8一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解基础

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；
2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
【要点梳理】
知识点一、一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式
222)?0c?0(aax?0(a?0)?bx?cax?bx?acb?4的叫做一元二次方程中，一元二次方程2ac4b????根的判别式，通常用“”来表示，即 2个不相等的实数根；1（）当△>0时，一元二次方程有 2个相等的实数根；2）当△=0时，一元二次方程有（. <0时，一元二次方程没有实数根（3）当△要点诠释：cb.a,②确定利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；22ac?4b?4acb. 的符号判定方程根的情况的值；③计算的值；④根据一元二次方程根的判别式的逆用 2.
??200?aax?bx?c?在方程中，?2ac?4b0（1）方程有两个不相等的实数根；﹥?2ac4b?；=0（2）方程有两个相等的实数根?2ac?4b0.
）方程没有实数根﹤（3要点诠释：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；
2ac4?b0. ≥ 2（）若一元二次方程有两个实数根则
【典型例题】类型一、的应用一元二次方程根的判别式1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
≠0)(1)2x+3x-4=0
22 (2)ax+bx=0(a
【答案与解析】2+3x-4=0 (1) 2xa=2, b=3, c=-4,
×2×(-4ac=3- ∵Δ=b.
22-4)=41>0 4
∴方程有两个不相等的实数根
(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，22,
0=b ∵Δ=b-4·a·
b ∵无论b
2均为非负数，取任何关数，
. 故方程有两个实数根∴Δ≥0，
2ac4b?. 的符号判定方程根的情况【总结升华】根据举一反三：（1）】【高清ID号：388522 关
联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例222?1xaax???0 .
】不解方程，判别方程根的情况：【变式. 无实根【答案】
2的kx?2．（2015本溪）关于x的一元二次方程（k﹣1）﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实
数取值范围是．
0.此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于【思路点拨】k≠1；2【答案】k
＜且2）x﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，1【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2﹣
﹣）4（k1）＞0，=≠∴k﹣10且△（﹣2 ．≠2且k1＜解得：k 2且k≠1．故答案为：k＜. 0
这一条件【总结升华】不能忽略二次项系数不为举一反三： ID【高清号：388522 关联的
位置名称（播放点名称）】---例3：证明根的情况2.
恒有两个不相等的实数根）（（x x】m为任意实数，试说明关于的方程-m-1）x-3m+3= 0变式【222＞
+10m+37=(m+5)）×=[-(m-1)]∵【答案】Δ-4[-3(m+3]=m+120，2 x-3）m-1-x的方程∴关于
x（（= 0）m+3恒有两个不相等的实数根.
知识点二、一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
2xx，)?00?bx?c?(aax的两个实数根是如果一元二次方程，21bcx?x?x?x?. 那么，2112aa
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项
系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x、x的对称式的值．此时，常常涉及代数式
的一些21重要变形；如：
222x?x?(x?x)?2xx；①212211x?x1121??；②xxxx2211
22xx?xx?xx(x?x)；③22221111222xx?xx?2xx(x?x)22112121???；④
xxxxxx21221122(x?x)?(x?x)?4xx；⑤2121212?xx?k(x?x)?k)kx(x?k)(?；⑥221121
22x?4x?(x?x)||x?x?(x?x)；⑦21112221222x??2xx?(xx)x11221112???；⑧
22222)x(xxxxx221121
22x?4x?(x?x)??x?x?(x?x)⑨；21121221
2222?2xx?2|xx|)?x?||+2?|)x?|(|x|?x|x?||x|?xxx(x．⑩222
已知方程的两根，求作一个一元二次方程；(4).
以两个数为根的一元二次方程是已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；(5)．
. ）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号（620)c?0(a?ax?bx?xx的两根为设一元二次方程，则、210xx?时，两根同号．①当△≥0且210?x?xxx?0当△≥0且时，两根同为正数；，21120?x?xxx?0时，两根同为负数．0且，当△≥22110?xx时，两根异号．0且②当
△＞210x??xx?0x，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且21120x?xx?0x?时，两根异号且负根的绝对值较大．当△＞0且，2211要点诠释：．一些考试中，往1）利用根与系数的
关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的（?往利用这一点设置陷阱；）若有理系数一元二次方程有一根．，则必有一根（，为有理数）（2b?a?abba
类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用20kx5x??6?的一个根是2，求另一个根及k的值．3．已知方程【思路点拨】代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．x根据方程解的意义，将＝2 【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x，则由一元二次方程根与系数的关系，136k?xx?2??2x??? 7．，，得，从而解得：k＝-
1115552．＝-7+2k-6＝0，从而2 方法二：将x＝2代入方程，得5×k x设另外一根为，则由一元二次方程根与系数的
关系，137?2?xx??得，，从而11553?故方程的另一根为-，k的值为7．5cb??xxx?x?
易得另一根及，k根据一元二次方程根与系数的关系【总结升华】的值．2211
aa举一反三：2---【高清课堂：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（二）例】2c0x?x2??c3的一个根是，求
它的另一根及的值．】已知方程【变式c．-3的值为；-1另一根为【答案】．
2．m+2）x+2=0咸宁）已知关于x的一元二次方程mx﹣（4．（2015?为何值时，方程总有实
数根；1）证明：不论m（为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．2）m（
【答案与解析】28m ﹣△=（m+2）解：（1）24m+4
﹣=m2，（m﹣2）=2，2）≥0m∵不论m为何值时，（﹣，∴△≥0 ∴方程总有实数根；
2）解方程得，，x=（2，x=1，x= 21m∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意
义及正确求解适合条件的整数根．
【巩固练习】
一、选择题
1. 下列方程，有实数根的是( )
203?2x?x?2222 0 D．x-0.1x-1＝0 C＝0 B．x+3x+21＝．2x
A．+x+1220)??0(aax?bc?cac4b?有两个不相等的实数根，则）．一元二次方程2满足的条件是（22220b?4ac?4ac?0b?4ac?0??b4ac?0b．． DA． B． C2））x﹣2x+2=0有实数根，
则整数a的最大值为（1（3．2015?贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣0 C.1 D.2 B．A．﹣12x,x0?2x?x3?的说法正确的是（4．关于方程的两根）212?x??2x?x?x?x?3x? D.
C. B.无实数根A. 2122112+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（）x5．关于的一元二次
方程xD.k=4
＞4 B.A. k≥4 k≤4 C.k22????)(?02x3x?6??．）的值为（，则、的两根为．一元
二次方程6．
A．3 B．6 C．18 D．24
二、填空题
2．kx﹣4x ﹣=0有实数根，则k的取值范围是（7．2015?酒泉）关于x的方程
11??2??_______，?=______x，则x+x=______，xx，x8．已知3x-2x-1=0的二根
为，222111xx2122=________． x+x=_______，x-x2112，
则代数式的值是。

9 ．若方程的两根是x、x21222xxxx0x?3x?2?的两根分别为、为
根的一元二次方程是，以________、10．设一元二次方程．21212 _____ __．11．已知一元
二次方程x-6x+5-k=0?的根的判别式△=4，则这个方程的根为．__ _一个两位数，个
位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为12．
三、解答题22，的方程x-(2k-1)x＝-k+2k+313．当k为何值时，关于x 有两个不相等的实数
根？(1) 有两个相等的实数根？(2)? 没有实数根(3)
＝0有两个相等的实数根．a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a+b14. 已知请你判222)x-2cx+1
断△ABC的形状．
2 x﹣x﹣1=0+的两根，求的值．a15．（2015?大庆）已知实数，b是方程
【答案与解析】一、选择题；1.【答案】C 【解析】由根的判别式判定．；2.【答
案】B220ac???ax?bx?c0?b4．(a 【解析】≠0)有两个不相等实数根；【答案】3.B2 a的一元二次方程（﹣1）x﹣2x+2=0有实数根，【解析】∵关于x2 0a8a1﹣）=12﹣≥0且﹣1≠，a8）（﹣
∴△=2﹣（1a且≠，a∴≤0a∴整数的最大值为．故选：B．；D【答案】4.
＜0，此无实数根，故选【解析】求得Δ=b-4ac=-8 B；5.【答案】2有实数解，的一元二次2 D.
方程x+4x+k=0【解析】∵关于x22 4ac=4∴b﹣﹣4×1×k≥0，解得：k≤4，故选B．【答案】A；6.3?????3??，，【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：222??????3?(6?)?4??(9??)因此．
二、填空题 6；7．【答案】k≥﹣﹣【解析】当k=0时，﹣4x，﹣x= =0，解得
2=0﹣是一元二次方程，时，方程当k≠0kx﹣4x
根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，
解得k≥﹣6，k≠0，
综上k≥﹣6．
--2 ；±；；；；8．【答案】==-=-2+xx =xx+，，【解析】，2121
222= =+=(x x+x+x)-2xx，21221122 =x=+ (x-x)=(x+x)-4x，∵221121=-x x.∴±21【答案】6；9．x?x?2,x?x??3，【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：2121222?2xx?2(x?x)?4?6??x??2x2x?(xx)?4?6x．221111122220?y?4y?13【答案】10．；2?x?x3?x?x 【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：，，
21212222222242)?)xx?xx?????xx?)?x?x?x(x232(2)13(?(?，，从而2211211221
204?13y?y?于是，所求方程为．=2.
x=4【答案】 x，11．212，x= 【解析】∵△=4，∴b-4ac=4，即
∴x=4，x=2．2112．【答案】 25或36；
x,则个位数字为（x+3）.依题意得（x+3）=10x+(x+3),
2【解析】设十位数字为
解得x=2，x=3．21当x=2时，两位数是25；当x=3时，两位数是36.
三、解答题
13.【答案与解析】
22220k?3?1)?(2k?x?k?21)x?(2k?x??k?2k?3x解：化为一般形式为：，
23k2?c?k?1)?(2kb??1?a，．∴，∴22222?8k?12?4k4k?13?2k?3)?4k1?4k??△
?b?4ac?[?(2k1)](?4?1?k?．
13k??0k?13?4．∴0． (1)若方程有两个不相等的实数根，则△＞，即
413?k?0?13?4k．0(2)若方程有两个相等的实数根，则△＝，即，∴413?k?0?4k13? 0，即，∴．(3)若方程没有实数根，则△＜41313??k?时，方程有两个不相等的实数根；当答：当k＝时，方程有两个相等的实数根；4413??k，方程没有实数根．当4 14.【答案与解析】
22222)bc?4(a?△?4b?A?a1C??B?2c，，，，解：令222bc?a?，0方程有两等根，∴△＝，∴∵ ABC为直角三角形．△∴
15.【答案与解析】2 x﹣1=0的两根，﹣，解：∵实数ab是方程x 1，，∴a+b=1ab=﹣
．=
∴+=
3﹣=。