第一讲常微分方程分解

模型一：交通管理中的黄灯问题
◆问题的提出：
十字路口亮红灯之前要亮一段时间的黄 灯，这是为了让正在行驶在十字路口的人注意， 告诉他们红灯即将亮起，假如能够停住，应当 马上刹车，以免冲红灯违反交通规则，那么， 黄灯应当亮多久才比较合适？
◆问题的分析： I.
根据法定速度v求出停车线的位置
II 根据停车线位置和v确定黄灯该亮多久
t
0 0 lim x ( t ) x , lim x ( t ) x 若有 1 1 2 2
则平衡点是稳定的，否则不稳定。
线性常系数方程
1 (t ) a1 x1 a2 x2 x 2 (t ) b1 x1 b2 x2 x
(4)
原点是其唯一的平衡点，其稳定性由（4）的 特征方程的根决定
二、二阶微分方程的平衡点及稳定性 二阶微分方程一般可化为两个一阶方程表示
1 (t ) f ( x1 , x2 ) x 2 (t ) g ( x1 , x2 ) x
(3)
f ( x1 , x2 ) 0 g ( x1 , x2 ) 0
t
的根x1=x10,x2=x20称为（3）的 平衡点。
刹车时间 刹车距离
v0 t2 fg
1v x(t2 ) 2 fg
2 0
从而停车线到路口的距离为
1v L v0t1 2 fg
等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程， 第二项为刹车距离。
2 0
黄灯时间的计算 记街道的宽度为D,平均车身长度为H，这些 车辆应通过的路程最长可达到L+D+H,因而，为保 证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少 应为
dI dy m(a I ), dt dt
m 0,a 0
(3)
模型构造与求解：
由（1）—（3）代入整理得
dY dY (ls m lma) slmY lmG 2 dt dt
2
（4）
记 ls m lma ， mls
（4）化简为
dY dY Y lmG 2 dt dt
4ac b 2a
2
诸如 ax bx cx f (t ) 的线性非齐次方程的通解 等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解的和.
'' '
微分方程的稳定性理论 :
一、一阶方程的平衡点及稳定性(自治系统)
(t ) f ( x) x
(1)
方程f ( x) 0的实根x x0 称为方程（）的平衡点。 1 若 lim x(t ) x0 , 则称平衡点x0是渐近稳定的，
2
（5）
验算知G/S为（5）的一个特解，下面对（5） 的通解进行讨论
4 记 1 , 2
2
1.当 2 4 时，（5）的通解为 G 1t 2t Y (t ) Ae Be S 1 , 2中至少有一个为正，则 lim Y (t ) 若 t 即生产水平随时间的增加而增加。
t
否则是不稳定的。
判断方法：
1.求解原方程用定义判断 2.当原方程不易求解时将f(x)在x0作Taylor展开， 只取一次项，即方程（1）近似为
(t ) f ( x0 )( x x0 ) x
'
(2)
若f ( x0 ) 0, 则x0是渐近稳定的. 若f ( x0 ) 0, 则x0是不稳定的.
◆模型假设及构造求解：
假设驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间 t1（据统计数据可假设为1秒），刹车后需行驶一段距 离称刹车距离，使机动车减速的摩擦力系数为 f, 汽车 质量m,刹车制动力为fmg。
由牛顿第二定律，有
d 2x m dt 2 fmg dx x(0) 0 ， v0 dt t 0
常微分方程的主要特点是利用微元分析法， 建立瞬时变化率的表达式，然后根据所给条件确 定解曲线。因此，对变化率的假设与推导是建立 常微分方程模型的关键。
微分方程的解
一阶微分方程：可分离变量, 齐次方程,线性方程等.
'' ' ax bx cx 0 二阶微分方程:
b b2 4ac b b2 4ac r1 , r2 2a 2a
常微分方程建模（动态模型）
数学建模的一般步骤
• 1. 了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌 握必要的数据资料。 • 2. 通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因 素，经必要的精练、简化，提出若干符合客观实 际的假设。 • 3. 在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去 刻画各变量之间的关系，即建立模型。 • 4. 模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定 理证明等）。 • 5. 模型的分析与检验。
LDH T v0
模型二：国民经济的增长
问题的提出：
消费资金
国民收入主要用于 投入再生产的积累资金 共设施开支
讨论国民收入与这三者之间的关系
模型假设：
1）记 Y(t)——t时刻的生产水平（国民收入平） C(t)——t时刻的消费水平 G——用于公共设施的开支水平 I(t)——t时刻用于投资再生产的投资水平
2）设消费水平与生产水平成正比 C=kY, 0<k<1
3）记 D(t)为t时刻的需求水平，则 D(t)=kY+I+G （ 1）
设生产水平的改变与需求水平和生产水平的差 成比例，即
dY l(D Y ) , l 0 dt
（2）
4）设投资水平的变化率与生产水平的变化率和现 有投资水平的差成比例
2 p q 0 p (a1 b2 ) q a b a b 1 2 2 1
若p>0,q>0则平衡点稳定 若p<0,q<0则平衡点不稳定
微分方程的稳定性理论将平衡点分为节点、 焦点、鞍点、中心等类型，这完全取决于p,q 的值。
对于一般的非线性方程（3），可以用近似 线性方法判断其平衡点的稳定性。而对于任意高 阶的微分方程都可以化为一阶微分方程组来处理。
b 2 4ac 0, b 4ac 0,
2
x c1e r1t c2e r2t b x c1e c2te , r1 r2 2a t x e (c1 cos t c2 sin t )
r1t r1t
b 源自文库4ac 0,
2
b , 2a