椭圆定点定值问题

2 x2 y 2 已知点 A(1, 2 ) 是离心率为 2 的椭圆 C： b2 a 2
1(a b 0) 上的一
点．斜率为 2 的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点，且 A、B、D 三点不重合． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ） ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最 大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线 AB、AD 的斜率之和为定值．
1 1 7 AB | 3 ， | CD | 4 , | AB | | CD | 12 ；
|
2°当直线 AB 的斜率存在时，设 AB : y k ( x 1)(k 0) ， 则
1 y ( x 1) k CD： ．又设点
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ．
x1 x2 2 ] x1 x2 ( x1 x2 ) 1
------*
将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得
2 2 b[ x1 x2 2 ] x1 x2 ( x1 x2 ) 1 =0，
即 k AD k AB 0
x2 y 2 3 1, ，且椭圆的左、右焦 1 已知椭圆 a 2 b2 （ a b 0 ） 经过点 2
y k1 ( x 1) 2 2 由 ,消去 x 2y 1
2 2 2 2 (1 2 k ) x 4 k x 2 k y,得 1 1 1 1 0 ,
2 1 2k12 1 2 k 2k1 1 x B ( , 解得 x=－1 或 1 2k12 ,∴点 1 2k12 1 2k12 )
3(80 m2 ) 40m 3(m2 20) 20m M( , ) , ) 2 2 、 N( 2 2 。 解得： 80 m 80 m 20 m 20 m
当 x1 x2 时，直线 MN
20m 3(m2 20) y x 2 20 m2 20 m 方程为： 40m 20m 3(80 m2 ) 3(m2 20) 80 m2 20 m2 80 m2 20 m2
点分别为 F1 1,0 、 F2 1,0 ，过椭圆的右焦点 F2 作两条互相垂直 的直线，分别交椭圆于点 A、B 及 C、D． （1）求椭圆的方程；
1 1 （2）求 CD 的值；
（3）求

9 CD 16
的最小值．
（1）法一：由椭圆的定义可知
3 2 3 2a | MF1 | | MF2 | (1 1) ( ) 4 2 2
1 （2）设 x1 2, x 2 3 ，求点 T
的坐标；
（3）设 t=9,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关） 。
（1）设点 P（x，y） ，则：F（2，0） 、B（3，0） 、A（-3，0） 。 由 PF PB 4 ，得 ( x 2) y [( x 3) y ] 4,
AB | 3,| CD | 4 时
9 21 | AB | | CD | 16 取等号所以 的最小值为 4 ．
x2 y 2 2 1( a b 0) 2 2 已知椭圆 a b 的离心率为 2
,
且过点 P(
2 1 , ), 2 2
记椭圆的左顶点为 A. (1) 求椭圆的方程； (2) 设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B,C 两点, 试求 ABC 面积的最大值； (3) 过点 A 作两条斜率分别为 k1 , k2 的直线交椭圆于 D,E 两 点, 且 k1k2 2 , 求证: 直线 DE 恒过一个定点.
5 ( 恒过定点 3 , 0)
x2 y2 在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆 9 5 1 的左、
右顶点为 A、B，右焦点为 F。设过点 T（t,m）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 N( x2 , y2 ) ，其中 m>0, y1 0, y2 0 。 （1）设动点 P 满足 PF2 PB2 4 ,求点 P 的轨迹；
a 2，b
2 c （Ⅰ） e 2 a ，
2 ，c 2
1 2 2 1 ，a b2 a 2
b c
2
2

x2 y 2 1 2 4
Y D A
B O X
（Ⅱ）设直线 BD 的方程为 y 2 x b
y 2x b 2 2 2 x y 4
9 9 | CD | | CD | 12 25 | AB | 21 12 25 16 | AB | ( 2 16 ) ( ) 7 16 | AB | | CD | 4， 7 16 | AB | | CD |
9 | CD | 3 | AB | 16 | AB | | CD | 4 当且仅当 | AB | | CD | ，即 ，即 |
y k ( x 1), 2 2 2 2 2 2 3 x 4 y 12, (4 k 3) x 8 k x 4 k 12 0 ， 联立方程组 得
4k 12 8k 2 x1 x2 x1 x2 2 4k 2 3 4k 3 ， 所以
2
2 2 2 2
1 2
2 所以 | m | | n | 4
,
2 S 当且仅当 | m | 2 | n | 时取等号从而 ABC 4 , 即 ABC 面积
的最大值为
2 4
(3)因为 A(－1,0),所以 AB : y k1 ( x 1), AC : y k2 ( x 1) ,
2
Hale Waihona Puke Baidu
a 2
由 c 1得 b 3
x2 y 2 1 故椭圆的方程是 4 3 ；
法二：由已知得，
9 2 1 4 1 a a 2 b2 2 2 2 a b 1 ，得 b
4 3
x2 y 2 1 ，故椭圆的方程是 4 3 ；
（2）椭圆的右焦点为 F2 (1, 0) ，分两种情况讨论如下： 1°当直线 AB 的斜率不存在时，AB: x 1 ，则 CD: y 0 ．此时
1 2k22 2k2 同理,有 C(1 2k22 , 1 2k22 ) ,而 k1k2
∴直线 BC
k12 8 4k1 2 ,∴ C ( 8 k 2 , 8 k 2 ) 1 1 4k1 2k1 2k1 8 k12 1 2k12 1 2k12 y 2 (x ) 2 2 2 1 2k1 1 2k1 , 的方程为 1 2k1 k1 8 2 8 k1 1 2k12
3k1 5k1 2k1 3k1 1 2k12 y x y ( x ) 即 1 2k12 2(k12 2) 2(k12 2) 2(k12 2) 1 2k12 ,即 2 y0 所以 2 yk1 (3x 5) k1 y 0 , 则由 3x 5 0 , 得直线 BC
1 1 7k 2 7 7 2 | AB | | CD | 12( k 1) 12 为定值． 所以
1 1 7 （3）解：由（II）知 | AB | | CD | 12 ，
9 12 9 1 1 | AB | | CD | (| AB | | CD |)( ) 16 7 16 | AB | | CD | 所以
(1) 由
c 2 2 a 1 1 2 2 1 b 2a2 4 a b2 c2
a 1 2 b 2 ,解得 2 ,所以椭圆 C 的方程为 c 2
x2 2 y 2 1
(2)设 B(m, n) , C (m, n) ,则 SABC 2 | m | | n || m | | n | 又 1 m 2n 2 2m n 2 2 | m | | n | ,
令 y 0 ，解得： x 1 。此时必过点 D（1，0） ； 当 x1 x2 时，直线 MN 方程为： x 1 ，与 x 轴交点为 D（1，0） 。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0） 。
4 x 2 2bx b 4 0
2 2
8b2 64 0 2 2 b 2 2
2 x1 x2 b, ----① 2
2
b2 4 x1 x2 4 -----②
64 8b2 6 BD 1 ( 2 ) x1 x2 3 3 8 b2 4 4 2
（Ⅲ） 设 D( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，直线 AB、AD 的斜率分别为： k AB 、
k AD ，则
k AD k AB
=
2 2 b[
y1 2 y2 2 2 x1 b 2 2 x2 b 2 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
|AB|
1 k 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2
64k 4 16(k 2 3)(4k 2 3) 12(k 1) 1 k (4k 2 3) 2 4k 2 3
2
2
2 12(1 k ) 1 | CD | 4 3k 2 由题知，直线 CD 的斜率为 k ，同理可得
2 2
2 2 2 2
9 x 化简得 2。
故所求点 P 的轨迹为直线
x
9 2。
1 （2）将 x1 2, x 2 3 分别代入椭圆方程，以及 y1
0, y 2 0
1 5 20 得：M（2， 3 ） 、N（ 3 ， 9 ） 。
y 0 x3 1 y 直线 MTA 方程为： 5 0 2 3 ，即 3 x 1 ， 3
，
b 3
设 d 为点 A 到直线 BD： y 2 x b 的距离，
S ABD 1 2 BD d (8 b2 )b2 2 2 4
d
，当且仅当 b 2 时取等号.
因 为 2 (2 2,2 2 ) ， 所 以 当 b 2 时 ， ABD 的 面 积最 大，最大值为 2
直线 NTB
y 0 x 3 5 5 y x 方程为： 20 0 1 3 ，即 6 2 。 9 3
x 7 10 联立方程组，解得： y ， 3
10 (7, ) 所以点 T 的坐标为 3 。
3）∵点 T 的坐标为 (9, m)
y0 x3 m y ∴直线 MTA 方程为： m 0 9 3 ，即 12 ( x 3) ， y 0 x3 m y 直线 NTB 方程为： m 0 9 3 ，即 6 ( x 3) 。 x2 y2 分别与椭圆 9 5 1 联立方程组，同时考虑到 x1 3, x2 3 ，