概率论与数理统计02-第3章知识小结_43

f (x, y) fX (x) fY ( y) （x, y R）
5. （X，Y）函数的分布 Z =X +Y，Max, Min
典型例题分析
例1 二维随机变量（X,Y）在以原点为圆心，R 为半径的圆上服从均匀分布，
试求（X,Y）的联合概率密度和边缘概率密度.
y R y R2 x2
解
f
(
x,
y)
第 三 章 多维随机变量
知识小结
知识小结
（一）章节框图
离散型 分布律 边缘分布律 条件分布律
二维随机变量 二维随机变量 函数的分布
分布函数
随机变量的 独立性
连续型 密度函数
边缘密度函数
条件密度函数
知识小结
（二）知识点
1. 分布函数 分布律 密度函数
2. 边缘分布
F(x, y) PX x,Y y, x R, y R
-
f (x, z
x)dx=
z
6xdx
0
3z2
典型例题分析
例3 设随机变量( X ,Y )的概率密度为
6x，0 x 1, y 0，x y 1,
f (x, y)
0，
其他.
试求 Z=X Y 的概率密度.
解 （方法二）分布函数法
当 0 z 1 时，FZ(z) PZ z PX Y z
P{X xi ,Y y j} pij , i, j 1,2,
yx
F(x, y)
f (u, v)dudv
FX
(x)
lim
y
F ( x,
y),
记作
P{X xi} pij pi
j 1
fX (x) f (x, y)dy
FY
(
y)
lim
x
F
(
x,
y
)
记作
P{Y y j} pij p j
1 R2
,
x2 y2 R2
0,
其他
-R
o
x R
fX (x)
f (x, y)dy
-
R2 x2 R2 x2
1 R2 dy
0,
2
R2 x2 R2 ,
其他
x R
-R y R2 x2
由对称性，fY
(
y)
2
R2 y2 R2 ,
y R
0,
其他
典型例题分析
例2 设随机变量U 服从(2,2)上的均匀分布，定义随机变量X 和Y 如下：
1
0.5 0.25 0.75
显然，p11 p1 p1，
pj
0.75 0.25 1
故 X 不 Y 丌独立.
典型例题分析
例3 设随机变量( X ,Y )的概率密度为
f
( x,
y)
6x，0
x 0，
1,
y
0，x 其他.
y
1,
试求 Z=X Y 的概率密度.
解 （方法一）由卷积公式，
当
0z
1 时，fZ(z)=
i 1
fY ( y) f (x, y)dx
知识小结
（二）知识点
3. 条件分布
4. X 与Y 独立
P{X
xi
|Y
yj}
pij p j
,
i 1, 2,（. p j 0)
fX|Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
fY ( y) 0
pij pi p j , i, j 1, 2,.
Hale Waihona Puke Baidu1,
X
1,
若若UU<11，Y
1,
1,
若U<1 若U 1
试求 X 不 Y 的联合分布律(要求画出分布律表格)，并判断其独立性.
解 由题意，X 不 Y 的联合分布律和边缘分布律如下：
Y
X
-1
-1
0.25
1
pi P{X 1,Y 1} 0.251 0.25
0 0.25 P{X 1,Y 1} 0.75 2 / 3 0.5
z 0
zx
6xdy
dx z3
0
于是，f Z ( z)
3z，2 当
0，
0z 其他
1
时，
休息一下吧