概率论与数理统计总复习(上网)

《概率论与数理统计》总复习

一 各章复习重点

第一章 随机事件及其概率 1 事件间的关系

2 加法公式 乘法公式（条件概率） 全概率公式 贝叶斯公式

3 事件的相互独立（贝努里实验即二项分布）

第二章 随机变量及其分布

1 分布函数}{)(x X P x F ≤= 定义、性质、求法

2 离散型：分布律),2,1,0(}{ ===i p x X P i i

连续型：概率密度)(x f ，⎰

∞

-=

x

dx x f x F )()(

3 随机变量函数的分布（公式法、分布函数法）

4 六种重要分布：分布律、概率密度（分布函数）、数学期望、方差

第三章 多维随机变量及其分布 1 联合分布、边缘分布 2 Y X 、的相互独立

3 ),(Y X 函数的分布：和、最大、最小

第四章 数学期望与方差

1 数学期望与方差计算公式、性质

2 重要分布的期望、方差

3 协方差、相关系数：计算、性质

第五章 大数定律与中心极限定理 1 切比雪夫不等式：

2

)

(}|)({|ε

εX D X E X P ≤

≥-或2

)

(1}|)({|ε

εX D X E X P -

≥<-

2 中心极限定理

（1）设n X X X ,,,21 相互独立且同分布，2)(,)(σμ==i i X D X E ，则

⎪⎭

⎫

⎝⎛∑∑∑===)(),(~111n i i n i i n

i i X D X E N X 近似

，即()21,~σμn n N X n i i 近似∑=或()1,0~1

N n n X

n

i i

近似

σ

μ-∑=；

（2）若),(~p n b n η，则))1(,(~p np np N n -近似

η或

()1,0~)

1(N p np np

n 近似

--η。

注：（2）是（1）的特殊情况，即：将（1）应用到n 个独立的)10(-分布上即为（2）。

第六章 抽样与抽样分布 1

F t ,,2χ分布定义、性质及上α分位点

2 来自正态总体统计量的分布

第七章 参数估计

1 点估计：矩估计、最大似然估计

2 评选标准：无偏性、有效性

3 区间估计

第八章 假设检验

1 正态总体均值与方差的检验

2 假设检验拒绝域与置信区间的关系

二 典型例题

1-1 设7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，求)(AB P

1-2 设4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，6.0)(=⋃B A P ，求)(B A P 1-3 已知6/1)(,3/1)()(===B A P B P A P ，求)/(B A P

1-4 已知4/1)(=A P ，2/1)(=B P ，且A 与B 相互独立，求)(B A P ⋃，)(B A B P ⋃ 1-5 甲、乙两人独立地对同一目标进行射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲命中的概率？

1-6 在一次实验中事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立重复实验。 1-7 甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能译出的概率分别为4

1

,

31,51。

求：（1）能破译的概率；（2）若密码已破译，问它是由甲破译的概率是多少； （3）恰有一人译出的概率

1-8 已知一批产品中有%95是合格品，检查产品时，合格品被误为是次品的概率为0.02，一个次品被误为合格品的概率是0.03。 求：（1）任意抽查一个产品被认为是合格品的概率；（2）一个经检查是合格品的产品确定是合格品的概率 1-9 某商店销售一

10台，其中3台是次品，现已售了两台。

求从剩下的8台中任取一台是正品的概率。

2-1 掷一均匀骰子2次，记X 为2次投出的最大点数，求X 的分布律。 2-2设)(~λπX ，且}3{}2{===X P X P ，求}4{=X P 。 2-3 设X 的分布函数x B A x F arctan )(+=（+∞<<∞-x ） 求：（1）B A ,；（2）X 的概率密度函数)(x f

2-4已知⎩⎨⎧<<=other

x Ax x f x ,010,)(~3，求（1）A ；（2）}221

{<≤x P ；（3）分布函数)(x F 。

2-5 设X 服从参数21=θ的指数分布，求随机变量X

e Y 21--=的概率密度。 2-6 已知+∞<<-∞=-x e x

f X x ,2

1)(~||，求2

X Y =的概率密度。

3-1 设),(Y X 的联合分布率为

问：（1）b a ,应满足什么关系？（2）若Y X ,相互独立，求b a ,的值。 3-2设(,)X Y 的联合概率密度为

(,)f x y =⎩⎨⎧<<-其它

,00,y

x e y

（1）求Y X ,的边缘概率密度；（2）判断Y X ,是否相互独立？(3) 求{P 1≤+Y X }。 3-3 设Y X ,相互独立，其概率密度分别为

1,01

()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他, ,0()0,

y Y e y f y y -⎧>=⎨

≤⎩

求Y X Z +=2的概率密度

3-4 在总体)4,12(~N X 中随机抽取样本54321,,,,X X X X X ，求：（1）}15),,,,{max(54321>X X X X X P ；（2）}15),,,,{min(54321>X X X X X P

3-5 设Y X ,为随机变量，且7/4}0{}0{,7/3}0,0{=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P ，求

}0},{m ax {≥Y X P 。

4-1 设),2(~2

σN X ，⎩⎨

⎧>≤=2

,02

,1X X Y ，求)()(X 、D X E 。

4-2 设5.0),5.0,100

(~),4,3(~=XY b Y N X ρ，求)2(Y X D -。 4-3 已知Y X 、的联合分布律为