《应用随机过程》课程教学大纲 - 南京财经大学教务处

《随机过程》课程教学大纲
适用专业：数学与应用数学
执笔人：肖丽华
审定人：王宏勇
系负责人：张从军
南京财经大学应用数学系
《随机过程》课程教学大纲
课程代码：300069
英文名：Stochastic Processes
课程类别：专业选修课
适用专业：数学与应用数学
前置课：数学分析、线性代数、概率论、数理统计
后置课：
学分：2学分
课时：54课时
主讲教师：孙春燕等
选定教材：刘次华,随机过程（第二版）[M]，武汉：华中科技大学出版社，2001.
课程概述：
随机过程是数学与应用数学专业继数学分析、线性代数、概率论、数理统计后的一门专业课程。

随机过程是研究客观世界中随机演变过程的规律性，是以概率论为基础且是概率论的深入与发展的一门学科。

它在控制、经济、金融和管理等方面应用极为广泛。

教学目的：
通过随机过程理论知识的学习，达到培养学生解决实际问题，特别是解决具体随机规律现象的问题能力，学生学习这门课程应该达到三个目标。

（1）建立随机过程的思维方法。

（2）掌握随机问题的统计特性及数学模型。

（3）通过经济、金融及管理等专业相关例题的讨论，初步掌握应用随机过程理论来分析问题和解决问题的能力。

教学方法：
本课程采用“引出问题，建立模型，理论分析，课堂讨论，实际应用，总结提高”的教学方式，使学生在掌握随机过程基本理论、思想和方法的基础上，力求活跃思考，理论结合实际地进行学习、
分析、归纳、提炼和解决问题，提高他们的数学素质和数学修养，提升他们开展科技活动和社会实践的能力以及开展科研工作的能力。

各章教学要求及教学要点
第一章预备知识
学时分配：6学时
教学要求：
补充和加强概率论知识。

理解母函数的概念，掌握母函数的方法；掌握特征函数的定义及性质，了解特征函数与分布函数一一对应的关系。

教学内容：
第一节概率空间
一、随机试验。

二、样本空间。

三、事件及概率空间的定义。

第二节随机变量及其分布
一、分布函数。

二、联合分布函数及其性质。

第三节随机变量的数字特征
一、随机变量的数学期望及其性质。

二、随机变量的方差及其性质。

第四节特征函数、母函数和拉氏变换
一、特征函数的定义及其性质。

二、母函数的定义及其性质。

第五节n维正态分布
n维正态分布的定义及其性质。

第六节条件期望
条件期望的定义及其性质。

第二章随机过程概念
学时分配：8学时
教学要求：
理解随机过程的概念，了解随机过程的分布函数及其分类。

教学内容：
第一节随机过程的概念
一、随机过程的概念及其类型。

二、状态集和参数集的概念。

第二节随机过程的分布律及数字特征
一、有限维分布函数族的定义及其性质。

二、均值函数、均方值函数、方差函数、自相关函数、自协方差函数与特征函数的概念。

第三节复随机过程
一、复随机过程的定义及其性质。

二、互相关函数。

三、互协方差函数。

第四节几种重要的随机过程
一、正交增量。

二、独立增量过程。

三、马尔可夫过程。

四、正态过程和维纳过程。

五、平稳过程。

第三章泊松过程
学时分配：8学时
教学要求：
了解泊松过程的概念，掌握泊松过程的概率分布，均值函数及方差函数。

了解复合泊松过程，会求复合泊松过程的均值函数及方差函数。

教学内容：
第一节泊松过程的定义和例子
一、计数过程的定义。

二、泊松过程的定义。

第二节泊松过程的基本性质
一、泊松过程的几个常用的数字特征。

二、时间间隔与等待时间的分布。

三、到达时间的条件分布。

第三节非齐次泊松过程
非齐次泊松过程与更新过程的概念。

第四节复合泊松过程
一、复合泊松过程的定义。

二、复合泊松过程的均值函数和方差函数。

第四章马尔可夫链
学时分配：7学时
教学要求：
理解马尔可夫链与齐次马尔可夫链的概念，会求一步转移概率及一步转移概率矩阵。

会画概率转移图。

掌握n步转移概率求法及切普曼—柯尔莫哥洛夫方程，了解初始分布概率，会求绝对分布。

p的渐进性质与平稳分布。

会马尔可夫链的状态分类，理解)(n
ij
教学内容：
第一节 马尔可夫链的概念及转移概率
马尔可夫链的概念及一些简单例子。

第二节 马尔可夫链的状态分类
一、常返与非常返的定义。

二、正常返和零常返的定义及常返性的判别与性质。

第三节 状态空间的分解
不可约马氏链。

第四节 )
(n ij p 的渐进性质与平稳分布
)(n ij p 的渐进性质与平稳分布的定义。

第五章 连续时间的马尔可夫链
学时分配：5学时
教学要求：
理解连续时间马尔可夫链的概念。

掌握柯尔莫哥洛夫向后方程，会求转移概率及平稳分布。

了解生灭过程，会求绝对概率满足的微分方程。

教学内容：
第一节 连续时间的马尔可夫链
一、齐次马尔可夫链的概念和性质。

二、绝对分布和初始概率分布。

第二节 柯尔莫哥洛夫微分方程
一、柯尔莫哥洛夫向后方程。

二、柯尔莫哥洛夫向前方程。

第三节 生灭过程
生灭过程的几个应用。

第六章平稳随机过程
学时分配：8学时
教学要求：
了解严平稳过程的概念及其性质；了解宽平稳过程的概念及其性质；了解联合平稳过程的基本概念；均值与相关函数。

了解时平均与时相关函数概念及遍历性意义，掌握判别遍历性的充要条件。

教学内容：
第一节平稳随机过程的概念与例子
一、宽平稳随机过程的概念。

二、宽平稳随机过程的概念性质。

第二节联合平稳过程及相关函数的性质
一、联合平稳过程的基本概念。

二、联合平稳过程的均值与相关函数。

第三节随机分析
一、收敛性概念。

二、均方连续。

三、均方导数和均方积分。

第四节平稳过程的各态历经性
一、时平均与时相关函数的概念。

二、遍历性的定义及其充要条件。

第七章平稳随机过程的谱分析
学时分配：6学时
教学要求：
理解掌握谱分解方法马尔可夫过程的基本概念，学会判别马尔可夫过程的方法。

教学内容：
第一节平稳随机过程的谱密度
谱密度的概念。

第二节谱密度的性质
求谱密度的方法以及利用谱密度求相关函数。

第三节窄带过程及白噪声过程的功率谱密度
一、窄带过程的定义及其谱密度。

二、白噪声过程的定义及其谱密度。

第四节联合平稳过程的互谱密度
互谱密度的定义及其求法。

第五节平稳过程通过线性系统的分析*
一、线性时不交系统。

二、频率响应与脉冲响应。

三、线性系统输出的均值与相关函数。

四、线性系统的谱密度。

第八章时间序列分析
学时分配：6学时
教学要求：
了解根据有序随机变量或者观测得到的有序数据之间相互依赖所包含的信息，用概率统计的方法定量地建立一个合适的数学模型的时间序列分析的方法，并会根据这个模型对相应序列所反映的过程或系统做出预报或进行控制的方法。

教学内容：
第一节 ARMA模型
一、自回归模型。

二、滑动平均模型。

三、自回归滑动平均模型。

第二节模型的识别
一、MA(q)序列的自相关函数。

二、AR(p) 序列的自相关函数。

三、ARMA(p,q) 序列的自相关函数，偏相关函数。

第三节模型阶数的确定
一、样本自相关函数和样本偏相关函数。

ˆ的渐进分布及模型的阶。

二、kρˆ和kk
三、模型定阶的AIC准则。

第四节模型参数的估计
一、MA(q)模型的参数估计。

二、AR(p) 模型的参数估计。

三、ARMA(p,q) 模型的参数估计。

附录：参考书目
1、复旦大学.概率论（第三册）[M].北京:人民教育出版社，1981.
2.、王梓坤.随机过程论[M]. 北京:科学出版社，1965.
3、浙江大学数学系.概率论与数理统计[M]. 北京:人民教育出版社，1987.
4、M.劳斯.随机过程[M]. 北京:中国统计出版社，1990.
5、敏平,龚光鲁.随机过程论（第二版）[M]. 北京:北京大学出版社，1997.
6、钱敏平,龚光鲁.应用随机过程论[M]. 北京:北京大学出版社，1998.
7、胡迪鹤.随机过程论[M].武汉:武汉大学出版社，2000.
8、俞钟祺.随机过程理论及其应用[M].天津:天津科学技术出版社，1996.
9、刘嘉琨.应用随机过程[M]. 北京:科学出版社，2000.。