二次函数培优讲义

二次函数培优讲义 1. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-2，7）、B （6，7）、C （3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点坐标为 。

2. 如图，抛物线C1：y=x 2

-4x 的对称轴为直线x=a ，将抛物线C 1向上平移5个单位长度得到抛物线C 2，则图中的两条抛物线、直线x=a 与y 轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为

（2） （4） （6） （9） （10） 3. 抛物线1422++-=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ．

4. 二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示，则abc ，ac b 42-， c b a ++这3个式子中，值为正数的有

（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 5. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过原点和第一、二、三象限，那么( )

A.a>0,b>0,c>0

B.a<0,b<0,c=0

C.a<0,b<0,c>0

D.a>0,b>0,c=0

6. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为2

1-=x 。下列结论中，正确的是【 】 A ．0abc > B ．0a b += C ．20b c >+ D ．42a c b +<

7. 关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是【 】

A. m<1-

B. 1

C. 0

D. m>1

8. 二次函数y=ax 2

+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是【 】A ．0＜t ＜1 B ．0＜t ＜2 C ．1＜t ＜2 D ．﹣1＜t ＜1

9. 二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为【 】 A ．3- B ．3 C ．6- D ．9

10. 如图，抛物线y 1=a （x ＋2）2－3与y 2=

12

（x －3）2＋1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：

①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2－y 1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是【 】

A ．①② B．②③ C．③④ D ．①④

11. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )

O x

y

-1 1 1x y O 1x

B y O 1x y O 1x y O

12. 已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为

4925

，则m 的值为( )A.－2 B.12 C.24 D.48 13. 二次函数n x x y +-=62的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解2x =

（13） （17）

14. 抛物线m x x y +--=22，若其顶点在x 轴上，则=m

15. 已知抛物线c x ax y ++=22与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M （c a ,）在第 象限．

16. 已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴的正半轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ．

17. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点。

⑴二次函数的解析式为 ．

⑵当自变量x 时，两函数的函数值都随x 增大而增大．

⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值．

⑷当自变量x 时，两函数的函数值的积小于0．

竞赛平台：

1

－1 －3 3 x

y

O A B

C

实际应用： 1. 如图，在一块三角形区域ABC 中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC 内建造一个矩形水池DEFG ，如图的设计方案是使DE 在AB 上。

⑴求△ABC 中AB 边上的高h;

⑵设DG=x,当x 取何值时，水池DEFG 的面积最大？

⑶实际施工时，发现在AB 上距B 点1.85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。

2. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5，点M ，N 分别在边

AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F 。

（1）求梯形ABCD 的面积；

（2）求四边形MEFN 面积的最大值；

（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能，求出它的面积；若不能，请说明理

由。

3. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由.

A B C D E F G