《辅助角公式》专题二

《辅助角公式》专题

2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】

问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程．

a sin x ＋

b cos x

＝a 2＋b

2x x ⎛⎫

⎪⎭

＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)

(其中sin φ＝

b a 2＋b 2，cos φ＝a

a 2＋b

2)． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝

a a 2＋

b 2，sin φ＝b

a 2＋

b 2

， 其中φ

(a ，b )决定．

辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用． 1.化下列代数式为一个角的三角函数

1sin 2αα；

3cos 2

x x -

cos αα+；

x x +

sin cos αα-

cos 22

x x +

sin()cos()6363

ππαα-+-．

5sin 12cos αα+

)cos()4444

ππαα-+-

2

．若函数()(1)cos f x x x =，02

x π

≤<

，则()f x 的最大值为( )

A ．1

B ．2 C

1 D

2 3. （2009

安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图像与直线

2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )

A.5[,],1212

k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈

4.如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π

8

对称，那么a= ( )

（A ）2

（B ）-2 （C ）1 （D ）-15. 函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π

3的最大值是________．

6

2)cos()12

12

3x x π

π

+

++

=

，且 02

x π

-<<，求sin cos x x -的值。

7. 求函数f x k x k x x ()cos(

)cos()sin()=+++--++61326132233

2πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。

6.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在

4

π

=

x 处取得最小值，则函数)4

3(

x f y -=π

是 （ ）

A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称

B ．偶函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 6.D

9. 若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。

参考答案

1.（6

）

sin cos )

)

a x

b x x x x ϕ+=+

=+

其中辅助角ϕ

由cos sin ϕϕ⎧

=⎪

⎪

⎨⎪=

⎪⎩

确定，即辅助角ϕ的终边经过点(,)a b

3.答案：B

解析

因为()(1)cos f x x x =

=cos x x =2cos()3

x π

-

当3

x π

=

是，函数取得最大值为2. 故选B

4.答案 C

解析 ()2sin()6

f x x π

ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，

由2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

得，,3

6

k x k k z π

π

ππ-

≤≤+

∈，故选C

5.解：可化为y a x =++122sin()θ。 知x =-π

8

时，y 取得最值±12+a ，即

7. [答案]

3

[解析] 法一：y ＝cos ⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＋cos ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3·cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋3

2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝3⎣⎡

⎦

⎤

32cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3

＝3cos ⎝⎛⎭⎫π6－x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π

6≤ 3. 法二：y ＝cos x ＋cos x cos π3－sin x sin π

3