第九讲 回归旋转设计分析方法
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(
4 5 6 6 8 7 10 6 12 9 14 14 16 21 16 13
p i ) 4
1.44 1.682 2.000 2.000 2.378 2.828 3.364 2.828 (9—2)
表9—1中γ值可按下式计算
2
式中：p为因素个数；i为实施情况，当试验全实施时i=0，1/2实施时i=1；1/4实施 时i=2。 二、二次旋转计划的安排 设为研究的因素有p个，分别以Z1、Z2、…、Zp表示，每因素的上水平为Zi2，下 水平为Zi1，零水平为Zi0，变动区间（Δ i）为： Z Z i2 Z i 0 i1 (9 3) 2 Z i 2 Z i1 (9 4) △ i
回归平方和与自由度为： SSU SSy SS Q 2 df U C P 1 2 误差平方和与自由度为：
2 ( y ) 2 0 SSe ( y 0 y 0 ) 2 y 0 m0 1 df e m 0 1 失拟平方和与自由度为： SS失 SSQ SSe df失 N c 2 p 2 m0 1 检验时先对失拟均方进行显著性检验，即： 2 S失 F 2 Se m0
2 x1 1
2 x2 1
2 x3 1
y 48.5 24.2 72.0 43.5 32.2 15.9 45.3 30.4 53.6 28.4 29.1 56.8 52.1 14.3 43.3 42.2 43.5 43.6 42.3 44.0
1 1 1 1 1 1 1 2.828 2.828 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 b0 K y a E ( x ia ya ) p
(9 5)
式中各常数e，k，E，F，G等按下式计算： e m c 2r 2 4 f m c 2r 4 2 H 2r [ Nf ( p 1) Nm c pe ] K 2r 4 H 1 [ f ( p 1)m c ] F H 1 [ Nf ( p 2) Nm c ( p 1)e 2 ] E 2 H 1 er 4 1 2 G H (e Nm c )
tii
bi i
2 FSe
（9—14）
2 2 2 （9-14） 若 S 失 不显著（9-12）可用 S Q 代 S e
第三节 二次通用旋转设计的实例分析
一、编制编码表安排试验 有一个三因素的试验，各个因素的水平编码如表9—4，由表9—1 查得 γ =1.628，于是，表9—4中的变动区间Δ i为： Z 22 Z 20 120 70 29.73 30 △1= 1.682 Z12 Z10 80 55 △2= 14.86 15 1.682
┆ 处理10为：
Z1（+1）=Z10+△1=55+15=70 Z1（-1）=Z10-△1=55-15=40 Z2（+1）=Z20+△2=70+305=100 Z2（-1）=Z20-△2=70-305=40 Z3（+1）=Z30+△3=150+89=239 Z3（-1）=Z30-△3=150-89=61
第 九 讲 回 归 旋 转 设 计 分 析 方 法
第一节 二次通用旋转设计的方法
一、试验点的确定 二、二次旋转计划的安排 一、回归系数的计算 二、回归方程的显著性检验 三、回归系数的显著性检验 一、编制编码表安排试验 二、试验结果分析
第二节 二次通用旋转设计的结果分析
第三节 二次通用旋转设计的实例分析
（9—9）
（9—10）
（9—11）
（9—12）
若不显著，可对回归方程进行显著性检验；若F 值显著或极显著，则要进一步考 察原因，改变二次回归模型，说明存在着不可忽略因素的影响。 对回归方程进行显著性检验，即：
F
2 SU 2 SQ
（9—13）
三、回归系数的显著性检验 可采用t测验，即： bi j b0 bi t0 ti ti j 2 1 2 1 2 KS e e Se mc Se
x1=70， x2=100， x3=61
┆ ┆ ┆ x1=30 ，x2=70， x3=150
┆
┆
┆
┆
处理15-20为：x1=55 ，x2=70， x3=150
经试验后，把试验结果列于表9-5中的最后一列（y）。 表9-5 三因素二次通用旋转设计结果
处理号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 xi y a x0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 805.2 x1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.682 1.682 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 106.78 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1.682 1.682 0 0 0 0 0 0 0 0 x3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1.682 1.682 0 0 0 0 0 0 x1 x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15.2 x1 x 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21.6 x 2 x3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2. 8
ˆ Y
一、试验点的确定 二次旋转设计也是一种组合设计（为克服试验规模过于庞大，在因素空 间中选择n类具有不同特点的点，把它们适当组合起来而形成试验计划） 。它的试验处理数目N由三部分组成，即： N=mc+2P+m0 （9—1） 其中：mc为所选用正交表中的全试验数；p为试验因素的个数；m0为各 因素零水平组成的中心试验点的重复数。
N个试验点是分布在三个半径不相等的球面上。其中mc个点分布在半径pc= p 的 球面上；2p个点分布在半径pγ =γ 的球面上；m0个点集中在半径p0=0的球面上。 因此，它满足了旋转性和非退化性。 有关m0的重复次数，二次旋转组合设计对m0的选择是自由的，即使中心点的试验 一次也不做，也不会影响旋转性，但中心点附近区域往往是我们所关心的区域， 而且中心点重复试验能给出回归方程在中心点的拟合情况。所以，中心点m0的重 复试验是很有必要的。 m0因p不同而不同。现将通用旋转设计的一些有关参数列 于表9—1，供设计时查用。 表9—1 二次通用旋转设计的参数表 2p m0 γ 因素个数（p） N mc 2 3 4 5（1/2实施） 6（1/2实施） 7（1/2实施） 8（1/2实施） 8（1/4实施） 13 20 31 32 53 92 165 93 4 8 16 16 32 64 128 64
△3=
Z 33 Z 30
300150 89.1 89 表9—4 三个因素水平编码表 1.682
xia 因素 +γ +1 0 -1 -γ Z1 80 70 55 40 30 Z2 120 100 70 40 20 Z3 300 239 150 61 0
15 30 89 Δi 按通用旋转设计，查表9—1，三个因素的处理组合N=20，其中mc=8，2p=6， m0=6，于是可得表9-5的20个处理组合，其中： 处理1为： x1=70， x2=100， x3=239 处理2为：
2 b0 K y a E ( xia y a ) 0.1663 805.2 0.0568 (543.9 554.93 499.78) 43.104 1 b1 x1a y a / e 106.78 / 13.656 7.819 p
b2 x 2 a y a / e 116.99 / 13.656 8.567 b3 x 3a y a / e 147.58 / 13.656 10.807 b1 2 ( x1 x 2 ) a y a / mc 15.2 / 8 1.90
b1 3 ( x1 x3 ) a y a / mc 21.6 / 8 2.70 b23 ( x 2 x3 ) a y a / mc 2.8 / 8 0.35
ZP0+△P ZP0 ZP0－△p ZP1 Zp2
第二节 二次通用旋转设计的结果分析
一、回归系数的计算 在二次通用旋转设计中，回归系数按下列各式计算：
(a 1,2, , N ) 1 1 bi e x ia y a 1 bi j mc ( x i x j ) a y a p 2 2 bi i ( F G ) x ia y a G ( x ia y a ) E y a 1
二、回归方程的显著性检验 设二次通用旋转设计N个组合的试验结果为Y1，Y2，…Yn，则它们的总平方 和与自由度为：
SST y 2 ( y) 2 / N dfT N 1
(9 7)
剩余平方和与自由度为：
SSQ y 2 b0 y (bi xi y) [bi j ( xi x j ) y] (bi i xi2 y) (9—8） 2 dfQ N CP 2
1 1 1 1 1 1 1 0 0 2.828 2.828 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2.828 2.828 0 0 0 0 0 0
116.99 147.58
543.9 554.93 499.78
二、试验结果分析 （一）由表（9-3）中查得有关常数代入（9-5）式计算各回归系数
Байду номын сангаас
其中r值可按p的个数及实施情况查表9—1或按9—2式计算，然后编制因素水平的 编码表9—2。 表9—2 因素水平的编码表
xia Z1 Z2 …… Zp
γ 1 0 －1 －γ
Z12 Z10+△1 Z10 Z10－△1 Z11
Z22 Z20+△2 Z20 Z20－△2 Z21
…… …… …… …… ……
第九讲 回归旋转设计分析方法 REGRESSION ROTATABLE DESIGN
回归旋转设计是在回归正交设计的基础上发展而来的。 但后者的预测值的方差很大程度上依赖于试验点在因子空间 的位置。由于误差的干扰，试验不能根据预测值直接寻找最 优区域。若使用二次设计具有旋转性，便能使与试验中心点 距离相等的试验点上的预测值方差相等。将有助于克服回归 正交设计的不足。故此，本讲着重讨论二次回归旋转设计及 分析。 第一节 二次通用旋转设计的方法
（9—6）
式中的N ，mc，p，r值均按p的个数查表9—1所得，如p=2时，查表9—1，得N=13， mc=4，r=1.414，代入（9—6）式得： e = 4+2(1.414)2 = 8 f = 4+2(1.414)4=11.995 H = 2(1.414)4[13×11.995+（2-1）13×4－2×82]=639.094 ┊ 为方便见，一些常用的数据列于表9—3中，以供查用。 表9—3 二次通用旋转组合设计的一些常数 因素个数P 2 3 4 5（1/2实施） 5 6（1/2实施） 7（1/2实施） K 0.20000 0.1663 0.1428 0.1591 0.0988 0.01108 0.0703 E －0.1000 －0.0568 －0.00357 －0.0341 －0.0191 －0.0187 －0.0098 F 0.1437 0.0694 0.0350 0.0341 0.0180 0.0168 0.0083 G 0.0187 0.0069 0.0037 0.0028 0.0015 0.0012 0.0005 e 8.000 13.656 24.000 24.000 43.314 43.314 80.000
4 5 6 6 8 7 10 6 12 9 14 14 16 21 16 13
p i ) 4
1.44 1.682 2.000 2.000 2.378 2.828 3.364 2.828 (9—2)
表9—1中γ值可按下式计算
2
式中：p为因素个数；i为实施情况，当试验全实施时i=0，1/2实施时i=1；1/4实施 时i=2。 二、二次旋转计划的安排 设为研究的因素有p个，分别以Z1、Z2、…、Zp表示，每因素的上水平为Zi2，下 水平为Zi1，零水平为Zi0，变动区间（Δ i）为： Z Z i2 Z i 0 i1 (9 3) 2 Z i 2 Z i1 (9 4) △ i
回归平方和与自由度为： SSU SSy SS Q 2 df U C P 1 2 误差平方和与自由度为：
2 ( y ) 2 0 SSe ( y 0 y 0 ) 2 y 0 m0 1 df e m 0 1 失拟平方和与自由度为： SS失 SSQ SSe df失 N c 2 p 2 m0 1 检验时先对失拟均方进行显著性检验，即： 2 S失 F 2 Se m0
2 x1 1
2 x2 1
2 x3 1
y 48.5 24.2 72.0 43.5 32.2 15.9 45.3 30.4 53.6 28.4 29.1 56.8 52.1 14.3 43.3 42.2 43.5 43.6 42.3 44.0
1 1 1 1 1 1 1 2.828 2.828 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 b0 K y a E ( x ia ya ) p
(9 5)
式中各常数e，k，E，F，G等按下式计算： e m c 2r 2 4 f m c 2r 4 2 H 2r [ Nf ( p 1) Nm c pe ] K 2r 4 H 1 [ f ( p 1)m c ] F H 1 [ Nf ( p 2) Nm c ( p 1)e 2 ] E 2 H 1 er 4 1 2 G H (e Nm c )
tii
bi i
2 FSe
（9—14）
2 2 2 （9-14） 若 S 失 不显著（9-12）可用 S Q 代 S e
第三节 二次通用旋转设计的实例分析
一、编制编码表安排试验 有一个三因素的试验，各个因素的水平编码如表9—4，由表9—1 查得 γ =1.628，于是，表9—4中的变动区间Δ i为： Z 22 Z 20 120 70 29.73 30 △1= 1.682 Z12 Z10 80 55 △2= 14.86 15 1.682
┆ 处理10为：
Z1（+1）=Z10+△1=55+15=70 Z1（-1）=Z10-△1=55-15=40 Z2（+1）=Z20+△2=70+305=100 Z2（-1）=Z20-△2=70-305=40 Z3（+1）=Z30+△3=150+89=239 Z3（-1）=Z30-△3=150-89=61
第 九 讲 回 归 旋 转 设 计 分 析 方 法
第一节 二次通用旋转设计的方法
一、试验点的确定 二、二次旋转计划的安排 一、回归系数的计算 二、回归方程的显著性检验 三、回归系数的显著性检验 一、编制编码表安排试验 二、试验结果分析
第二节 二次通用旋转设计的结果分析
第三节 二次通用旋转设计的实例分析
（9—9）
（9—10）
（9—11）
（9—12）
若不显著，可对回归方程进行显著性检验；若F 值显著或极显著，则要进一步考 察原因，改变二次回归模型，说明存在着不可忽略因素的影响。 对回归方程进行显著性检验，即：
F
2 SU 2 SQ
（9—13）
三、回归系数的显著性检验 可采用t测验，即： bi j b0 bi t0 ti ti j 2 1 2 1 2 KS e e Se mc Se
x1=70， x2=100， x3=61
┆ ┆ ┆ x1=30 ，x2=70， x3=150
┆
┆
┆
┆
处理15-20为：x1=55 ，x2=70， x3=150
经试验后，把试验结果列于表9-5中的最后一列（y）。 表9-5 三因素二次通用旋转设计结果
处理号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 xi y a x0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 805.2 x1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.682 1.682 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 106.78 x2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1.682 1.682 0 0 0 0 0 0 0 0 x3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1.682 1.682 0 0 0 0 0 0 x1 x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15.2 x1 x 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21.6 x 2 x3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2. 8
ˆ Y
一、试验点的确定 二次旋转设计也是一种组合设计（为克服试验规模过于庞大，在因素空 间中选择n类具有不同特点的点，把它们适当组合起来而形成试验计划） 。它的试验处理数目N由三部分组成，即： N=mc+2P+m0 （9—1） 其中：mc为所选用正交表中的全试验数；p为试验因素的个数；m0为各 因素零水平组成的中心试验点的重复数。
N个试验点是分布在三个半径不相等的球面上。其中mc个点分布在半径pc= p 的 球面上；2p个点分布在半径pγ =γ 的球面上；m0个点集中在半径p0=0的球面上。 因此，它满足了旋转性和非退化性。 有关m0的重复次数，二次旋转组合设计对m0的选择是自由的，即使中心点的试验 一次也不做，也不会影响旋转性，但中心点附近区域往往是我们所关心的区域， 而且中心点重复试验能给出回归方程在中心点的拟合情况。所以，中心点m0的重 复试验是很有必要的。 m0因p不同而不同。现将通用旋转设计的一些有关参数列 于表9—1，供设计时查用。 表9—1 二次通用旋转设计的参数表 2p m0 γ 因素个数（p） N mc 2 3 4 5（1/2实施） 6（1/2实施） 7（1/2实施） 8（1/2实施） 8（1/4实施） 13 20 31 32 53 92 165 93 4 8 16 16 32 64 128 64
△3=
Z 33 Z 30
300150 89.1 89 表9—4 三个因素水平编码表 1.682
xia 因素 +γ +1 0 -1 -γ Z1 80 70 55 40 30 Z2 120 100 70 40 20 Z3 300 239 150 61 0
15 30 89 Δi 按通用旋转设计，查表9—1，三个因素的处理组合N=20，其中mc=8，2p=6， m0=6，于是可得表9-5的20个处理组合，其中： 处理1为： x1=70， x2=100， x3=239 处理2为：
2 b0 K y a E ( xia y a ) 0.1663 805.2 0.0568 (543.9 554.93 499.78) 43.104 1 b1 x1a y a / e 106.78 / 13.656 7.819 p
b2 x 2 a y a / e 116.99 / 13.656 8.567 b3 x 3a y a / e 147.58 / 13.656 10.807 b1 2 ( x1 x 2 ) a y a / mc 15.2 / 8 1.90
b1 3 ( x1 x3 ) a y a / mc 21.6 / 8 2.70 b23 ( x 2 x3 ) a y a / mc 2.8 / 8 0.35
ZP0+△P ZP0 ZP0－△p ZP1 Zp2
第二节 二次通用旋转设计的结果分析
一、回归系数的计算 在二次通用旋转设计中，回归系数按下列各式计算：
(a 1,2, , N ) 1 1 bi e x ia y a 1 bi j mc ( x i x j ) a y a p 2 2 bi i ( F G ) x ia y a G ( x ia y a ) E y a 1
二、回归方程的显著性检验 设二次通用旋转设计N个组合的试验结果为Y1，Y2，…Yn，则它们的总平方 和与自由度为：
SST y 2 ( y) 2 / N dfT N 1
(9 7)
剩余平方和与自由度为：
SSQ y 2 b0 y (bi xi y) [bi j ( xi x j ) y] (bi i xi2 y) (9—8） 2 dfQ N CP 2
1 1 1 1 1 1 1 0 0 2.828 2.828 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2.828 2.828 0 0 0 0 0 0
116.99 147.58
543.9 554.93 499.78
二、试验结果分析 （一）由表（9-3）中查得有关常数代入（9-5）式计算各回归系数
Байду номын сангаас
其中r值可按p的个数及实施情况查表9—1或按9—2式计算，然后编制因素水平的 编码表9—2。 表9—2 因素水平的编码表
xia Z1 Z2 …… Zp
γ 1 0 －1 －γ
Z12 Z10+△1 Z10 Z10－△1 Z11
Z22 Z20+△2 Z20 Z20－△2 Z21
…… …… …… …… ……
第九讲 回归旋转设计分析方法 REGRESSION ROTATABLE DESIGN
回归旋转设计是在回归正交设计的基础上发展而来的。 但后者的预测值的方差很大程度上依赖于试验点在因子空间 的位置。由于误差的干扰，试验不能根据预测值直接寻找最 优区域。若使用二次设计具有旋转性，便能使与试验中心点 距离相等的试验点上的预测值方差相等。将有助于克服回归 正交设计的不足。故此，本讲着重讨论二次回归旋转设计及 分析。 第一节 二次通用旋转设计的方法
（9—6）
式中的N ，mc，p，r值均按p的个数查表9—1所得，如p=2时，查表9—1，得N=13， mc=4，r=1.414，代入（9—6）式得： e = 4+2(1.414)2 = 8 f = 4+2(1.414)4=11.995 H = 2(1.414)4[13×11.995+（2-1）13×4－2×82]=639.094 ┊ 为方便见，一些常用的数据列于表9—3中，以供查用。 表9—3 二次通用旋转组合设计的一些常数 因素个数P 2 3 4 5（1/2实施） 5 6（1/2实施） 7（1/2实施） K 0.20000 0.1663 0.1428 0.1591 0.0988 0.01108 0.0703 E －0.1000 －0.0568 －0.00357 －0.0341 －0.0191 －0.0187 －0.0098 F 0.1437 0.0694 0.0350 0.0341 0.0180 0.0168 0.0083 G 0.0187 0.0069 0.0037 0.0028 0.0015 0.0012 0.0005 e 8.000 13.656 24.000 24.000 43.314 43.314 80.000