高中数学必修一 函数的应用举例

函数的应用举例

教学目标：

1. 在初中基础上,进一步通过建立函数模型以及运用模型解决问题，体会函数

的广泛应用及运用方法。

2.通过思考、交流、合作等探究过程，培养学生的探索精神和创新意识，养成

良好的学习习惯。

3.学会使用信息技术工具如计算器,计算机,来计算、整理、表达信息。

重点: 数学建模的方法.

难点: 根据实际问题合理的选择数学模型和科学评价模型优劣．

教学过程：

（一）引入：

［师］数学来自生活，又应用于生活和生产实践．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．从初中到高中目前已经学习过的函数：（要求学生在课前作系统地归纳整理），在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，函数图像性质；常用到几类重要的函数：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数等，今天举例说明函数的应用.

初高中衔接：

“能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一。学生通过初中的学习基本具备这种能力，这也是中考中考核的最重要的知识点之一。

【2008年中考26题】：随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y与投资量x成正比例关系，如图-①所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润关于投资量的函数关系式

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

图-①图-②

（在初中，关于函数的应用已经非常重视，一般函数关系具体（如本题中已明确是正比例关系、二次函数关系），且有图形提供数据，学生只需用待定系数法确定各函数中的常数，即可获得函数关系，再将其化为常规的函数问题解决。到高中，思维层次上升，对函数应用提出更高的要求。

(二)新课:

以下是对某一地区不同身高的未成年男性的体重平均值调查统计表：

问题：据医学测定，如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍属偏胖，低于相同身高男性平均值的0.8倍属偏瘦。现在某地区某中学有一男生，其身高175cm，体重为75kg,试问他的体重是否正常？

1、引导分析：

启发（1）：表中身高栏中没有175 cm这个数值，对应的体重只有靠推测，依据统计表，是否可以找到身高与体重的关系呢？

启发（2）：根据身高与体重的数对关系，假设身高用x来表示，体重用y来表示，那么x、y之间有什么函数关系呢？

以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中，描出各点，设 A（60，6.13）、B（70，7.90）、C（80，9.99）、D（90，12.15）、E（100，15.02）、F（110，17.50）、G（120，20.92）、H（130，26.86）、I（140，31.11）、J （150，38.85）、K（160，47.253）、L（170，55.05）

（观察连线接近的函数图象，猜想应当选择哪种函数关系式；然后用待定系数法确定函数中的常数，找出与之接近的模拟函数）

2、讨论模型：（备好坐标纸，学生两两合作，描点，成图，猜想函数模型），

学生操作后易发现（推选代表发言）：

猜想模拟函数：（1）二次函数型：

（2）指数函数型：

两种意见的同学分别用待定系数法确定所选函数式中的待系数，

（学生继续两两合作，代值，计算（用计算器），求解）

猜想1：二次函数型，设函数关系为c bx ax y ++=2，

（因时间限制，统一选择点A （60，6.13）, C (80,9.99), E (100,15.02)

坐标代入得:⎪⎩

⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅=579.101175.000146.010010002.15808099.9606013.6222c b a c b a c b a c b a 近似函数关系式为: 579.101175.000146.02+-=x x y

猜想2:指数函数型：设函数关系为x b a y ⋅=,

（因时间限制，统一选择点B （70，7.90）, L (170,55.05)坐标代入,得:

⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=02.1205.5590.717070b a b

a b a 近似函数关系式为:x y 02.12⨯= 3、评价模型优劣：

记二次函数型: 579.101175.000146.0)(2+-=x x x g

记指数函数型:x x f 02.12)(⨯=

将H （130，26.86）, J （150，38.85）,K （160，47.253）分别代入)(x f 、)(x g 中，计算并比较误差：

得到(1): 2.26)130(=f 误差:-0.66

7.24)130(=g 误差:-2.16

(2)： 0.39)150(=f 误差:0.15

7.32)150(=g 误差:-6.15

（3）：5.47)160(=f 误差:0.25

1.37)160(=g 误差:-10.15

引导学生分析上述两个模型的优劣,结合模拟函数图象与散点图切合的情况（电脑制作）和计算的结果误差情况,指出从形的角度考虑，要求剩余点较少，从数的角度考虑，要求计算的误差要小,这样选出的函数才比较接近实际情况.

比较后得出：用指数函数型:x y 02.12⨯=拟合较符合实际。

把x =175代入得: 98.63=y 即身高175 cm 的男性体重平均值98.63 kg 2.122.198.6377>≈÷

结论：这名男生体形偏胖。

问题：已知姚明的身高为226cm,体重为125kg,他的体重是否正常？

把x =226代入得: 66.175=y ，即相同身高226cm 男性平均值为66.175 kg

8.071.066.175125<≈÷

结论：姚明的体形偏瘦。

（同学们课外可以算算自己体形是否标准）提高学生学习数学的兴趣，感受数学的无限美妙！学以致用！