文科立体几何线面角二面角专题_带答案解析
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详解：（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 .
连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形，
且 ， .
由 知 .
由 知 平面 .
（2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .
由已知得 取平面 的法向量 .
设 ，则 .
设平面 的法向量为 .
由 得 ，可取 ，
所以 .由已知得 .
所以 .解得 （舍去）， .
详解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°，
解得BD＝ ，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.
又因为DE⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，∴AD⊥DE.
又因为BD DE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD 平面ABCD，
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 为线段 上一点， ，求二面角 的平面角的余弦值.
10．如图，在多面体 中，四边形 为等腰梯形， ，已知 ， ， ，四边形 为直角梯形， ， .
（1）证明： 平面 ，平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
参考答案
1．（1）见解析（2）
【解析】分析：(1)根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.
试题解析：（1）取 中点 ，连结 ， ，∵ 是正方形，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ 面 ，∴ ，
又∵ ， ， 都是中点，∴ ， ，∴ 面 ，
∴ ；
（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得 ， ， ， ，则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，得 ，
同理得平面 的法向量为 ，
∴ ，所以他的余弦值是 .
4．如图，在三棱柱 中，点P，G分别是 ， 的中点，已知 ⊥平面ABC， = =3， = =2.
（I）求异面直线 与AB所成角的余弦值；
（II）求证： ⊥平面 ；
（III）求直线 与平面 所成角的正弦值.
5．如图，四棱锥 ，底面 是正方形， ， ， ， 分别是 ， 的中点.
（1）求证 ；
wenku.baidu.com（2）求二面角 的余弦值.
所以 .又 ，所以 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
2．解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP= ．
3．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得 ,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.
方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出 ,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面 的一个法向量，然后利用 与平面 法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.
点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.(2)求空间的角，方法一是利用几何法，找 作 证 指 求.方法二是利用向量法.
7．（1）见解析（2）
【解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.
6．（1）见解析（2）见解析(3)
【解析】分析：（1）先证明 ，再证明 平面 .(2)先证明 面 ，再证明平面 平面 .(3)利用异面直线所成的角的定义求直线 与直线 所成角的正弦值为 .
详解：（1）证明：连接 ，
∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∵三棱柱 中，∴ ， ，
又 为棱 的中点，∴ ， ，
由 知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．
所以OM= ，CH= = ．
所以点C到平面POM的距离为 ．
点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.
∴平面ADE⊥平面BDEF，
（Ⅱ）方法一：
如图，由已知可得 ， ，则
，则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.
则 .
过点C做 ，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则
，DE⊥平面ABCD，则 平面 .
过G做 于点I，则BF 平面 ，即角 为
二面角C BF D的平面角，则 60°.
6．如图，三棱柱 中，侧棱 底面 ，且各棱长均相等. ， ， 分别为棱 ， ， 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ；
（3）求直线 与直线 所成角的正弦值.
7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离．
3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
点睛：此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考题型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；二是将几何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论.
方法二：
（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
因此
由 得 .
由 得 .
所以 平面 .
（Ⅱ）设直线 与平面 所成的角为 .
由（Ⅰ）可知
设平面 的法向量 .
由 即 可取 .
所以 .
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
4．（Ⅰ） （Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】分析：（Ⅰ）由题意得 ∥AB，故∠G 是异面直线 与AB所成的角，解三角形可得所求余弦值．（Ⅱ）在三棱柱 中，由 ⊥平面ABC可得 ⊥A1G，于是 ⊥A1G，又A1G⊥ ，根据线面垂直的判定定理可得结论成立．（Ⅲ）取 的中点H，连接AH，HG；取HG的中点O，连接OP， ．由PO//A1G可得 平面 ，
所以OM= ，CH= = ．
所以点C到平面POM的距离为 ．
【解析】分析：（1）连接 ，欲证 平面 ，只需证明 即可；（2）过点 作 ，垂足为 ，只需论证 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP= ．
连结OB．因为AB=BC= ，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB= =2．
故得∠PC1O是PC1与平面 所成的角，然后解三角形可得所求．
详解：
(I)∵ ∥AB，
∴∠G 是异面直线 与AB所成的角．
∵ = =2，G为BC的中点，
∴A1G⊥B1C1，
在 中， ，
∴ ，
即异面直线AG与AB所成角的余炫值为 ．
（II）在三棱柱 中，
∵ ⊥平面ABC， 平面ABC，
∴ ⊥A1G，
∴ ⊥A1G，
连结OB．因为AB=BC= ，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB= =2．
由 知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．
则 ， ，则 .
在直角梯形BDEF中，G为BD中点， ， ， ，
设 ，则 ， ，则 .
，则 ，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为 ．
（Ⅱ）方法二：
可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0， ，0)，C(－ ，－ ，h).
详解：方法一：
（Ⅰ）由 得 ，
所以 .
故 .
由 ， 得 ，
由 得 ，
由 ，得 ，所以 ，故 .
因此 平面 .
（Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .
由 平面 得平面 平面 ，
由 得 平面 ，
所以 是 与平面 所成的角.学科.网
由 得 ，
所以 ，故 .
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
8．（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）由题意得 是等边三角形，故得 ，于是 ，从而得 ，所以 ，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）由 平面 可得 ，于是 平面 ．又 ，所以直线 与平面 所成角即直线 与平面 所成角，从而得到 即为所求角，然后根据解三角形可得所求．
5．(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析：（1）由题意，可取 中点 ，连接 ，则易知平面 ∥平面 ,由条件易证 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取 中点 为坐标原点，过 点作平行于 的直线为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面 和平面 的法向量，结合图形，二面角 为锐角，从而问题可得解.
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；
（Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．
8．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，点 是 与 的交点，点 在线段 上，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
9．在多面体 中，底面 是梯形，四边形 是正方形， ， ， ， ，
， .
设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，
则 所以 取x= ，所以m＝( ，-1，－ )，
取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，
由 ，解得 ，则 ，
又 ,则 ，设CF与平面ABCD所成角为 ，
则sin = .
故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为
点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
（2）证明：∵ 是 的中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，又∵ ，
∴ 面 ，又 面 ，
∴平面 平面 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ 为直线 与直线 所成的角.
设三棱柱 的棱长为 ，则 ，
∴ ，∴ .
即直线 与直线 所成角的正弦值为 .
又A1G⊥ ， ，
∴ 平面 ．
（III）解：取 的中点H，连接AH，HG；取HG的中点O，连接OP， ．
∵PO//A1G，
∴ 平面 ，
∴∠PC1O是PC1与平面 所成的角．
由已知得， ，
∴
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
点睛：用几何法求求空间角的步骤：
①作：利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；②证：证明作出的角为所求角；③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角；④作出结论，将问题转化为几何问题．
文科立体几何线面角二面角专题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
2．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．
连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形，
且 ， .
由 知 .
由 知 平面 .
（2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .
由已知得 取平面 的法向量 .
设 ，则 .
设平面 的法向量为 .
由 得 ，可取 ，
所以 .由已知得 .
所以 .解得 （舍去）， .
详解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°，
解得BD＝ ，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.
又因为DE⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，∴AD⊥DE.
又因为BD DE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD 平面ABCD，
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 为线段 上一点， ，求二面角 的平面角的余弦值.
10．如图，在多面体 中，四边形 为等腰梯形， ，已知 ， ， ，四边形 为直角梯形， ， .
（1）证明： 平面 ，平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
参考答案
1．（1）见解析（2）
【解析】分析：(1)根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论，(2)根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.
试题解析：（1）取 中点 ，连结 ， ，∵ 是正方形，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ 面 ，∴ ，
又∵ ， ， 都是中点，∴ ， ，∴ 面 ，
∴ ；
（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得 ， ， ， ，则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，得 ，
同理得平面 的法向量为 ，
∴ ，所以他的余弦值是 .
4．如图，在三棱柱 中，点P，G分别是 ， 的中点，已知 ⊥平面ABC， = =3， = =2.
（I）求异面直线 与AB所成角的余弦值；
（II）求证： ⊥平面 ；
（III）求直线 与平面 所成角的正弦值.
5．如图，四棱锥 ，底面 是正方形， ， ， ， 分别是 ， 的中点.
（1）求证 ；
wenku.baidu.com（2）求二面角 的余弦值.
所以 .又 ，所以 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
2．解：
（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP= ．
3．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得 ,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.
方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出 ,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面 的一个法向量，然后利用 与平面 法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.
点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.(2)求空间的角，方法一是利用几何法，找 作 证 指 求.方法二是利用向量法.
7．（1）见解析（2）
【解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.
6．（1）见解析（2）见解析(3)
【解析】分析：（1）先证明 ，再证明 平面 .(2)先证明 面 ，再证明平面 平面 .(3)利用异面直线所成的角的定义求直线 与直线 所成角的正弦值为 .
详解：（1）证明：连接 ，
∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∵三棱柱 中，∴ ， ，
又 为棱 的中点，∴ ， ，
由 知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．
所以OM= ，CH= = ．
所以点C到平面POM的距离为 ．
点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.
∴平面ADE⊥平面BDEF，
（Ⅱ）方法一：
如图，由已知可得 ， ，则
，则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.
则 .
过点C做 ，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则
，DE⊥平面ABCD，则 平面 .
过G做 于点I，则BF 平面 ，即角 为
二面角C BF D的平面角，则 60°.
6．如图，三棱柱 中，侧棱 底面 ，且各棱长均相等. ， ， 分别为棱 ， ， 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ；
（3）求直线 与直线 所成角的正弦值.
7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离．
3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
点睛：此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考题型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；二是将几何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论.
方法二：
（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
因此
由 得 .
由 得 .
所以 平面 .
（Ⅱ）设直线 与平面 所成的角为 .
由（Ⅰ）可知
设平面 的法向量 .
由 即 可取 .
所以 .
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
4．（Ⅰ） （Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】分析：（Ⅰ）由题意得 ∥AB，故∠G 是异面直线 与AB所成的角，解三角形可得所求余弦值．（Ⅱ）在三棱柱 中，由 ⊥平面ABC可得 ⊥A1G，于是 ⊥A1G，又A1G⊥ ，根据线面垂直的判定定理可得结论成立．（Ⅲ）取 的中点H，连接AH，HG；取HG的中点O，连接OP， ．由PO//A1G可得 平面 ，
所以OM= ，CH= = ．
所以点C到平面POM的距离为 ．
【解析】分析：（1）连接 ，欲证 平面 ，只需证明 即可；（2）过点 作 ，垂足为 ，只需论证 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.
详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP= ．
连结OB．因为AB=BC= ，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB= =2．
故得∠PC1O是PC1与平面 所成的角，然后解三角形可得所求．
详解：
(I)∵ ∥AB，
∴∠G 是异面直线 与AB所成的角．
∵ = =2，G为BC的中点，
∴A1G⊥B1C1，
在 中， ，
∴ ，
即异面直线AG与AB所成角的余炫值为 ．
（II）在三棱柱 中，
∵ ⊥平面ABC， 平面ABC，
∴ ⊥A1G，
∴ ⊥A1G，
连结OB．因为AB=BC= ，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB= =2．
由 知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°．
则 ， ，则 .
在直角梯形BDEF中，G为BD中点， ， ， ，
设 ，则 ， ，则 .
，则 ，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为 ．
（Ⅱ）方法二：
可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0， ，0)，C(－ ，－ ，h).
详解：方法一：
（Ⅰ）由 得 ，
所以 .
故 .
由 ， 得 ，
由 得 ，
由 ，得 ，所以 ，故 .
因此 平面 .
（Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .
由 平面 得平面 平面 ，
由 得 平面 ，
所以 是 与平面 所成的角.学科.网
由 得 ，
所以 ，故 .
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
8．（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）由题意得 是等边三角形，故得 ，于是 ，从而得 ，所以 ，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）由 平面 可得 ，于是 平面 ．又 ，所以直线 与平面 所成角即直线 与平面 所成角，从而得到 即为所求角，然后根据解三角形可得所求．
5．(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析：（1）由题意，可取 中点 ，连接 ，则易知平面 ∥平面 ,由条件易证 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取 中点 为坐标原点，过 点作平行于 的直线为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面 和平面 的法向量，结合图形，二面角 为锐角，从而问题可得解.
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；
（Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．
8．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，点 是 与 的交点，点 在线段 上，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
9．在多面体 中，底面 是梯形，四边形 是正方形， ， ， ， ，
， .
设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，
则 所以 取x= ，所以m＝( ，-1，－ )，
取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，
由 ，解得 ，则 ，
又 ,则 ，设CF与平面ABCD所成角为 ，
则sin = .
故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为
点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
（2）证明：∵ 是 的中点，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，又∵ ，
∴ 面 ，又 面 ，
∴平面 平面 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ 为直线 与直线 所成的角.
设三棱柱 的棱长为 ，则 ，
∴ ，∴ .
即直线 与直线 所成角的正弦值为 .
又A1G⊥ ， ，
∴ 平面 ．
（III）解：取 的中点H，连接AH，HG；取HG的中点O，连接OP， ．
∵PO//A1G，
∴ 平面 ，
∴∠PC1O是PC1与平面 所成的角．
由已知得， ，
∴
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
点睛：用几何法求求空间角的步骤：
①作：利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；②证：证明作出的角为所求角；③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角；④作出结论，将问题转化为几何问题．
文科立体几何线面角二面角专题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
2．如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．