模糊数学-模糊数学基本知识
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模糊数学基础
模糊数学基础第六章模糊数学基础6.1概述6.1.1传统数学与模糊数学6.1.2不相容原理6.2 模糊集合与⾪属度函数6.2.1 模糊集合及其运算6.2.2 ⾪属度函数6.3 模糊逻辑与模糊推理6.3.1模糊逻辑6.3.2模糊语⾔6.3.3 模糊推理第六章模糊数学基础6.1概述6.1.1 传统数学与模糊数学6.1.2 不相容原理1965年，美国⾃动化控制专家扎德（L. A. Zadeh ）教授⾸先提出⽤⾪属度函数(membership function)来描述模糊概念，创⽴了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。
不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特性作出精确⽽有意义的描述的能⼒会随之降低，直到达到⼀个阈值，⼀旦超过它，精确和有意义⼆者将会相互排斥”。
这就是说，事物越复杂，⼈们对它的认识也就越模糊，也就越需要模糊数学。
不相容原理深刻的阐明了模糊数学产⽣和发展的必然性，也为三⼗多年来模糊数学的发展历史所证实。
6.2 模糊集合与⾪属度函数 6.2.1 模糊集合及其运算⼀、模糊集合（Fuzzy Sets ）的定义传统集合中的元素是有精确特性的对象，称之为普通集合。
例如，“8到12之间的实数”是⼀个精确集合C ，C ={实数r |8≤r≤12}，⽤特征函数µC (r )表⽰其成员，如图6.1(a)所⽰。
≤≤=其它，，01281)(r r C µ在模糊论域上的元素符合程度不是绝对的0或1，⽽是介于0和1之间的⼀个实数。
例如，“接近10的实数”是⼀个模糊集合F ＝{r |接近10的实数}，⽤“⾪属度(Membership)”µF (r )作为特征函数来描述元素属于集合的程度。
8121107.29110.750.27512.8rrµC （r ）µF （r ）(a) (b) 图6.1 普通集合与模糊集合的对⽐模糊集合的定义如下：论域U 上的⼀个模糊集合F 是指，对于论域U 中的任⼀元素u ∈U ,都指定了[0,1]闭区间中的⼀个数F µ(u )∈[0,1]与之对应，F µ(u )称为u 对模糊集合F 的⾪属度。
什么是模糊数学
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
• 研究项目 European Network of Excellence 120个子项目与模糊有关 LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering Research)
Int. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种
• 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU
绪论
一、什么是模糊数学 二、模糊数学的产生与基本思想 三、模糊数学的发展 四、为什么研究模糊数学
一、什么是模糊数学
•模糊概念 秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然 若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
•基本思想 用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等.
三、模糊数学的发展
75年之前，发展缓慢；80以后发展迅速； 90-92 Fuzzy Boom
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
• 研究项目 European Network of Excellence 120个子项目与模糊有关 LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering Research)
Int. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种
• 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU
绪论
一、什么是模糊数学 二、模糊数学的产生与基本思想 三、模糊数学的发展 四、为什么研究模糊数学
一、什么是模糊数学
•模糊概念 秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然 若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
•基本思想 用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等.
三、模糊数学的发展
75年之前，发展缓慢；80以后发展迅速； 90-92 Fuzzy Boom
模糊数学基本概念
模糊数学是一种处理模糊和不确定性问题的数学方法，它基于模糊集合理论，用于描述和处理无法精确量化的概念和现象。
以下是模糊数学的一些基本概念：
模糊集合：模糊集合是一种将不确定性或模糊性引入集合概念的数学工具。
与传统的集合不同，模糊集合中的元素具有一定的隶属度，表示元素与集合的模糊关系。
隶属函数：隶属函数是模糊集合中元素与集合的隶属度之间的映射关系。
它描述了元素在模糊集合中的程度或概率。
模糊关系：模糊关系是一种描述模糊集合之间的关系的数学工具。
它反映了元素之间的模糊连接或模糊相似性。
模糊逻辑：模糊逻辑是一种处理模糊命题和推理的逻辑系统。
它扩展了传统的二值逻辑，允许命题具有模糊的真值或隶属度。
模糊推理：模糊推理是一种基于模糊规则和模糊推理机制进行推理和决策的方法。
它能够处理模糊的输入和输出，并提供模糊的推理结果。
模糊数学运算：模糊数学中存在一系列的运算，包括模糊集合的并、交、补运算，模糊关系的复合运算等。
这些运算用于处理模糊集合和模糊关系的操作。
模糊控制：模糊控制是一种应用模糊数学方法进行控制的技术。
它通过模糊逻辑和模糊推理实现对复杂系统的控制，具有适应性和容错性的特点。
以上是模糊数学的一些基本概念，它们构成了模糊数学理论的基础，被广泛应用于人工智能、决策分析、模式识别、控制系统等领域。
模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
模糊数学理论
2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念 1）模糊关系
2) 模糊矩阵
2.2模糊等价关系与模糊相似关系 模糊等价关系与模糊相似关系 1）模糊等价关系 ）
2）模糊等价矩阵 ）
3）模糊相似关系与模糊相似矩阵 ）
2.3 截矩阵与传递矩阵 1）截矩阵 ）
Байду номын сангаас
2）模糊传递矩阵 ）
3 模糊聚类分析
所谓聚类分析，就是用数学的方法把事物按一定要求 和规律进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生 之前，聚类分析已是是数理统计中研究“物以类聚”的一 种多元分析方法，它通过数学工具定量地确定、划分样品 的亲疏关系，从而客观地、合理地分型划类。由于客观事 物之间在很多情况下并没有一个截然区别的界限，又由于 分类时所依据的数据指标的变化也大都是连续的，同时许 多客观事物之间的界限往往不一定很清晰，使传统的基于 数理统计原理的聚类分析方法遇到了困难。因此用模糊数 学观点解决聚类分析问题，必然会更符合于实际情况。这 种基于建立模糊相似关系对客观事物进行分类的方法，称 为模糊聚类分析。
注明： 统计量确定满意分类 注明：用F统计量确定满意分类
• 3.1 模糊聚类分析理论：
1)
2)
3)
4)
3.2 基于模糊等价关系的动态聚类分析
例题
此例题可以用截矩阵的方法来实现
3.3 基于模糊相似关系的聚类分析 1）建立模糊相似矩阵 ）
2）传递闭包法 ）
此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。 此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。
3）模糊集的表示
4）模糊集的运算 ） 模糊集与普通集一样， 模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算规律。 算规律。
A与B的并集、交集及 的补集定义如下： 与 的并集 交集及A的补集定义如下 的并集、 的补集定义如下：
2) 模糊矩阵
2.2模糊等价关系与模糊相似关系 模糊等价关系与模糊相似关系 1）模糊等价关系 ）
2）模糊等价矩阵 ）
3）模糊相似关系与模糊相似矩阵 ）
2.3 截矩阵与传递矩阵 1）截矩阵 ）
Байду номын сангаас
2）模糊传递矩阵 ）
3 模糊聚类分析
所谓聚类分析，就是用数学的方法把事物按一定要求 和规律进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生 之前，聚类分析已是是数理统计中研究“物以类聚”的一 种多元分析方法，它通过数学工具定量地确定、划分样品 的亲疏关系，从而客观地、合理地分型划类。由于客观事 物之间在很多情况下并没有一个截然区别的界限，又由于 分类时所依据的数据指标的变化也大都是连续的，同时许 多客观事物之间的界限往往不一定很清晰，使传统的基于 数理统计原理的聚类分析方法遇到了困难。因此用模糊数 学观点解决聚类分析问题，必然会更符合于实际情况。这 种基于建立模糊相似关系对客观事物进行分类的方法，称 为模糊聚类分析。
注明： 统计量确定满意分类 注明：用F统计量确定满意分类
• 3.1 模糊聚类分析理论：
1)
2)
3)
4)
3.2 基于模糊等价关系的动态聚类分析
例题
此例题可以用截矩阵的方法来实现
3.3 基于模糊相似关系的聚类分析 1）建立模糊相似矩阵 ）
2）传递闭包法 ）
此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。 此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。
3）模糊集的表示
4）模糊集的运算 ） 模糊集与普通集一样， 模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算规律。 算规律。
A与B的并集、交集及 的补集定义如下： 与 的并集 交集及A的补集定义如下 的并集、 的补集定义如下：
模糊数学-模糊集的基本运算
2.1 模糊集的表示方法
• 如前所述, 模糊集合本质上是论域X到[0, 1]的函 数 , 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本 的方法。除此以外, 还有以下的表示方法： • 1. 序偶表示法 • A={(x, A(x)|xX}. • 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中 的四位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经 某种方法对这四位学生属于帅哥的程度 (“ 帅 度”)做的评价依次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则 以此评价构成的模糊集合A记为: • A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
超男
• 论域 X 上的模糊集 A 与 B 称为是相等的 , 如果 AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 3. 模糊集的并 • 首先考查经典集合的并。
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
• 易证AB(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x).
1
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 A 与 B 的并 ( 记作 A∪B) 是 X 上的一个模糊集 , 其 隶属函数为 • (A∪B)(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
(A∪B)(x)
2.2 模糊集上的运算(定义)
2.2 模糊集上运算(定义)
• 1. 几点说明 • 如前所述, 经典集合可用特征函数完全刻画, 因
而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只
取0, 1两个值的模糊集)。 • 设X为非空论域, X上的全体模糊集记作F(X). 于 是, P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体 子集构成的集合).
• 如前所述, 模糊集合本质上是论域X到[0, 1]的函 数 , 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本 的方法。除此以外, 还有以下的表示方法： • 1. 序偶表示法 • A={(x, A(x)|xX}. • 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中 的四位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经 某种方法对这四位学生属于帅哥的程度 (“ 帅 度”)做的评价依次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则 以此评价构成的模糊集合A记为: • A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
超男
• 论域 X 上的模糊集 A 与 B 称为是相等的 , 如果 AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 3. 模糊集的并 • 首先考查经典集合的并。
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
• 易证AB(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x).
1
X
2.2 模糊集上的运算(定义)
• 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 A 与 B 的并 ( 记作 A∪B) 是 X 上的一个模糊集 , 其 隶属函数为 • (A∪B)(x)=max{A(x), B(x)}=A(x)B(x), xX.
(A∪B)(x)
2.2 模糊集上的运算(定义)
2.2 模糊集上运算(定义)
• 1. 几点说明 • 如前所述, 经典集合可用特征函数完全刻画, 因
而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只
取0, 1两个值的模糊集)。 • 设X为非空论域, X上的全体模糊集记作F(X). 于 是, P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体 子集构成的集合).
什么是模糊数学
•人工智能的要求
• 取得精确数据不可能或很困难
•没有必要获取精确数据
结语: 模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学 学科，而且也形成了一种崭新的思维方法， 它告诉我们存在亦真亦假的命题，从而打破 了以二值逻辑为基础的传统思维，使得模糊 推理成为严格的数学方法。随着模糊数学的 发展，模糊理论和模糊技术将对于人类社会 的进步发挥更大的作用。
参考书目 1. 模糊数学基础，张文修，西交大出版社 3. 模糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
• 研究项目 European Network of Excellence 120个子项目与模糊有关 LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering Research)
Int. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种
• 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU
NSF 应用数学：大规模数据处理、不确定性建模
•国内状况
1976年，潘学海，弗齐集合论，计算机应用 及应用数学； 1980年，汪培庄，模糊数学简介，数学的 实践与认识.
1981年，模糊数学创刊
模糊数学 第四章---模糊关系
x X
2.模糊自反关系(fuzzy reflexive relations)
定义 R F ( X X ), 若x X , R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1 根据主对角线元素是否为1判定R 是否自反
2. 运算
设R, S F ( X Y )
R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y );
( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y ) ( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y )
设R (rij )nm , S ( sij )nm ,
即R( xi , y j ) rij , S ( xi , y j ) sij
则（R S )( xi , y j ) R( xi , y j ) S ( xi , y j ) rij sij 所以，R S (rij sij )nm .
1
X 有限时，
根据矩阵是否为对称阵判定R 是否对称关系
0.3 0.1 为对称关系. 0.1 0.3
命题3.3 R对称 [0， 1]， R 是普通对称关系.
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y) ( y, x) R
类似可得： R S (rij sij ) nm . R c (1 rij )nm .
R 1 ( yi , x j ) R( x j , yi ) rji R S i, j, rij sij
2.模糊自反关系(fuzzy reflexive relations)
定义 R F ( X X ), 若x X , R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1 根据主对角线元素是否为1判定R 是否自反
2. 运算
设R, S F ( X Y )
R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y ); R S ( x, y ) X Y , R( x, y ) S ( x, y );
( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y ) ( R S )( x, y ) R( x, y ) S ( x, y )
设R (rij )nm , S ( sij )nm ,
即R( xi , y j ) rij , S ( xi , y j ) sij
则（R S )( xi , y j ) R( xi , y j ) S ( xi , y j ) rij sij 所以，R S (rij sij )nm .
1
X 有限时，
根据矩阵是否为对称阵判定R 是否对称关系
0.3 0.1 为对称关系. 0.1 0.3
命题3.3 R对称 [0， 1]， R 是普通对称关系.
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y) ( y, x) R
类似可得： R S (rij sij ) nm . R c (1 rij )nm .
R 1 ( yi , x j ) R( x j , yi ) rji R S i, j, rij sij
模糊数学第一章汇总
一、经典集合
概念、内涵、外延
概念：青菜 内涵：
一种植物，绿色，一般叶子直立，可食用
外延：
韭菜、芹菜、芥兰、白菜、葱等等
一、经典集合
概念与集合
概念可以用集合来表示 我们讨论具体问题时，要有论域（议题限制在一定范 围内） 例如： – 在论域“人”上，讨论概念“男子”
一、经典集合
从集合“人”中挑出所有男子，构成一个子集A A是概念“男子”的外延，是概念“男子”的集 合表现 概念可以用集合来表示
模糊数学所研究的模糊现象，事物的概念本身是模 糊的，因此一个对象是否符合这个概念难以确定， 称这种不确定性为模糊性
模糊理论的数学基础
一、经典集合 二、映射与扩张 三、二元关系
第二节 模糊理论的数学基础
一、经典集合 二、映射与扩张 三、二元关系
一、经典集合
概念、内涵、外延
每一个概念都有一定的外延和内涵 概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围 概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属性 的总和
基本思想，基础理 论；从而进一步了解 模糊理论的基本应用，能够应用模糊理 论解决信息领域与工程技术中的实际问 题。
3
二、课程认识
用数学的眼光看世界，可把我们身边 的现象划分为：
数学
确定性 不确定性
经典（精确）数学
随机性 模糊性
随机数学 模糊数学4模糊数学与概率论的不同
概率论所研究的随机现象，事件本身含义明确，只 是事件的发生与否存在不确定性，这种不确定性称 为随机性
4
二、课程认识
➢ 在日常生活中，我们遇到的概念不外乎 两类。
➢ 一类是清晰的概念，对象是否属于这个概念 ➢是明确的。例如： 人、自然数、正方形等。
模糊决策与分析方法
若函数L(x)满足：L(x) L(x)；L(0) 1；L在[0， ) 非增，则称L( x)为模糊数的参照函数（基准函数）。
例如：• L(x) max 0，1 x p ，( p 0)，
当p 1时，图形如下：
• L(x) exp( x p )( p 0)
（2）L－R型模糊数
设L和R为模糊数的参照函数，若模糊数I的隶属函数为
为模糊数。
（2）区间数 任意闭区间[a，b]是模糊数，称区间数。 区间数也可记[a, a],其中a和a分别为下限和上限； 还可记A= m(A), w( A) ,其中m和w分别为中点和半宽。 区间数的运算：设[a，b]，[c，d ]为二区间数。则 •[a，b] [c，d ] [a c，b d ] •[a，b] [c，d ] [a d，b c] •[a，b][c，d ] [min(ac，ad，bc，bd )，max(ac，ad，bc，bd )]
2、模糊数 (1)模糊数
R1中的正则模糊集I，若其任意截集I是一个闭区间， 则称I是一个模糊数。 [0，1]
几何表示：（模糊数与凸模糊集的区别）
是开区间
1
1
比较：
模糊数
正则，即的最大值为1 左（右）连续
凸模糊集
的最大值可以小于1
A
可以开，故
可以左（右）侧不连续
A
故模糊数必然为凸模糊集，但凸模糊集不一定
优化
应用：模糊决策与分析
评价 预测
控制
一、模糊集及其隶属函数
1、论域X（研究对象的全体、全集）
普通集A：边界清晰 模糊集A：边界模糊 2、特征函数与隶属函数
A A X
A的特征函数
A
(
x)
1 0
x A x A
例如：• L(x) max 0，1 x p ，( p 0)，
当p 1时，图形如下：
• L(x) exp( x p )( p 0)
（2）L－R型模糊数
设L和R为模糊数的参照函数，若模糊数I的隶属函数为
为模糊数。
（2）区间数 任意闭区间[a，b]是模糊数，称区间数。 区间数也可记[a, a],其中a和a分别为下限和上限； 还可记A= m(A), w( A) ,其中m和w分别为中点和半宽。 区间数的运算：设[a，b]，[c，d ]为二区间数。则 •[a，b] [c，d ] [a c，b d ] •[a，b] [c，d ] [a d，b c] •[a，b][c，d ] [min(ac，ad，bc，bd )，max(ac，ad，bc，bd )]
2、模糊数 (1)模糊数
R1中的正则模糊集I，若其任意截集I是一个闭区间， 则称I是一个模糊数。 [0，1]
几何表示：（模糊数与凸模糊集的区别）
是开区间
1
1
比较：
模糊数
正则，即的最大值为1 左（右）连续
凸模糊集
的最大值可以小于1
A
可以开，故
可以左（右）侧不连续
A
故模糊数必然为凸模糊集，但凸模糊集不一定
优化
应用：模糊决策与分析
评价 预测
控制
一、模糊集及其隶属函数
1、论域X（研究对象的全体、全集）
普通集A：边界清晰 模糊集A：边界模糊 2、特征函数与隶属函数
A A X
A的特征函数
A
(
x)
1 0
x A x A
第一讲 模糊数学基本知识
§1.2 模糊集的基本定理
λ-截集： 截集： (A)λ = Aλ= {x | A(x) ≥ λ }
模糊集的λ 截集 是一个经典集合， 模糊集的λ-截集Aλ是一个经典集合，由隶属 度不小于λ的成员构成. 度不小于λ的成员构成. 论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)， 例：论域 (学生集) 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95 50,60,70,80,90,95， 他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习 学习 成绩好的学生” 成绩好的学生”的隶属度分别为 0.9,0.95， 0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则 A0.9 (90分以上者 = {u5 , u6}, 分以上者) 分以上者 A0.6 (60分以上者 = {u2, u3, u4 , u5 , u6}. 分以上者) 分以上者
第一讲 模糊数学基本概念
1. 1 模糊集合的基本定义 1.2 模糊集合的截集 1.3 模糊关系 1.4 模糊等价关系与经典等价关系
§1.1 模糊子集及其运算
模糊子集与隶属函数 是论域， 设U是论域，称映射 是论域 A(x)：U→[0,1] ： 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为 的 上的模糊子集 称为A的 确定了一个 上的模糊子集 ，映射 称为 隶属函数，它表示x对 的隶属程度 的隶属程度. 隶属函数，它表示 对A的隶属程度 当映射A(x)只取 或1时，模糊子集 就是经 只取0或 时 模糊子集A就是经 当映射 只取 典子集， 就是它的特征函数. 典子集，而A(x)就是它的特征函数 可见经典子 就是它的特征函数 集就是模糊子集的特殊情形. 集就是模糊子集的特殊情形
模糊关系的合成 的关系, 的关系, 设 R1 是 X 到 Y 的关系 R2 是 Y 到 Z 的关系 上的一个关系. 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系 (R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } ∧ ∈ 当论域为有限时， 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊 矩阵的合成. 矩阵的合成 设X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn}，且X 到Y 的模糊关系 1 = (aik)m×s， 模糊关系 关系R ， × Y 到Z 的模糊关系 2 = (bkj)s×n，则X 到Z 的模糊关 模糊关系 关系R 模糊关 × 系可表示为模糊矩阵的合成： 模糊矩阵的合成 系可表示为模糊矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n， × 其中c 其中 ij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
模糊数学方法
数为 R：U V 0,1 , ( x, y ) R ( x, y )
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
模糊数学第二讲--模糊集合及其运算
A(u)
[1
(
u
50 5
)2
]1
, 50 u 100
1
0 u 25
B(u)
[1
(
u
25 5
)2
]1
25 u 100
A
B A(u) B(u)
1
[1 (u 25)2 ]1
5
[1 (u 50)2 ]1 5
uU
u
u 0u25
25u u*
u
u* u100
u
A
B A(u) B(u)
2024/7/20
20
五、模糊截集
1. -截集(-cut)
引例：
奴隶社会 1/ 夏 1/ 商 0.9 / 西周 0.7 / 春秋 0.5/战国 0.4 / 秦 0.3/ 西汉 0.1/东汉
若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、西 周、春秋、战国
若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、 春秋
(A B) C (A C) (B C)
5、吸收律： (A B) A A, (A B) A A 6、复原律： (Ac )c A 7、对偶律： ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc 8、0 –1律： A U U , A A
AU A, A
k 1
uk
k 1
uk
u k 1
k
(2) 设论域U为无限集且A A(u), B B(u),
uU u
uU u
则A B A(u) B(u)，A B A(u) B(u)，AC 1 A(u)
uU
u
uU
u
uU
u
2024/7/20
16
例2 设模糊集A和B的隶属函数为
数学建模——模糊数学方法
• 模糊矩阵的λ－截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中
当aij≥ 时，aij() =1； 当aij＜ 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
1 0.5 0.2 0
1 1 0 0
A
0.5 0.2 0
还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
•模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为
（0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 对价格为： （0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊评价矩阵：
0.3 0.5 0.2 0 P 0.4 0.3 0.2 0.1
0.1 0.1 0.3 0.5
设三个指标的权系数向量： A ＝｛图像评价，声音评价，价格评价｝ ＝（0.5, 0.3, 0.2)
B＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），根据运算⊙的 不同定义，可得到不同的模型
模型1 M（Λ，V）——主因素决定型
bj max{( ai pij ) |1 i n}( j 1,2,, n)
模型2 M（٠，ν）——主因素突出型
bj max{(ai pi j )1 i n}( j 1,2,, m)
例4： 利用模糊综合评判对20加制药厂经 济效益的好坏进行排序
因素集：
U={u1,u2,u3,u4}为反映企业经济效益的主 要指标
模糊数学的基础知识
模糊数学知识小结与模糊数学相关的问题模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系模糊层次分析法—两两比较指标的确定模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。
由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果模糊数学基础一.Fuzzy 数学诞生的背景1）一个古希腊问题：“多少粒种子算作一堆？”2）Fuzzy 概念的广泛存在性，如“找人问题”3）何谓Fuzzy 概念？，如何描述它？由集合论的要求，一个对象x,对于一个集合，要么属于A,要么不属于A，二者必居其一，且仅居其一，绝对不允许模棱两可。
这种绝对的方法，是不能处理所有科学的问题，即现实生活中的一切事物一切现象都进行绝对的精确化时行不通的，从而产生模糊概念。
二.模糊与精确的关系对立统一，相互依存，可互相转化。
- 精确的概念可表达模糊的意思：如“望庐山瀑布”“飞流直下三千尺，凝是银河落九天”- Fuzzy的概念也能表达精确的意思：模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西，而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用精确的数学方法去研究处理模糊现象。
三. 模糊性与随机性的区别事物分确定性现象与非确定性现象- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象。
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义，只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性。
* 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模糊的。
模糊数学的广泛应用性模糊技术是21世纪的核心技术模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域：1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等。
2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析。
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而直积
A
B
0.5 0.4
0.3 0.8
0.8 0.3
0.5 0.7
0.5 0.4
0.8 0.3
模糊矩阵: A aij
aij bij
B bij
A B
例2
0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 0.7 0.8 0.9
AB
（c）模糊矩阵的和:
cij max aij , bij aij bij
模糊矩阵C称为A与B的和的表示:
C cij A B
（d）模糊矩阵的直积
A aij
❖ 例1 设 U={u1, u2, u3 , u4,u5}
A 0.2 0.7 1 0.5 , B 0.5 0.3 0.1 0.7
u1 u2 u3 u5
u1 u2 u4 u5
求AB、 AB ， AC
解：
A(u1)B(u1)
AU B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
身高与体重的普通关系
R(A,B) Bi
40
50
60
70
80
Ai
140
1
0
0
0
0
150
0
1
0
0
0
160
0
0
1
0
0
170
0
0
0
1
0
180
0
0
0
0
1
但人的胖瘦不同，对于非标准的情况，身高与体 重的关系应该以接近标准的程度来描述，这就导 致产生如下表所示的模糊关系。它能更深刻、更 完整地给出身高与体重的对应关系。
u1 2 3 4 5 6 A(u) 0 0.2 0.8 1 0.8 0.2 则A可用不同方式表示如下：
(1)向量法： A=(0, 0.2, 0.8, 1, 0.8, 0.2)
(2)Zadeh法：
A 0 0.2 0.8 1 0.8 0.2 12 345 6
0.2 0.8 1 0.8 0.2 2 345 6
❖ 高斯MF完全由c和σ决定，c代表MF的中心；σ决定 了MF的宽度。
4. 一般钟形隶属函数
bell(x; a, b, c) 1
1
xc a
2b
❖ 参数完全由b通常为正；如果b<0,钟形将倒置。
❖ 钟形MF实际上是概率中柯西分布的推广，因此又 称为柯西MF。
trig(x;20,60,80)
trap(x;10,20,60,90)
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
其中： xi Xi i 1, 2,L n
例1 设x,y为汽车，则“x比y好”这种关系就是模糊关系， 例2 设x,y指人，则“x和y 相象”这种关系也是模糊关系
(2)模糊矩阵
❖ 矩阵：
矩阵可以用来表现关系，如果集合A有m 个元素，集合B有n个元素、我们可以用矩阵R 来表示由集合A到集合B的关系
r11 R= r21
u1
u2
u3
u4
u5
0.5 0.7 1 0.1 0.7
u1 u2 u3 u4 u5
A I B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
A(u1)B(u1)
u1
u2
u3
u4
u5
0.2 0.3 0 0 0.5 0.2 0.3 0.5
u1 u2 u3 u4 u5 u1 u2 u5
B bij
cij min aij , bij aij bij
模糊矩阵A与B的直积C表示为：
C cij A B
A
0.5 0.4
0.3 0.8
,
B
0.8 0.3
0.5 0.7
0.5 0.3 0.8 0.5
和
A B 0.4 0.8 0.3 0.7
0.5 0.8 0.3 0.5 0.8 0.5 0.4 0.3 0.8 0.7 0.4 0.8
模糊集的截集
A
图1.9 A的截集
例1、设有模糊集：
A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5 且λ分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的λ
水平截集
解： A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 } A0.5={ u2,u3,u4,u5 } A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 }
❖ 模糊子集的运算及其性质 ❖ （1）模糊子集的运算
如果集合为空，可推，隶属函数取值为0，反之 也成立。
❖ 设A、BF (U), 若uU, uA(x)≤ uB(x), 则称B
包含A，记为AB
❖ 补集的概念：
❖ 设A、BF (U), 分别称运算AB、 AB为A
与B的并集，交集，
❖ 其中V表示取最大值，^表示取最小值
❖ 模糊关系、模糊矩阵、模糊变换 ❖ （1）模糊关系
设U,V是两个普通集合
在直积空间
它以隶属度函数 R (x, y)
若
则把
中的模糊关系称为U上的模糊关系.
精确关系
表示二个或二个以上集合 元素之间关联、交互、互 连是否存在。
模糊关系
表示二个或二个以上集合元 素之间关联、交互、互连是 否存在或不存在的程度。
A~ B~ A~ B~
A~ B~ A~ B~
A~ A~, A~ ,
A~U U; A~ U A~;
❖ 模糊子集的λ截集及其性质 ❖ 模糊子集的λ截集
1、λ水平截集 设A∈δ(U)，λ∈[0, 1], 且 Aλ={ u | u∈U, μA(u)≥λ} 则称Aλ为A的一个λ水平截集，λ称为阈值 或置信水平。
ba
1
dx
d c
0
xa a xb b xc cxd
dx
trap(x; a,b, c, d ) max(min( x a ,1, d x), 0) ba d c
❖ 参数a,b,c,d确定了梯形四个角的x坐标。当b=c时， 梯形就退化为三角形。
3. 高斯形隶属函数
1( xc )2
g(x; c, ) e 2 c代表MF的中心； 决定MF的宽度。
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
=》以普通集合论为基础的数学方法，难以处 理一些模糊概念。
❖ 模糊数学是将二值逻辑{0，1}拓广到可取[0,1] 闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。
❖ 模糊逻辑是对二值逻辑的扩充。关键的概念 是：渐变的隶属关系。
❖ 一个集合可以有部分属于它的元素；（渐变）
❖ 一个命题可能亦此亦彼，存在着部分真部分 伪。（不完全确定）
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
4)吸收律 ( A~ B~) A~ A~, ( A~ B~) A~ A~.
5）分配律
A~ (B~ C~) ( A~ B~) ( A~ C~) A~ (B~ C~) ( A~ B~) ( A~ C~)
6)对合律
A~ A~
7)De Morgan法则 8)常数运算法则
rm1
r12 … r1n r22 … r2n rm2 …rmn
其中rij=0或1，1≤i≤m，1≤j≤n。
模糊矩阵 当论域A×B为有限集时，模糊关系可以用矩阵形
式来表示，该矩阵元素rij 仅在闭区间[0，1]中取值， 即0 ≤rij ≤1，此矩阵称为模糊矩阵。
r11 r12 … r1n
R = r21 r22 … r2n
模糊数学的创立及发展
❖ Zadeh 扎德教授
1965年，《模糊集合论》
❖ “隶属函数”
“模糊数学”的诞生
❖量
确定性－经典数学 不确定性
❖ 随机性－统计数学 ❖ 模糊性－Fuzzy 数学
一、模糊数学基本知识 ❖ 模糊子集及其运算
模糊子集 普通集合论中，论域U中的每个元素x，对于子集
AU，只能有xA与xA 两种情况. 子集A由特征函数来CA(x) ：U{0，1}刻划
R(A,B) Bi
40
50
60
70
80
Ai
140
1
0.8
0.2
0.1
0
150
0.8
1
0.8
0.2
0.1
160
0
0
1
0.8
0.2
170
0
0
0.8
1
0.8
180
0
0.1
0.2
0.8
1
如果U=V,即在同个空间中，一般在直积空间