电极化强度

∫∫
+− + E0 E ⋅d S = q S +− ε 0 S内 S内 + S1 + S 2 1 ( q + q′) + − E ' = 0 + ε 0 S内 S内 +−
−σ '
1
+σ '
∑
∑
∑
+σ
− − +− − +− − +−
+−
−σ
+− E ⋅ d S = (∑q0 + ∑q′) + E0 ∫∫S ε 0 S内 S内 +− + 1 S1 + S 2 = (σ S1 − σ ′ S2 ) + − E' ε0 + +− ∵σ ′ = P +σ
A
εr
RA
q ∴C = U A − UB
RB
4πε 0ε r RA RB = RB − RA
讨论： 讨论： 电容器的电容与极板所带电量无关, 1. 电容器的电容与极板所带电量无关,只 与电容器的几何结构有关； 与电容器的几何结构有关； 充满介质的电容器， 2. 充满介质的电容器，其电容比真空时 的电容大εr倍；
n
e 0
+σ
−σ
E0 ∴E = 1 + χe 相对介电系数 令 ε r = 1 + χ e ----相对介电系数
∴E =
E0
∵ε r > 1
∴ E = E0 ε r < 0
εr
----极化电荷的电场将自由电 极化电荷的电场将自由电 荷的电场部分抵消的缘故
六.有介质时的高斯定理 电位移 由高斯定理有
∑
定义：单位体积内分子电矩的矢 定义： 量和为电极化强度， 量和为电极化强度，即
∑ p ----反映了电介质的极化程度 ----反映了电介质的极化程度 P=
i
∆V
单位：库仑/ 单位：库仑/米2 (C/m2)，与电荷 面密度的单位相同
讨论： 讨论：
P 是所选小体积元∆V内一点的 是所选小体积元∆ 电极化强度。 电极化强度。当电介质中各处的 电极化强度的大小和方向均相同 则称为均匀极化 均匀极化。 时，则称为均匀极化。
q0
εr
R
解: 电场分布球对称性 取半径为r 取半径为r并与金属球 同心的球面S 同心的球面S为高斯面
∫
S
D ⋅ d S = D4π r = q0
2
∴D =
或
q0
2
4π r q0 0 D= 2 r 4π r
方向沿径向向外
q0
电介质中的电场分布为
εr
2
R
D= D = E=
ε
ε 0ε r
4πε 0ε r r
(各向同性电介质) 各向同性电介质)
说明： 说明：
D 是一个辅助物理量，没有明显 是一个辅助物理量，
的物理意义，但有介质时， D 的物理意义，但有介质时，计算 E 通量比计算 通量简便 以上讨论的是各向同性介质， 以上讨论的是各向同性介质， 此时 D，E，P 方向一致
[例4]半径为R 的金属球带有正电荷q0， 4]半径为 的金属球带有正电荷q 半径为R 置于一均匀无限大的电介质中( 置于一均匀无限大的电介质中(相对介 求Baidu Nhomakorabea外的电场分布， 电常数为εr)，求球外的电场分布，极 化电荷分布和极化电荷电量。 化电荷分布和极化电荷电量。
1
2
2
解：设导体板面积 板间距离为d 为S，板间距离为d 未放电介质: 未放电介质:板间 场强大小和电压为
+σ
−σ
E0
V0
σ E0 = ε0
V0 = E0 d
充电介质:作以∆ 充电介质:作以∆S为底面积的高斯面
∴∫∫ D1 ⋅dS
S
+ σ1 − σ1 '
+ σ1 ' D1 − σ1
∆S
+σ 2
E1 D2
l
+
∴ σ ′ = P cos θ = P ⋅ n = Pn
n
−+ −+ −+ P −+ −+ −+ θ dS −+ −+ −+ n l
−σ '
+σ '
−
l
+
σ ′ = P ⋅ n = Pn
----截面上的束缚电荷面密度等于 ----截面上的束缚电荷面密度等于 极化强度沿该截面外法线方向 的分量
五.介质中的静电场 介质中某点的场强， 介质中某点的场强，是由外电场 和极化电荷的电场叠加而成σ ' − +σ ' +− E = E0 + E ′ +− + E0 − +− 以两块靠得很近的 +− + − 金属板为例 + − σ −σ′ + − E' + − E = E0 − E′ = + ε0 ε0 − +− +− ∵σ ' = P = P P = χ ε E
B
RB
RA
=∫
RB
λ dr =∫ . R 2πε ε r 0 r RB λ ln = 2πε0ε r RA
RB
A
RA
Edr
B
εr
A
l
RB λ U A − UB = ln 2πε0ε r RA
RB
RA
εr
B
A
l
q ∴C = U A −U B
=
RB λ ln 2πε 0ε r RA
λl
2πε 0ε r l = RB ln RA
1− εr
εr
q0 2 4πR
σ′=
1− εr
εr
2
q0 2 4πR
极化电荷电量为
1 q′ = σ ′ ⋅ 4πR = − 1 q0 εr
----q’与q0反号，而且数值小于q0 反号，而且数值小于
[例5]两带等量异号电荷的导体板平行靠 近放置,电荷面密度分别为+ 近放置,电荷面密度分别为+σ 和-σ ，板 间电压V 300V 间电压 V 0 = 300 V 。 如保持两板的电量不 变 ， 将板间的一半空间充以相对介电系 数 εr=4的电介质 ,则板间电压为多少 ？ 介 的电介质,则板间电压为多少？ 质上下表面的极化电荷面密度多大？ + σ1 +σ 2 +σ − σ1 ' E0 V0 + σ ' D ε r E1 D E 1 −σ − σ1 −σ 2
UA −UB
UA
UB
----电容器的电容 电容器的电容
1.平板电容器 1.平板电容器 设极板所带电荷为± 设极板所带电荷为±q
+q+
q σ E= = ε ε 0ε r S
B A
A
+ + + + + + +
εr
d
− − −S − − − −
−q −
B
UA −UB = ∫ E⋅dl = Ed =
qd
q ε 0ε r S 则 C= = UA −UB d
(各向同性) 各向同性)
χe：电介质的电极化率，无量纲。 电介质的电极化率，无量纲。 对均匀电介质， 对均匀电介质，χe为常数
*四. P 与束缚电荷面密度的关系 在均匀介质中，截取一个长为l，底 在均匀介质中，截取一个长为l 面积为d 体积为d 的小斜柱。 面积为dS，体积为dV的小斜柱。斜 柱的轴线与电极化强度的方向平行
5
板间电场强度为
§9-4 电容和电容器
一.孤立导体的电容 设孤立导体带电量为q 电势为U 设孤立导体带电量为q，电势为U
q 定义: 定义: C = ----孤立导体的电容 孤立导体的电容 U
单位:法拉( ),1F 单位:法拉(F),1F = 1C/V
二.电容器 电容器： 电容器：两个带有等值异号电荷 的导体组成的系统 设真空中的导体A 设真空中的导体A和B所带电量分 别为+ 别为+q和-q B A q 定义: 定义: C = −q +q
七. D，E，P 三矢量的关系 对于各向同性电介质
∵ P = χ eε 0 E
D = ε0E + P
∴ D = ε 0 E + χ eε 0 E = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E 介质的介电常数 定义： 定义： ε = ε 0ε r ----介质的介电常数
∴ D = εE
3. 计算电容器电容的步骤：
•设极板带有电荷±q,求两极板间场强； 设极板带有电荷± 求两极板间场强 场强； 由场强求出两极板间的电势差 电势差； •由场强求出两极板间的电势差； •由电容的定义求得电容器的电容。 由电容的定义求得电容器的电容 电容。
1
+ σ1 − σ1 '
r
1
2
2
2 σ = 2σ <σ σ2 = 1+ εr 5
σ 2 2σ 2 = = E0 E1 = E 2 = ε 0 5ε 0 5 2 E d = 2 × 300 = 120 V ∴V = E1d = 0 5 5 6 6 ∵ P1 = (ε r − 1)ε 0 E1 = ε 0 E 0 = σ 5 5 下表面 P = 6σ 5 1 ′ ∴σ 1 = p1 ⋅ n = 6σ 上表面 −P =− 1
S内
∴ ∫∫ D ⋅ d S = ∑ q0
S S内
自由电荷
----有介质时的高斯定理或 D的高斯定理 有介质时的高斯定理或
讨论： 讨论： 电位移通量只与闭合曲面所包 电位移通量只与闭合曲面所包 围的自由电荷有关， 自由电荷有关 围的自由电荷有关，但 D 本身 自由电荷和极化电荷都有关 与自由电荷和极化电荷都有关
q0
r
0
极化强度为
r P = χ eε 0 E = (ε r − 1)ε 0 2 4πε0ε r r ε r − 1 q0 0 r = P 2 q ε r 4π r n
球与介质交界处， 球与介质交界处，介 质表面的法向与该处 极化强度的方向相反
q0
0
0
εr
R
∴σ ′ = P ⋅ n = − P =
*三.电极化强度 1.电极化强度 1.电极化强度 无外场时：电介质中任一小体积元 无外场时： 内所有分子的电矩矢量和为零， ∆V内所有分子的电矩矢量和为零，即
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∑p
i
=0
有外场时：电介质被极化， 有外场时：电介质被极化， pi ≠ 0， 且外场越强，电介质极化程度就越高， 且外场越强，电介质极化程度就越高， 即 ∑ pi 越大
∆S
1 2
+σ1 −σ1'
∴ E1 = E 2
σ1 σ2 = εr
因导体板上总电量保持不变
∆S S +σ S = σ S +σ 2 σ1 2 2 2 ε E D E D + σ1 ' ∴ σ 1 + σ 2 = 2σ − σ1 −σ 2 2ε r 8 σ > σ σ2 = σ1 σ= 解得 σ 1 = εr 1+ εr 5
E2
= ∫下底D ⋅dS 1
εr
−σ 2
= ∫下底D dS = D1∆S =σ1∆S 1 σ1 D1 = ∴ D1 = σ 1 E1 = ε 0ε r ε 0ε r
同理， 同理，对右半部有
+σ 2 D2 = σ 2 D2 σ 2 +σ 'D ε r E D E2 1 = E2 = 1 −σ 2 ε 0 ε 0 −σ1 σ1 σ2 两侧电势相等 E1 = , E2 = ε 0ε r ε0 E1d = E 2 d
ε 0ε r S
2.圆柱形电容器---两同轴圆柱面构成 2.圆柱形电容器---两同轴圆柱面构成 圆柱形电容器--设内外柱面带有电 RA RB 荷分别为+q和-q 两柱面间、 两柱面间 、 距轴线 为r处的场强大小为
λ E= 2πε 0ε r r
εr
B
A
l
∴UA − UB = ∫ E ⋅ d l
A
3.球形电容器---两同心球壳构成 3.球形电容器---两同心球壳构成 球形电容器--设内外球壳分别带 有电荷+ 有电荷+q和-q，则
B
A
RB
RB
εr
RA
E=
q 4πε 0ε r r
B A
2
UA −UB = ∫ E⋅dl = ∫ Ed r
RA
1 1 B ( − ) U A − UB = 4πε0ε r RA RB q
可用电位移线 可用电位移线来形 电位移线来形 象地描述电位移
E 线与 D 线的区别 E 线:从自由正电荷或束
正电荷 电荷
+ + + + + + + +
−+
−+
−+
−+
+ + + + + D 线:从自由正电荷 + 自由 电荷 + +
−+
−+
−+
−+
− − − − E 线 − − − − − − − 线 − D − − − −
极化(束缚) 极化(束缚)电荷也会激发电场 使电场的分布发生变化。 ，使电场的分布发生变化。
2.极化强度与场强的实验关系 2.极化强度与场强的实验关系 各向同性电介质中某点处的电极 化强度与该点处的合场强 该点处的合场强有如下 化强度与该点处的合场强有如下 的实验关系： 的实验关系：
P = χ eε 0 E
1
−σ '
+σ '
− +− − − +− − +−
+−
−σ
σ ′ S2 = ∫∫ P ⋅ d S = ∫∫SP ⋅ d S
S2
E ⋅d S = ∫∫
S
1
ε0
(σ S1 − ∫∫ P ⋅ d S)
S
(ε 0 E + P) ⋅ d S = σ S1 = ∑ q0 ∫∫
S
定义： 定义： D = ε0 E + P ----电位移 电位移
n
−+ −+ −+ P −+ −+ −+ θ dS −+ −+ −+ n l
−σ '
+σ '
−
l
+
等效偶极子
等效电偶极子的总电矩为
∑
pi = d q ⋅ l= σ ′ d s ⋅ l
−
+σ ' ∵dV = d s ⋅ cosθ ⋅ l n − σ ' −+ −+ −+ P −+ −+ −+ θ dS ∑ pi −+ −+ −+ n σ′ P= = l dV cosθ