波函数与薛定谔方程

§2.5
定态薛定谔方程
这里讨论一个极为重要的特殊情况： 假设势能U不显含时间t（经典力学中，在这种势场 中的粒子的机械能是守恒量）。 此时，薛定谔方程可以用分离变量法求其解，令特 解为
(r , t ) (r ) f (t )
代入薛定谔方程
i f t
i t
2
(r , t ) * (r , t )
(1)
几率密度时间变化率
w t * t * t
(2)
将薛定谔方程
i t
2
U
2
i
* t


2
U
2
2m
2m
代入得：
w t i 2m i 2m ( * *)
第二章 波函数与薛定谔方程
2.1 波函数的统计解释 2.2 态迭加原理 2.3 薛定谔方程 2.4 粒子流密度和粒子数守恒 2.5 定态薛定谔方程 2.6 一维无限深势阱 2.7 线性谐振子
§2.1波函数的统计解释
• 一、波函数 • 一般情况下，用一个函数表示描写粒 子的波，并称这个函数为波函数。 (r , t ) ( x, y , z , t ) 波函数的统计解释：波函数在空间某点 的强度（振幅绝对值的平方， (r , t ) 2 ）和 在该点找到粒子的几率成正比。 描写粒子的波称为几率波。 波函数描写粒子的量子状态。
c 1 d
2
令
c则w
2
2


( x, y, z, t ) d 1
满足上式的波函数称为归一化波函数，上式也称为 归一化条件， c 称为归一化常数。
例：给定 ( x)
1 2
cos
2x a
x (0, a)，将其归一化。
解:设归一化波函数为
• 归一化：
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，其地位与牛 顿方程在经典力学中的地位相当。它是量子力学的 一个基本假定，并不能从什么更根本的假定来证明 它。它的正确性，归根结底，只能靠实验来检验。 推广到多粒子体系：
E

i 1
N
pi
2
2mi
U ( r1 , r2 ,... rN )
pi i i
进一步考虑在势场U(r)中运动的粒子，经典粒子的能 量关系式
E p
2
U (r )
2m
(9)
对于上式作算符替换，然后作用于波函数上，即得：
i t (r , t ) [
2
U (r )] (r , t )
2
2m
(10)
这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动 的基本规律。
( x), 即( x) c( x)
2



( x ) dx
2
1 4
c
4x a
2

a
cos 1 4
2
2x a
dx 1
0

1 4
c

a
1 cos 2
8 a
dx
c
2 a
2
a 2
0
解得： c
2
c2
2 a cos 2 x a
( x ) c ( x )
3、任意相因子
i t
i 1 N
i i j k xi yi zi
2

2mi
i U
2
这是多粒子体系的薛定谔波动方程
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
在一定的空间区域，粒子出现的几率怎样变化？ 1、定域的几率守恒 几率密度
w(r , t ) (r , t )
we e (r , t )
2
电荷密度
ie J e eJ ( * * ) 电流密度 2m we 电荷守恒定律 Je 0 t
注意：这里的几率守恒具有定域的性质。当粒子在空 间某地的几率减小了，必然在另外一些地方的几率增 加了（使总几率不变），并且伴随着有什么东西在流 动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。 2、波函数的标准条件 波函数必须满足：有限性、连续性、单值性。 这就是波函数的标准条件。
下面用一个简单的办法来引进这个方程。首先讨论自 由粒子，
( r , t ) Ae
i ( p r Et )
（1） （2）
i p
对时间求导：
i
i
2
t
x
2
E
p x
对坐标求导
2 p
i j k x y z
一般，为复函数，如1 10e
i1

2
c11 c2 2

2
c1 1 c2 2 c1 1 c2 2








, 2 20e
i 2

c1 1 c1 1 c1 1 c2 2 c2 2 c1 1 c2 2 c2 2 c1 1


2
U E
2m
由（2）直接有：
f (t ) ~ e
iEt /
因此，特解 ( r , t )可表为：
iEt (r , t ) (r )e
/
(4)
形式如(4)式的波函数所描述的态称为定态。 (4)式称为 定态波函数，也就叫波函数。方程(3)称为不含时间的 薛定谔方程或定态薛定谔方程。 式（2）和（3）分别乘以Ψ 和f有，
c ( p )
p
p
(r ,t)
事实上任何一个波函数都可以当作是各种不同动量 的平面波的叠加：
(r , t )


c ( p , t )
(r ) p 1 ( 2 )
p
( r ) dp x dp y dp
e
i P r
z
其中
3/2
c( p,t)
1/ 2
i 1/ 2
c ( p , t )e
i

px
dp
( x, t )e
px
dx
§2.3 薛定谔方程
经典力学：已知力 F 及 x0、v0，质点的状态变化由 牛顿运动方程求出。
量子力学：微观粒子的运动状态由波函数来描写，状 态随时间的变化遵循着一定的规律。 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基 础上，提出了薛定谔方程作为量子力学的又一个基 本假设来描述微观粒子的运动规律。 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻 粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必 须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
说明在整个空间找到粒子的几率与时间无关。
w (r , t )
几率密度 几率流密度 几率守恒定律
i J ( * * ) 2
w t J 0
wm m (r , t )
2
质量密度
i Jm mJ ( * * ) 质量流密度 2 wm Jm 0 质量守恒定律 t
2


c2 2
2
c1 c2 1 2 c1 c2 1 2



三、态迭加原理的一般形式 当 1 , 2 , n 为体系的可能状态时，他们的 线性迭加 c11 c2 2 cn n cn n
n
也是体系的一个可能状态。当体系处于 态时， 体系部分的处于 1 , 2 , n 态之中
一、态迭加原理
经典波的干涉，衍射现象都是态叠加原理的结果 量子力学中： 如果 1 和 2 是体系的可能状态，则它们的线性 迭加 c11 c 22 也是这个体系的一个可能 状态，而且当粒子处于 1 和 2 的线性迭加态 时，粒子是既处于 1 态，也处于 2 态
二、状态迭加——干涉项
一般( x, y, z, t )为复函数，e 与描写
i
同一状态，不影响归一化，e 称为相因子
i
4、自由粒子波函数不可归一化 例：
i ( pr Et ) p ( r , t ) Ae
而 p d

2
A d

2
§2.2 态迭加原理
描述一个粒子： 经典力学：坐标，动量 量子理学：波函数，几率 这种描述的差别的原因是波粒二象性。 波粒二象性还通过量子力学中关于态的一个基 本原理——态叠加原理表现出来。

2
（3）

2 2

x


2 2
y


2 2
z
利用以上（2）、（3）两式，可以得出
(i t
2
) ( E
2
p
2
)
2m
2m
其能量与动量的关系是：
E p
2
2m
（4）
所以前式右边为0，即：
2 i (r , t ) (r , t ) t 2m
i t
2
E
(5) (6)
2 U E 2m
其中
i
t
和
2 U 2m
2

都称为能量算符或（哈密
ˆ 顿算符，记为 H ，因此：
ˆ H E
(7)
ˆ 这种类型的方程称为本征值方程。E称为算符 H 的本征 ˆ 值， 称为算符 H 本征函数。
电子在晶体表面的衍射实验中，粒子在晶体表 面上反射后，可能以各种不同的动量p运动。 以一个确定动量p运动的粒子状态波函数是：
ψp( r , t)
i
Ae

( pr Et )
按态叠加原理，在晶体表面上反射后，粒子 的状态可以表示为各种可能动量值的平面波 的线性叠加。
(r ,t)

w t
d
V

S
J d S J n dS
S
（7）
上式左边代表在闭区域V中找到粒子几率的变化率， 而右边（注意负号）表示单位时间内通过封闭表面流 入体积V内的几率。 J称为几率流密度矢量。
对整个空间：
t


wd
t
2


* d 0
（8）
2
（5）
2 i (r , t ) (r , t ) t 2m

2
（5）
由（4）式，可以得出
E p
2

（6）
2m
比较（5）、（6）两式，粒子能量E和动量 p各与下列算符相当：
E i t
（7） （8）
ˆ p p 就可得到方程(5).
二、波函数的归一化
• 1、几率密度 • 以波函数 ( x, y, z, t )描写粒子的状态，t时刻 （x,y,z）位置波函数强度 • 以dw(x,y,z,t)表示在（x~x+dx, y~y+dy, z~z+dz 位置找到粒子的几率 则由波函数的统计解释： 2 dw( x, y, z , t ) c ( x, y, z , t ) d
2
(1) 中，可得：

2
U
2
2m


f U f
2
2m
两边分别除以fΨ
i f
上式右边E是即不依赖于t，也不依赖于 r 的常数，于是
i f t
2
1 2 f U E f t 2m
2
Ef
(2) (3)
c ( p , t ) 和 ( r , t ) 互为傅里叶变换，是同一状态

(r , t )e
i p r
dxdydz
的两种不同描述方法，前者以动量为变量，后 者以坐标为变量。 一维情况下：
( x, t)
c( p,t)
1 ( 2 )
1 ( 2 )
2 2
( * *)
(3)
令
则
i J ( * * ) 2m w J 0 t
(4)
(5)
• 将上式对空间任意一个体积V求积分：

w t
d
V
wd t
V


Jd
V
（6）
利用高斯定理得：
t时刻在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率 密度
w( x, y, z , t ) dw( x, y, z , t ) d c ( x, y , z , t )
2
2、波函数的归一化 粒子必定在空间某点出现，所以 2 c ( x, y, z , t ) d 1