随机事件与概率(一)

本事件, 此为一个古典概型. ⑴第一次有 10种取法, 放回后, 第二次还是有10 种取法. 所以
n 10 10.
第一次取正品, 第二次取次品的取法共7 3种; 第一次
取次品第二次再取正品的取法共有3 7 种, 所以
nA 7 3 3 7.
由此得
nA 7 3 3 7 P A 0.42. n 100
A B
由定义容易得到下列关系:
A, B 是互斥事件 A B . A, B 是对立事件 A B , A B .
A B AB.
事件的运算满足下面性质: ⑴交换律 A B B A, A B B A; ⑵结合律 A B C A B C ,
nA n
nA fn A . n
历史上, 有很多学者为了考察某些问题的概率而做了 大量的试验, 以观察一些问题的实质. 例如在抛硬币试
验中, 有这样三组数据:
试验者 蒲丰 试验次数 4040 正面出现次数 2048 频率 0.5069
K.皮尔逊
K.皮尔逊
12000
24000
6019
12012
5.至多有一幢楼合格.
B4 A1 A2 A3 ;
B5 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 .
二、等可能概型
在一次试验中, 随机事件 A 可能发生, 也可能 不发生. 随机事件发生的可能性的大小用区间 0,1 中的一个数来 刻画, 这个数就称为概率. 事件 A, B, C , 的概率分别
试表达如下事件: 1.取到的都是正品;
2.取到的恰有一件是次品 3.取到的至少有一件是次品. 解 2. 1.
B1 A1 A2 A3 A4 ;
B2 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 ;
3.
B3 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
⑵第一次有10 种取法, 不放回后, 第二次有 9 种取法. 所以
n 10 9.
第一次取正品, 第二次取次品的取法共7 3种; 第一次
取次品第二次再取正品的取法共有3 7 种, 所以
nB 7 3 3 7.
由此得
nB 7 3 3 7 P B 0.47. n 90
例13 某市的电话号码由8位数组成, 每位可以是0,1,2,
,
9中的任一数（但首位不能取0）, 现随机取一个电
话号码, 问取到的是由不同的数组成的概率. 解 所有有效的电话号码共有 9 107 个. 而每位数各不
相同的电话号码有9 P97 个, 故相应的概率为
9 P97 P97 p 7 0.0061. 7 9 10 10
记作 P
A , P B , P C , .
P 1, P 0.
自然有:
1.古典型概率 设 E是随机试验, 是相应的样本空间, 若满足: ⑴ 中仅含有限个样本点, 记
1 , 2 , , n ;
⑵每个样本点出现的可能性是相同的, 即
C n! P . n N 应用 生日问题: 设一个班有 n 个人，则 n个人的生日互
n N
不相同的概率就可以从上面的公式中得以计算.此时取
N 365, 相应的概率为 n C365 n! P . n 365
反之, 班中至少有两个人同一天生日的概率为
n C365 n! P 1 . n 365
概率论是研究随机现象统计规律性的一门学科. 什么是随机现象呢？ 在个别试验中呈现不确定的结果，在大量重复 试验中结果呈现某种规律性的现象称为随机现象。 这种规律性称为统计规律性。
1.随机试验 满足如下条件的试验称为随机试验, 简称为试验: ⑴可重复性; ⑵结果的可预测性; ⑶结果的未知性.
例1 投掷一枚均匀的骰子, 观察出现的点数. 例2 在某地区某时刻的雨量. 例3 从某厂生产的相同类型的灯泡中抽取一只, 测试其 寿命. 一般用大写的英文字符 E 来表示随机试验.
件A, 记为
,
A B. 若事件 A包含在事件B 中, 而事件B 又包含在事件 A 中
则称事件A 与事件 B相等, 记为
A B. 互斥事件 若事件 A与事件B不能在一次试验中同时发
生, 则称事件是互斥的（互不相容）. 例7 在掷一次骰子试验中,
A 1 , 3 , 5 , B 2 , 4 , 6 , C 4 , 6 .
A B | A B.
②事件的交：称为积事件，表示二个事件同时发生
A B AB | A B .
和事件与积事件可推广到有限个或无限个事件中 去.
③事件的差
A B | A B.
A B A B
⑶取到的产品中至少有一件是次品的取法数为
4 4 C100 C95 , 设事件为 C. 则
P C
C
4 100
C C 1 0.8119 0.1881. 1 4 C100 C
4 95 4 95 4 100
从此题的解法中我们可以得到古典概型计算中一 个公式：
P A 1 P A .
数为事件发生的概率, 记为P( A).
例15 在抛硬币试验中, 以 A表示出现正面朝上这一事件, 则由上面的统计数据得到事件A发生的概率为
1 P A . 2
例16 为了设计某路口向左拐弯的汽车侯车道. 在每天交 通最繁忙的时间（上午9时）在该路口观察候车数, 共观
0.5016
0.5005
通过这一组数据可以看到:当试验的次数越大, 则事件 在 n 次试验中出现的频率越接近某一个常数, 它反映了
事件在大量重复试验中出现的频率具有一种稳定性.
概率的统计定义 对于任何一个事件 A, 若事件A 在 N 次重复试验中事 发生的频率随着N 的增大将稳定到某个常数, 就称该常
1
取法是C5 , 设事件为 A, 故概率为
C 5 1 P A . C 100 20
⑵100件产品中取4件产品的取法数为C100 , 而恰好取到
3 1 的有一件是次品的取法数为C95 C5 , 设事件为 B, 则 4
1 5 1 100
3 1 C95 C5 692075 P B 4 0.1765. C100 3921225
2.样本点与样本空间 随机试验的一个基本结果称为样本点. 一般以 来表 示. 例4 在掷骰子试验中, 以 i 代表出现点数为 i , 则样本
点为
1 , 2 ,, 6 .
例5 在一次射击试验中, 若打靶的环数为 0,1,2,,10, 则样本点为
0 , 1 , 2 ,, 10 .
由样本点的全体所构成的集合称为样本空间, 记为. 在前面两个例中, 样本空间分别为
1 , 2 ,, 6 .
0 , 1 , 2 ,, 10 .
在例3中, 样本空间为 0, .
3.随机事件 由若干个样本点构成的集合称为事件. 一般用A, B, C , 来表达事件. 例6 在掷骰子试验中, 掷出的为奇数的事件为
A , P B .
正正, 正反, 反正, 反反 .
这是一个古典概型, 且 n 4. 又 A 正正 , 所以
1 n A 1, 因此 P A . 4 1 同理, P B . 2

例11 一个盒子中有10个晶体管, 其中 3 只是不合格品. 从这个盒子中依次随机地取 2只晶体管, 在下列两种情况
例9 某工ห้องสมุดไป่ตู้队承包修建了3 幢楼房, 设事件 Ai 表示“第
i 1, 2,3. i 幢楼房验收合格”
1.第一幢楼房合格;
2.只有第一幢楼合格; 3.恰有一幢楼合格; 4.至少有一幢楼合格;
试用 Ai 表达如下事件:
B1 A1 ;
B2 A1 A2 A3 ; B3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ;
P 1 P 2 P n .
则称此试验为古典概型.
在古典概型中, 若事件 A 中包含 n A个样本点, 规定
nA P A . n
用这种方法得到的概率称为古典型概率.
例10
把一枚硬币连抛两次, 设事件 A 表示“出现 2 正面”
事件 B表示“出现 P 2 个相同的面”, 试求 解 由所设容易得到
A 1 , 3 , 5 .
事件A 发生意为事件 A中的一个样本点的出现.
在例6中, 事件 A 发生, 即指掷出的点数为奇数.
在所有的事件中, 有两个特殊的事件, 分别称为必然 事件和不可能事件.


必然事件 不可能事件
4.事件的关系和运算 为了用简单的事件来表达较为复杂的事件, 有必要讨 论事件间的关系和运算. ⑴关系 若事件 A发生必然导致事件B发生, 则称事件B 包含事
下分别求出两只晶体管中恰有 1只是不合格品的概率:
⑴有放回抽样 第一次取出1 只晶体管, 作测试后放回盒子 中, 第二次再从盒子中取1只晶体管; ⑵无放回抽样 第一次取出1 只晶体管, 作测试后不放回,
第二次再从盒子中取 1只晶体管.
解 设事件 A表示“ 2 只晶体管中恰有一只是不合格 品”. 从盒子中依次取出 2只晶体管. 每一种取法视为一个基
例14 （分房问题）设有 n个人入住 N n N 个房间, 求 n个人住不同房的概率.
n 解 设为n个人的所有可能的入住方法, 则 N . 若
以 A表示指定的 n 个房间中各住一个人的所有可能的住 法, 则 A n !. 而从N个房间中选出 n个房间的选法总数
n 为C N , 故所求问题的概率为
A B C A B C ;
⑶分配律 A B C A C B C ,
A B C A C B C ;
⑷对偶律 A B A B, A B A B.
例8 一箱产品中有95件正品和5件次品, 从中取4次, 每 次取一件, 以 Ai i 1, 2,3, 4 表示第 i 次取到的是正品,
此类型的题目也可以用组合的方法计算出相应的概率.
例12 一批产品共有100件, 其中95件为正品, 5件是次 品, 求: ⑴从中任取一件, 取到的是次品的概率; ⑵从中取出4件, 取到的产品中有一件是次品的概率; ⑶从中取出4件, 取到的产品中至少有一件是次品的概率. 解
1 ⑴从100件产品中取一件的取法为C100 , 而取次品的
下表给出了当 n 取不同值时的概率分布情况:
n
P
20 0.441
30 0.706
40 0.891
50 0.970
64 0.997
100 0.99999
三、频率与概率
1.频率 设 E是随机试验, .是样本空间, A 是事件, 设在 n 次试 验中, 事件 A出现的次数为 n A 次, 数
称为事件A 在 n 次试验中出现的频率, 记为 f n A , 即
第一章 随机事件与概率（一）
本章要点
了解概率论中的一些基本概念: 随机试验, 样本点, 样本空间. 事件的关系和运算. 了解概率的统计定义和 古典概型. 了解概率的公理化定义及相关性质, 掌握加 法公式，减法公式, 条件概率, 乘法公式, 及独立性的 概念； 会用全概公式与贝叶斯公式解题.
一、随机事件
则
C B, 且
A与 C 是互斥的.
关系间的图示
B
.
A
A
B
A B
A, B 互斥
若事件 A, B 满足: 事件A 发生当且仅当B 不发生, 则称 事件B 为事件A的对立事件, 记为 A.
A
A
对立事件往往又称为逆事件（余事件）.
⑵运算 设 A, B为事件, 定义下列事件. ①事件的并:称为和事件，表示二个事件至少有一发 生