平面向量例题讲解

平面向量

一、考点知识回顾

1.向量的概念：

2.向量的表示方法:

3.零向量、单位向量：

4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定

平行.向量a 、b 、c 平行，记作a // b // C .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线 向量.

5. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量

6. 向量的加法、减法：

向量和：作平移，首尾连，连首尾；

向量差：作平移，共起点，指被减；

r

r

r

r

③平面向量的坐标运算：若

a

(Xl

，yi) , b (x

2

，y 2)，则a

b (X i

x

2

,

y 1 y 2

)

,

r r r

a b (X i X 2, y i y ?) , a ( x, y) o

④向量加法的交换律：

a

+ b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) + c = a + (b + c )

7. 实数与向量的积：(向量的加减法运算、实数与向量的乘积仍是向量，向量与向量的乘积 是实数)

&平面向量基本定理：如果 e ,佥是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量a ，有且只有一对实数入I ,入2使* =入i e i +入2 e 2 o

9.向量a 和b 的数量积：①a • b =| a | • | b |cos ，其中 € [0 ,n ]为a 和b 的夹角。

②|b |cos 称为b 在a 的方向上的投影。③a • b 的几何意义是：b 的长度|b |在a 的方向 上的投影的乘积，是一个实数(可正、可负、也可是零)

，而不是向量。

④若 a =（ Xi , yi ） , b =（ x2, y 2）,则 a ?b

XiX

2 yiy

2

⑤运算律： a • b=b • a,（入 a ） • b=a •（入 b ）=入（a • b ）,

（a+b ） • c=a • c+b • c 。

⑥

a 和

b 的夹角公式：cos = r - r

N I b |

2

⑦

a?a a | a 12=x 2+y 2，或| a |=

X i X 2 y i y 2

ii •两向量平行、垂直的充要条件

设a = ( Xi , yi ) , b = ( X 2, y 2 )

① a _L b a • b=0 , a b a ? b = Xi X2 + yi y2 =0 -

2 2 2 2

、X i y i v X 2 y 2

若 A （x i ,y i ）

B(X 2,y 2)，贝 y AB x ?为必屮

⑧| a • b | W |a|

AB | .「(X 2 X i )

(y ? y i )

I 5E [»0

a

②a//b （ a 工0）

有且只有一个非零实数入，使b =x a 。

a//b Xiy2 x 2

yi

向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。

12.点P 分有向线段PR 所成的比的：pP

PP

2，P 内分线段

R p 2时，o ； p 外

分线段P l P

2时，

定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：

uuu 一. uin

一

一 120° , °A 与 °C 的夹角为 30° ,且|°A | =|°B

卩°B （入，卩€ R ）则入+卩的值为 _______________

解：过C 作°A 与°C 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角 B°C=90°

角A°C=30°, °C =^3得平行四边形的边长为 2和4, 2+4=6

点评：本题考查平面向量的基本定理，向量 °C 用向量OA 与向量°B 作为基底表示出来后,

求相应的系数，也考查了平行四边形法则。 考点二：向量的运算

【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算， 会用平行四边形法则、 三角形法则进

行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算， 理解两个向量共线的含义，

会判断两个向量

的平行关系；掌握向量的数量积的运算， 体会平面向量的数量积与向量投影的关系， 并理解

其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，

会进行平面向量积的运算， 能运用数量积表示两个

向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。

【命题规律】命题形式主要以选择、 填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的 定义、夹角公式、向

量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

x 1 x 2

x

1 x 1 x

2 x 2 y 1 y 2

y

n y y 1 y 2

〃 X 2

y

2

X 3 y 1 y 2

y 3)

三、考点剖析

考点一：向量的概念、向量的基本定理

【命题规律】 有关向量概念和向量的基本定理的命题, 难度属中档类型。

主要以选择题或填空题为主，

考查的

例1、（ 2007上海）直角坐标系 xOy 中，i , j 分别是与x , y 轴正方向同向的单位向量.

直角三角形ABC 中，若AB

2i j ,

AC 3i kj

，则k 的可能值个数是（

A. 解: 上, 1

B. 2

如图，将A 放在坐标原点，

由图知，只可能 A 、B 为直角，C 不可能为直角.所以 C. 3 D. 4

则B 点坐标为（2,1）, C 点坐标为（3,k ）,所以C 点在直线 k 的可能值个数是2，选

点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法， 形结合思想。

巧妙求解，体现平面向量中的数

例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量

uuu OA 、

— — uuu _

°B 、°C ，其中与°A 与°B 的夹角为

* ■

■

B

A

3 '

\

C ;

*

\

\

4

■

C

i

- . uuu

| = 1, | OC |

= 2J 3，若 °C =入 OA +

）

x=3

B