标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-1：模块综合检测

模块综合检测

(时间120分钟 满分150分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．命题“若△ABC 有一内角为π

3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )

A ．与原命题同为假命题

B ．与原命题的否命题同为假命题

C ．与原命题的逆否命题同为假命题

D ．与原命题同为真命题

解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π

3

”，它是真命题．

2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.1

8 B ．－18

C ．8

D ．－8

解析：选B 由y ＝ax 2得x 2＝1a y ， ∴1

a ＝－8， ∴a ＝－1

8

.

3．下列说法中正确的是( )

A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真

B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价

C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”

D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D. 4．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.5 32

B.212

C.

372

D.3 52

解析：选D 由已知可得2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)． 又∵(2a －b )⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0. ∴2n ＝5，n ＝5

2

.∴|a |＝

1＋4＋254＝3 52

.

5．双曲线x 2m －y 2

n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，

则mn 的值为( )

A.3

16 B.38 C.16

3

D.83

解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 故双曲线x 2m －y 2

n ＝1中，

m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.① 又双曲线的离心率e ＝

c m ＝ m ＋n

m

＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎨⎧

m ＝14

，

n ＝3

4.

故mn ＝

3

16

. 6．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范

围为( )

A ．(1，5)

B ．(5，＋∞)

C ．(1， 5 ]

D ．[5，＋∞)

解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x .由条件知，应有b

a >2，

故e ＝c

a ＝a 2＋

b 2a ＝

1＋⎝⎛⎭⎫b a 2> 5.

7．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2

n ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α.当α＝

2π

3

时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( ) A ．41 B ．15 C ．9

D ．1

解析：选B 由S △F 1PF 2＝1

2|F 1F 2|·y P ＝3y P ，

知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大． 此时∠F 1PF 2＝2π

3

，

得a ＝m ＝2 3，b ＝n ＝3，故m ＋n ＝15.

8．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角ABDC 的正弦值为( )

A.

5

5

B.33

C.255

D.

63

解析：选C 取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC

＝1，

则A ⎝⎛⎭

⎫

0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D

⎝⎛⎭

⎫32，0，0.

∴＝⎝⎛

⎭⎫0，0，

32，＝⎝⎛⎭

⎫0，1

2，32，＝

⎝⎛⎭

⎫32，12，0. 由于

＝⎝⎛⎭

⎫

0，0，

32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝(1，－3，1)，

∴cos 〈n ，

〉＝

5

5

，∴sin 〈n ，〉＝255

.

二、填空题(本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共36分) 9．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足·

＝4，则动点

P 的轨迹方程是________．

解析：由

·

＝4得x ×1＋y ×2＝4，因此所求动点P 的轨迹方程为x ＋2y －4＝0.

答案：x ＋2y －4＝0

10．点F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 是准线，A 是抛物线在第一象限内的点，直线AF 的倾斜角为60°，AB ⊥l 于B ，△ABF 的面积为3，则p 的值为________，点A 坐标为________．

解析：设A (x ，y )，∵直线AF 的倾斜角为60°，∴y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p

2①，∵△ABF 的面积为3，∴12·⎝⎛⎭⎫x ＋p 2·y ＝3②，∵A 是抛物线在第一象限内的点，∴y 2

＝2px ③，∴由①②③可得p ＝1，x ＝3

2

，y ＝ 3.

答案：1 ⎝⎛⎭

⎫3

2，3 11．已知P 为抛物线C ：y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线C 的焦点，其准线方程为____________，若准线与x 轴交于点N ，直线NP 与抛物线交于另一点Q ，且|PF |＝3|QF |，则点P 坐标为____________．

解析：∵y 2＝4x ，∴焦点坐标F (1,0)，准线方程x ＝－1.过P ，Q 分别作准线的射影分别为A ，B ，则由抛物线的定义可知：|PA |＝|PF |，|QF |＝|BQ |，∵|PF |＝3|QF |，∴|AP |＝3|QB |，