何种运动?
<1> an = 0 , aτ = 常数 (匀变速直线运动)
<2> aτ = 0, ρ = 常 数
(匀速圆周运动)
<3> a = 0 (匀速直线运动或静止)
<4> an = 0 , ρ → ∞ (直线运动)
[[例例2d1]d大].vrt.小点=d变d作arvrt化曲(直率与线线,运在d.d动曲曲vt ,线线有画中都何出应一不的为样同下切)?列,就向d情d直v加t况线速=下和a度点曲为的线速a加τ分度速=别的度。dd说vt方明。
向是否正确。 (1)M1点作匀速运动 (2)M2点作加速运动 (3)M3点作减速运动
<5> aτ = 0,v = 常数 (匀速运动)
<6> ρ = 常数 (圆周运动) <7> aτ = 0 (匀速运动)
<8> an = 0 (直线运动)
<9> aτ = 0, an = 常数 (匀速圆周运动) <10> aτ = 常数, an = 常数 (匀变速曲线运动)
§5–3 自然法
五、例题分析
at
=
dv dt
=
d2s dt 2
——切向加速度
an
=
v2 ρ
=
1 ρ
(ds )2 dt
——法向加速度
速度矢量的大小随时间的
变化率 速度矢量的方向随时间的
变化率
§5–3 自然法
四、点的运动加速度
全加速度
a = a 2t + a 2n 曲线匀速运动
at
tanθ = at an
= 0, v = v0 = 常数, s = s0 + v0t
当 ϕ = π/4时，t =L/u，所以：
vc
=
bu 2L
§5–3 自然法
五、例题分析
[例5].已知杆AB以匀角速度ω 绕A点转动，小环M套在杆AB 和 水平杆上，杆AB初始位置铅直。 求：小环M沿水平杆以及相对于AB杆的速度、加速度。
解：1.小环M轨迹已知（水平直线），其运动方程为：
x = h tan ωt
( ) a1τ
= − π3 10
m/s2
当 t2= 1 s 时：
v2
=
π2 (m/s),
20
( ) a2n
=
π4 40
m/s2
,
a2τ = 0
§5–3 自然法
五、例题分析
[例7].已知点在平面中的运动方程为x=f1(t)和y=f2(t) ，求点的切 向加速度、法向加速度和轨迹的曲率半径的表达式。
解：写出关系 vx = x&, vy = y&; ax = &x&, ay = &y&
§5–3 自然法
五、例题分析
例8 已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯
滚动），设轮子转角ϕ = ωt(ω为常值），如图所示。求用直
角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点 的速度、切向加速度及法向加速度。
§5–3 自然法
五、例题分析
解: M点作曲线运动，取 直角坐标系如图所示。
R
R
E
§5–3 自然法
五、例题分析
转角的运动规律
ϕ = π sin 2πt 8
解：1、（B点轨迹已知）以 O’为原点， O’D为运动正方
向，弧坐标运动方程为：
D B
ω
s = Rθ = 2Rϕ
= π sin 2πt
s
40
O
φ
θ
A
R
R
O'
2、销钉B 的速度：
v = s& = π 2 cos2πt 20
E
(0 ≤ ωt ≤ 2π)
a x = &x& = rω 2 sin ω t , a y = &y& = rω 2 co s ω t
全加速度为:
a=
a
2 x
+
a
2 y
= rω 2
切向加速度为:
at
=
v&
=
rω 2
cos
ωt 2
法向加速度为:
an =
a2
−
a2 t
=
rω 2
sin
ωt 2
§5–3 自然法
曲线匀变速运动
at
=
常数, v
=
v0
+
att, s
=
s0
+
v0t
+
1 2
att 2
¾速度矢量 v 和加速度矢量 a 都位于密切面内，加速度矢量在副
法线方向上没有分量。
（1）点作直线运动时，ρ → ∞， an=0，点只有切向加速度。 （2）点作匀速运动时， v =const.，aτ =0，点只有法向加速度。 （3）点作匀速直线运动时， aτ =0， an=0。
4
§5–3 自然法
五、例题分析
[例3]. 判断下列运动是否可 能出现,若能出现判断是什么运动?
(加速运动)
(不可能)
(匀速曲线运动)
(不可能)
(减速曲线运动)
(不可能或改作 直线减速运动)
(不可能或改作线加速直线运动) §5–3 自然法
2
2013-04-15
五、例题分析
[例4].摇杆机构的滑杆AB以匀速u向上运动，试分别用直角坐标 法与自然坐标法建立摇杆上C点的运动方程，并求ϕ =π/4时C点的 速度。设初瞬时ϕ =0，摇杆OC= b。
B
分别求导两次，得：
M
C
v = dx = hω
h
dt cos2 ωt
ω
A
a
=
dv dt
=
2hω2 sin ωt cos3 ωt
§5–3 自然法
五、例题分析
2. 小环M相对于AB杆的轨迹也是直线，令AM=xr，则相对 运动方程为：
xr
=
h cos ωt
x’
B
M
x
C
分别求导两次，得：
vr
=
hω sin ωt cos2 ωt
解：1、直角坐标法，C点的运动方程：
y b
ϕ O
L
C(xC, yC)
A S(ϕ)
u
x B C0
AB = ut, OA = L2 + (ut)2
cosϕ = L , sin ϕ = ut
L2 + (ut)2
L2 + (ut)2
⎧ ⎪
xc
=
b cosϕ
=
∴
⎪ ⎨
⎪ ⎪⎩
yc
=
b sinϕ
=
bL L2 + (ut)2
因为
1 = lim Δϕ = dϕ ρ Δx→0 Δs ds
Δτr = 2 τr sin Δϕ 2
当Δs → 0 时，Δϕ → 0 ，Δτr 与 τr 垂直，且
Δτ =& Δϕ
τr = 1
dτ = lim Δτ = lim Δϕ nr = 1 nr
ds Δs→0 Δs Δs→0 Δs
ρ
所以
dτr ds
以及
v2 = vx2 + vy2 = x&2 + y& 2
求导并整理，得切向加速度：
2vat =Leabharlann 2x&&x& + 2 y&&y&
at
=
x&&x& + v
y&&y&
=
x&&x& + y&&y& x&2 + y& 2
§5–3 自然法
五、例题分析
由
an2
=
a2
−
at2
=
&x&2
+
&y&2
−
(
x&&x& + y&&y&)2
2013-04-15
一、点的运动方程
自然法主要用于实际计算，先决条件是点的运动轨迹已知。 如果点沿着已知的轨迹运动，则点的运
动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧 长随时间变化的规律来描述。
以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标 轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
弧坐标具有以下要素： 1、有坐标原点(一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点) 2、有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向) 3、有相应的坐标系(自然轴系) 4、弧坐标：沿轨迹从O到点M的弧长。
速度为
v=
v
2 x
+
v
2 y
= rω
2(1 − cos ω t) = 2rω sin ω t （0 ≤ ω t ≤ 2π ) 2
§5–3 自然法
五、例题分析
曲线坐标表示的运动方程:
∫ ∫ s =
t
vdt =
t 2rω sin ωt dt = 4r(1 − cos ωt )
0
0
2
2
直角坐标表示的加速度投影:
( ) hω2 1+ sin2 ωt
ar =
cos3 ωt
h
ω
A §5–3 自然法
五、例题分析
[例6].销钉B在半径为R 的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑动，
求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s 时的加速度。已知OA=R=0.1 m，摆杆转
角的运动规律为
ϕ
=
π
sin
2πt
8
D B
ω
s
O
φA θ
O'