第13章 存储论-第2节 确定性存储模型(运筹学-东北大学,钟磊钢)

2C 3 最佳周期 t 0 C1 D
说明
• 从例1中还看到这些公式在实际应用时还会 有一点问题，因为t0(或Q0，n0)不一定是整 数。假设t0=16.235(天)。很明显，小数点后 面的数字对实际订货间隔的时间是没有意 义的，这时可以取近似的整数。取t0≈16或 t0≈17都可以。 • 为了精确起见，可以比较C(16)、C(17)的 大小，再决定t0=16或t0=17。
(此结果由图13-3中利用几何知识易得出， 平均存储量为三角形高的二分之一)
单位时间内单位物品的存储费用为C1，
t 时间内所需平均存储费用为1/2 (RtC1）。
t 时间内总的平均费用为C(t）
C3 1 C( t ) KR C1Rt t 2
(13 1)
• 只需对(13-1)式利用微积分求最小值的方法可 求出。
2.2 模型二：不允许缺货，生产需一定时间 • 本模型的假设条件，除生产需要一定时间 的条件外，其余皆与模型一的相同。 • 设生产批量为Q，所需生产时间为T，则生 产速度为P=Q/T。 • 已知需求速度为R，(R＜P)。生产的产品一 部分满足需求，剩余部分才作为存储，这 时存储变化如图13-5所示。
计算批量和批次
Q0 2 C3 (装配费) D(需求速度) C （存储费） 1 2 2500 3000 5.3 1682 (吨)
3000 12 n0 21.4 (次) Q0
计算需要的数据
• • • • 两次生产相隔的时间t0=（365/21.4）≈17(天) 17天的单位存储费(5.3/30)×17=3.00(元/吨)， 共需费用5.3/30×17×1682+2500≈5025(元)。 按全年生产21.5次(两年生产43次)计算，全年共 需费用5025×21.5=108037(元/年)。 • 两者相比较，该厂在利用E.O.Q公式求出经济批 量进行生产即可每年节约资金 • 125400 －108037=17363(元)
t0
2C 3 C1R
2C 3R C1
(13 2' )
Q 0 Rt 0
(13 3' )
C3 1 C0 C1Rt 0 2C1C3R t0 2
(13 4 )
'
例1
• 某厂按合同每年需提供D个产品，不许缺货。 假设每一周期工厂需装配费C3元，存储费 每年每单位产品为C1元，问全年应分几批 供货才能使装配费，存储费两者之和最少。 • 解 设全年分n批供货，每批生产量Q=D/n， 周期为1/n年(即每隔1/n年供货一次)。
图13-5
• 在［0，T］区间内，存储以(P-R)速度增加，在 ［T，t］区间内存储以速度R减少。 • T与t皆为待定数。从图13-5易知(P-R)T=R(t-T)， 即PT=Rt(等式表示以速度P生产T时间的产品等于 Rt t时间内的需求)，并求出
T
P
公式
1 t 时间内的平均存储量为 (P R )T 2 1 t 时间内所需存储费为 C1 (P R )T 2
第2节 确定性存储模型
2.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短
• 假设： • (1) 缺货费用无穷大； • (2) 当存储降至零时，可以立即得到补充(即备货 时间或拖后时间很短，可以近似地看作零)； • (3) 需求是连续的、均匀的，设需求速度R(单位时 间的需求量)为常数，则t时间的需求量为Rt； • (4) 每次订货量不变，订购费不变(每次备货量不 变，装配费不变)； • (5) 单位存储费不变。 • 这些假设条件只是近似的正确，
2C 3 PR 2C 3 R R C1 (P R ) C1P(P - R) (13 9)
2C 3 R (P R ) C1P
例3 某厂每月需甲产品100件，每月生产率为 500件，每批装配费为50元，每月每件产品存 储费为4元，求E.O.Q及最低费用。
• 解 已知C3=50，C1=4，P=500，R=100，将 各值代入公式(13-7)及(13-8)得
由于Q0、t0皆与K无关，所以此后在费用函数 中略去K、R这项费用。如无特殊需要不再考 虑此项费用，
• (13-1)式改写为
C3 1 C( t ) KR C1Rt t 2
(13 1)
C3 1 C( t ) C1Rt t 2
(13 4)
最佳费用公式
将t 0代入(13-4)式得出最佳费用
Baidu Nhomakorabea式
1 每个周期内平均存储量为 Q 2
每个周期内的平均存储费用为 C1
C1Q 1 1 C1 Q (年) 2 n 2n
C1Q C1Q 全年所需存储费用 n 2n 2
D 全年所需准备，结束费用 C 3 n C 3 Q
Q D 全年总费用(以年为单位的平均费用)： C(Q) C1 C 3 2 Q
公式
由于 S 仅能满足 t1 时间内的需求 S=Rt1，有 t1=S/R
1 1 S 在 t 时间内所需存储费 C1 St 1 C1 2 2 R
在 t 时间内的缺货费
2
1 1 (Rt - S) 2 C 2 R(t - t 1 ) C 2 2 2 R
2
公式
订购费为 C3 平均总费用
1 S2 (Rt S) 2 C( t , S) C1 C2 C3 t 2R 2R
• 从图13-4也可以看到C(t)在t0附近变化平稳，t有变 化时C(t)变化不大。利用数学分析方法可以证明当t 在t0点有增量Δt时， • 总费用的增量。
C3 2 C( t 0 ) 3 (t ) t0
• 即当Δt→0时，ΔC是Δt的高阶无穷小量。 • (证明的方法可参考微积分台劳公式部分)
图13-6
计算
利用模型一的 E.O.Q 公式计算：
Qo
2C 3 R C1
2 20 365 12 (单位) 500 20 %
最低费用 ：
minC (Q) C(Q o ) 2C1C 3 R 1208 (元)
订货点
• 由于提前期为t1=0天，10天内的需求为10单位甲商品， 因此只要当存储降至10单位时，就要订货。一般设t1 为提前期，R为需求速度，当存储降至L=Rt1的时候即 要订货。 • L称为“订购点”(或称订货点)。 • 确定多少时间订一次货，虽可以用E.O.Q除以R得出 to(to=Qo/R)，但求解的过程中并没有求出to，只求出 订货点L即可，这时存储策略是：不考虑to，只要存储 降至L即订货，订货量为Qo，称这种存储策略为定点 定货。相对地每隔to时间订货一次称为定时订货，每 次订货量不变则称为定量订货。
( 13 - 1' )
费用曲线
C(t)曲线的最低点 (min C(t))的横坐标 t0与存储费用曲线、 订购费用曲线交点 横坐标相同。即
C3 1 C1Rt 0 t0 2
(13-2′)式，(13-3′)式，(13-4′)式与 (13-2)式，(13-3)式，(13-5)式一致。
• 解出t 0 ，
2C 3 P t0 C1R (P R )
(13 6)
图 13-5 中 t 表示周期，所求出的 to 为最佳周期。相应的生产批量
2C 3 P Q o E.O.Q C1 ( P R )
(13 7)
PR minC ( t ) C( t o ) 2C1C 3 R P
(13 8)
2C 3 RP E.O.Q C1 (P - R)
Co 2C 1C 3 R ( P R ) P
2 50 100 500 56 （件） 4 (500 100 )
2 4 50 100 (500 100 ) 500
32000 179 (元)
例2
• 某轧钢厂每月按计划需产角钢3000吨，每 吨每月需存储费5.3元，每次生产需调整机 器设备等，共需准备费25000元。 • 若该厂每月生产角钢一次，生产批量为 3000吨。 • 每月需总费用 5.3×1/2×3000+25000=10450(元/月) • 全年需费用 10450×12=125400(元/年) • 然后按E.O.Q公式计算每次生产批量
t 时间内所需装配费为 C 3 单位时间总费用(平均费用)为 C(t)
2 1 1 1 1 Rt C( t ) C1 (P R )Tt C3 C1 (P R ) C3 t 2 P t 2
公式
设 min C(t)=C(t0)，利用微积分方法可求得
2.3 模型三：允许缺货，备货时间很短
• 模型一、模型二是在不允许缺货的情况下 推导出来的。本模型是允许缺货，并把缺 货损失定量化来加以研究。由于允许缺货， 所以企业可以在存储降至零后，还可以再 等一段时间然后订货。这就意味着企业可 以少付几次订货的固定费用，少支付一些 存储费用。一般地说当顾客遇到缺货时不 受损失，或损失很小，而企业除支付少量 的缺货费外也无其他损失，这时发生缺货 现象可能对企业是有利的。
C3 1 dC( t ) 令： 2 C1R 0 dt t 2
2C 3 得： t 0 C1R
(13 2)
经济批量公式
d C( t ) 因 0 2 dt
得 Q 0 Rt 0
2C 3R C1 (13 3)
2
即存储论中著名的经济订购批量 (economic ordering quantity)公式。 简称为E.O.Q公式，也称平方根公式， 或经济批量(economic lot size)公式。
公式
利用 t0 可求出最佳生产时间
Rt o To P
2C 3 R C1P(P R )
将前面求 to，Qo 的公式与(13-6)式， (13-7)式相比较，即知它们只差
P 一个因子。 PR
P 当 P 相当大时， 趋近于 1，则两组公式就相同了。 PR
进入存储的最高数量
So Q o RTo
分析模型一
• 其存储量的变化 • 情况用图13-3表示 • 假定每隔t时间补充一次 存储，那么订货量必须满 足t时间的需求Rt，记订 货量为Q，Q=Rt，订购费 为C3，货物单价为K，则 订货费为C3+KRt；t时间 的平均订货费为
C3 KR t
t 时间内的平均存储量为
1 t 1 RTdT Rt t 0 2
C 0 C( t 0 ) C3 2C1C3 R
2C 3 C1R 1 C1R 2C 3 2 C1R (13 5)
从费用曲线(见图13-4)
也可以求出t0，Q0，C0。
费用曲线
1 存贮费用曲线 C1Rt 2
C3 订购费用曲线 t
C3 1 总费用曲线 C( t ) C1Rt t 2
式中有两个变量， 利用多元函数求极值的方法求 C(t,S)的最小值。
公式
为求出 C(Q)的最小值，把 Q 看作连续的变量。
dC(Q) C1 D C3 2 0 ； dQ 2 Q
即 minC (Q) C(Q 0 ) ，
2C 3 D C1 D C3 2 , Q 0 2 C1 Q
Q0 为经济订购批量。
C1 D D 最佳批次 n 0 (取近似的整数) Q0 2C 3
本模型的假设条件除允许缺货外，其余 条件皆与模型一相同。
• 设 单位时间单位物品存储费用为C1，每次 订购费为C3，缺货费为C2(单位缺货损失)， R为需求速度。求最佳存储策略，使平均总 费用最小(见图13-7)。
假设最初存 储量为S
假设最初存储量为 S，可以满足 t1 时间的需求，
1 t1 时间的平均存储量为 S ，在(t-t1)时间的存储为零， 2 1 平均缺货量为 R(t - t 1 ) 。 2
例4 某商店经售甲商品成本单价500元，年存 储费用为成本的20%，年需求量365件，需求 速度为常数。甲商品的定购费为20元，提前 期为10天，求E.O.Q及最低费用。
• 解 此例题从表面上看，似乎应按模型二处理。 因为拖后时间似乎与生产需一定时间意义差不 多。其实不然，现将本题存储变化情况用图表 示之(见图13-6)，并与模型一、模型二的图相 比较，可看到与模型一完全相同。本题只需在 存储降至零时提前10天订货即可保证需求。