上海市高一下学期数学期中考试

上海市大同中学2014学年度第二学期期中试卷

高一数学（满分100分，时间90分）

一、填空题（本大题满分30分，每小题3分）

1、经过40分钟，钟表的分针转过_________________弧度的角。

2、已知扇形的圆心角为

3

π

，弧长为45π，则扇形的面积为_________________。

3、()arcsin sin11=_________________。

4、若3

2

παπ<<

=_________________。 5、2sin cos 0αα+=，则4sin 3cos 2sin 5cos αα

αα

-=+_________________。

6、若,42ππα⎛⎫

∈

⎪⎝

⎭=_________________。 7、求值：()()()()1tan1

1tan 21tan 441tan 45++++=_________________。

8、使方程1

2sin k

αα=

有解的实数k 的取值范围是_________________。 9、在四边形ABCD 中，2

A C π

∠=∠=，3

B π

∠=

，3AD =，5CD =，则对角线BD 的长为

_________________。

10、在ABC ∆中，已知,,a b c 是角,,A B C 的对应边，则 ①若b a >，则()()sin sin f x A B x =-⋅在R 上是增函数； ②若()2

22cos cos a b a B b A -=+，则∆ABC 是∆Rt ； ③C C sin cos +的最小值为2-

；

④若cos2cos2A B =，则A B =； ⑤若()()1tan 1tan 2A B ++=，则π4

3

=

+B A ， 其中错误命题的序号是_________________。

二、选择题（本大题满分16分，每小题4分）

11、函数4sin 23y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图像关于（ ）对称。 A.原点 B.直线6

x π

=

C.y 轴

D.直线12

x π

=

12、在ABC ∆中，角,A B 均为锐角，且cos sin A B >，则三角形ABC （ ）

A.一定为直角三角形

B.一定为钝角三角形

C.一定为锐角三角形

D.不能确定为何种三角形

13、先将函数sin 2y x =的图象向右平移3

π

个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则

所得函数图象对应的解析式为（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫

=-+

⎪⎝

⎭

B ．sin 23y x π⎛⎫

=--

⎪⎝

⎭

C ．2sin 23

y x π⎛⎫

=-+

⎪

⎝

⎭

D ．2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭

14、在ABC ∆中，60A ∠=，1b =，ABC ∆

则sin sin sin a b c

A B C

++++的值为（ ）

A.

81

B.3

3

D.三、解答题（本大题满分54分）

15、（本题10分）（1）已知α、()0,βπ∈，1tan

2

2α

=

，()5

sin 13

αβ+=，求cos β。 （2）化简：

4221

2cos 2cos 2

2tan sin 44x x x x ππ

-+

⎛⎫⎛⎫

-+ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

16、（本题10分）渔船甲在海中某岛南偏西50方向，与岛相距12海里，看到渔船乙刚从岛向北偏西10的方向航行，速度为10海里/小时。问：渔船甲需要用多大速度朝什么方向航行，经过2小时能追到渔船乙？

17、（本题10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 。 （1）若2c =，3

C π

=

，且3ABC S ∆=，求,a b 的值；

（2）若()sin sin sin 2C B A A +-=，试判断ABC ∆的形状。

18、（本题12分）定义在区间2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦上的函数()y f x =的图像关于直线6x π

=-对称，当

2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,22A ππωϕ⎛

⎫>>-<< ⎪⎝

⎭，其图像如图所示。

(1)求函数()y f x =在2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

的表达式；

(2)求方程()2

2

f x =

的解。 解：

19、（本题12分）就实数a 的取值范围，讨论关于x 的方程cos22sin 230x x a -+-=在,2ππ⎡

⎤

-⎢⎥⎣

⎦

内解的个数情况。

上海市大同中学2014学年度第二学期期中试卷答案

一、填空题

1、43π-

2、2425π

3、114π-

4、2

sin α-

5、54

-

6、4sin α

7、232

8、11,,33⎛

⎤⎡⎫-∞

-+∞ ⎪⎥

⎢⎝

⎦

⎣⎭ 9

10、③⑤ 11、D 12、B 13、D 14、B

15、解：（1）1242sin 1514α⨯

=

=+，1

134cos 1514

α-

==+，()12cos 13αβ+=- ()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++12354135135=-⨯+⨯16

65

=-

（2）原式=

4221

2cos 2cos 2

2tan cos 44x x x x ππ-+

⎛⎫⎛⎫

-- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

4212cos 2cos 2sin 22x x x π-+=

⎛⎫- ⎪⎝⎭

(

)22

2cos 12cos 2x x -=1cos 22

x = 16、解：设渔船甲航速为x 海里/小时。

()

2

222201222012cos120x =+-⨯⨯

14x =（x

海里/小时）

2820

sin120sin θ

=

sin 14θ=

，

航向东偏北5340arcsin 78.214+

≈答：航速14海里/小时，航向东偏北78.2。 17、解：（11sin 23

ab π

=

4ab ⇒= 22222cos

3

a b ab π

=+-2

24a b ab ⇒+-=

()

2

16a b +=4a b ⇒+=

故2a b ==

（2）()()sin sin sin 2B A B A A ++-=

2sin cos 2sin cos B A A A =

()cos sin sinB 0A A -=