空间中的垂直关系教案

《空间中的垂直关系一》复习课教案

临潼区华清中学：张胜利

一．教学目标

1、知识与技能

（1）.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

◆ 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

◆出垂直于同一个平面的两条直线平行

◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

(2).能运用公理、定理及已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.

(3).能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理（包括三垂线定理）

2、过程与方法：

(1)通过本节课的复习培养学生应用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决相关问题的能力。

(2)通过师生共同探讨培养学生对知识的归纳总结能力，对知识的灵活应用能力。

3、情感态度与价值观：

培养学生发现问题的意识和运用知识的意识，让学生参与解决相关问题的全过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。

二、重、难点分析：

1、重点：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题。

2、难点：空间中三种垂直关系的判定及性质综合应用。

三、教学方法与学法分析：

1、教学方法：本节课是高三第一轮复习中的《空间中的垂直关系

的复习课》，重点是理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题。

2、教学手段：利用多媒体和导学案，导学案把大容量的信息提前呈现给学生，让学生提前思考，培养学生自学能力；多媒体演示使空间图形更加直观；利用黑板适当的板书弥补导学案在即时信息，反馈和信息的储存方面的不足。

3、学法指导：根据高三学生已具备了一定分析问题、解决问题的能力和积极参与意识，自主探索意识，由本节课的内容特点及学生已有的知识、能力、情感等因素定为问题探究式学法。

四．要点精讲

1．线线垂直

判断线线垂直的方法：

（1）定义：所成的角是直角，两直线垂直；

（2）垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

（3）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。其作用是证两异面直线垂直

（4）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。其作用是证两异面直线垂直

推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭

。

注意：三垂线定理及其逆定理实质上是证明线面垂直，进而得出线线垂直。

（5）向量法：两直线的方向向量的数量积等于零。

（6）线面垂直的性质：线垂直于面，则线垂直于面内的任意一条直线。

例：已知正方体''''D C B A ABCD -，求证：

AC BD ⊥' 你有几种证明方法？

学生小组讨论（教师指导）

2．线面垂直

（1）定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意．．

一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。 a

P α

O

A

注意：任一条．．．直线并不．等同于无数条．．．

直线； （2）线面垂直的判定方法：

①判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相．．．交．

直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。

③若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直⇒线面垂直）

以上内容的图形及符号表示见多媒体课件

④向量法：直线的方向向量与平面的法向量为共线向量。

（3）线面垂直的性质：

①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。

②性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

例：已知正方体''''D C B A ABCD -

，求证：⊥'BD 平面D C A ''

你有几种方法证明

学生小组讨论完成，（用几何画板展示）

3．面面垂直

（1）两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

（2）两个平面垂直的判定方法：

①两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；

③向量法：两个平面的法向量互相垂直也即数量积等于零；

（3）两平面垂直的性质

定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直⇒线面垂直）

例：已知正方体''''D C B A ABCD -，点E 为'AA 的中点。求证：平面⊥BDE 平面'BDC

练习 ：1、如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别

是AB 、PC 的中点，PA ＝AD ＝a ．

（1）求证：MN ⊥平面PCD ；

（2）求证：平面PMC ⊥平面PCD ．

2、如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA 。

五 课堂小结：

①本节课主要复习了空间中三种垂直关系的定义、判定及性质。

②运用三种垂直关系的定义、判定及性质解决空间中与垂直相关的问题。

六 课后作业