专题讲座动态规划与层次分析法

得第三阶段最优决策表，如下
•动态规划模型举例
第三阶段最优决策表
第四阶段：初始库存量 s4=0 由状态转移方程： s3=s4+x4-60 可知 x46，由阶段效果递推公式有：
f4(0,6)=d4(0,6)+f3*(0,10) =706+1902=2322
得第四阶段最优决策表，如下
•回 •溯 •得 •此 •表
动态规划模型举例
•例1 产品生产计划安排问题 某工厂生产某种产品的月生产能力为10件
，已知今后四个月的产品成本及销售量如表所示。如果本月产量超过销售
量时，可以存储起来备以后各月销售，一件产品的月存储费为2元，试安
排月生产计划并做到：
•
1、保证满足每月的销售量，并规定计划期初和期末库存为零；
•
2、在生产能力允许范围内，安排每月生产量计划使产品总成本(
•动态规划的步骤
•hk 是一般表达形式，求当前阶段当前状态下的阶段最 优总效果 •(1) 如最短路问题，是累加形式，此时有
•终端的边际效果一般为 f0(s0, x0)=0 •(2)如串联系统可靠性问题，是连乘形式，此时有
•终端的边际效果一般为 f0(s0,x0)=1 •从第1阶段开始，利用边际效果和边界条件，可以递推 到最后阶段
•层次分析法的基本步骤
•一致性检 •对A确定不一致的允许范围
•验已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为
n•可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致
阵 •定义一致性指标
•CI 越大，不一致越严
:
重
•层次分析法的基本步骤
•为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机 模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。
得第二阶段最优决策表，如下
•动态规划模型举例
第二阶段最优决策表
第三阶段：最大可能库存量 4 件
由状态转移方程： s2=s3+x3-72 及 x310 ，可知 s3[0,4]，min x3=5
由阶段效果递推公式有：
f3(1,10)=d3(1,10)+f2*(4,8) =21+7210+1104=1826
•例1 最短路问题
动态规划的最优化原理
•决策树法
•可以枚举出20条路径，其中最短的路径长度为16
动态规划的最优化原理
•表现为明显的阶段性 •因此我们可以从B向回搜 索最短路
• 最优性原理 •“最优策略的一部分也是最优的。
基本概念及递推公式
•状态 •最短路问题中，各个节点就是状态。生产库存问 题中，库存量是状态。物资分配问题中，剩余的 物资量是状态
•用 xk 表示第 k 阶段的决策变量，并以 xk*表示该阶段的最 优决策 •4、状态转移方程 • sk-1= g(sk, xk) 反向编号 sk+1= g(sk, xk) 正向编号 •5、直接效果 •直接一步转移的效果 dk(sk, xk) •6、总效果函数 •指某阶段某状态下到终端状态的总效果，它是一个递推公 式
• 便aij于定性到定量的转化：
•尺度
1 •2 3 4 5 6 7 8 9
•相同 稍强 强 明显强 绝对强
•aij = 1,1/2, ,…1/9
•的重要性与上面相 反
•层次分析法的基本步骤
• 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优 。
• AHP——一种定性与定量相结合的 、系统化、层次化的分析方法
•层次分析法的基本步骤
•例. 选择旅游地 •如何在3个目的地中按照景色 、费用、居住条件等因素选择.
•目标层
•O(选择旅游地)
•准则 层
•C1 •景色
•C2 •费用
•C3 •居住
•C4 •饮食
•C5 •旅途
•方案 层
•P1 •桂林
•P2 •黄山
第二步：(第三、四季度) 总效果 f3(s3,x3)=0.005 x32+s3+ f4*(s4) 将 s4= s3 + x3 – 500 代入 f3(s3,x3) 得：
•动态规划模型举例
第三步：(第二、三、四季度) 总效果 f2(s2,x2)=0.005 x22+s2+ f3*(s3)
将 s3= s2 + x2 - 700 代入 f2(s2,x2) 得：
•层次分析法的基本步骤
•组合权向 量 •k •1
•第3层对第2层的计算结果
•2
•3 •4
•5
•0.595 •0.08 •0.42 •0.63 •0.166 •0.277 •20.236 •90.429 •30.193 •0.166
•0.129 •0.682 •0.142 •0.175 •0.668
•控制变量(决策变量) •最短路问题中，走哪条路。生产库存问题中，各 阶段的产品生产量。物资分配问题中，分配给每 个地区的物资量。
•阶段的编号与递推的方向 •一般采用反向递推，所以阶段的编号也是逆向的 •当然也可以正向递推
动态规划的步骤
•1、确定问题的阶段和编号 •2、确定状态变量
•用 Sk 表示第 k 阶段的状态变量及其值 •3、确定决策变量
•层次分析法内容提要
层次分析法
➢背景 ➢层次分析法的基本步骤 ➢层次分析法的广泛应用
背景
• 日常工作、生活中的决策问题 • 涉及经济、社会等方面的因素 • 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化
• Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process)
专题讲座动态规划与层次分 析法
内容说明
以下内容在《数学 建模与数学实验（ 第二版） 》（汪 晓银 ，周保平主 编）第6章、第9 章。
动态规划内容提要
➢ 动态规划的最优化原理 ➢ 动态规划的基本概念及递推公式 ➢ 动态规划模型举例 ➢ 动态规划程序
动态规划的最优化原理
•五十年代贝尔曼(B. E. Bellman)为代表的研究成果 •属于现代控制理论的一部分 •以长远利益为目标的一系列决策 •最优化原理，可归结为一个递推公式
•P3 •北戴河
•层次分析法的基本步骤
•“选择旅游地”思维过程的 归• 将纳决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P
；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示 。
• 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每 一准则的权重。
• 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。
•动态规划模型举例
例3 资源分配问题 某公司有9个推销员在全国三个不同市场推销货物，这三个 市场里推销人员数与收益的关系如下表，试作出使总收益最大的分配方案。
•解：设分配人员的顺序为市场1, 2, 3，采用反向阶段编号。 • 设 sk 为第k阶段尚未分配的人员数，边界条件为 s3=9 • 设 xk 为第k阶段分配的推销人员数；仍采用反向递推 ， • 状态转移方程为 sk–1=sk – xk • 目标函数为
•层次分析法的基本步骤
•成对比较阵和权向 •成对比较量的不一致情 况
•一致比较
•不一 致
•允许不一致，但要确定不一致的允许范 围
•层次分析法的基本步骤
•考察完全一致的情况
•层次分析法的基本步骤
•成对比较阵和权向 •成对比较完量全一致的情况
•满 足•的正互反阵A称一致阵， 如
•层次分析法的基本步骤
•动态规划模型举例
第一步：(第四季度) 总效果 f4(s4,x4)=0.005 x42+s4 由边界条件有： s5= s4 + x4 – y4=0，解得：x4*=1200 – s4 将x4*代入 f4(s4,x4)得： f4*(s4)=0.005(1200 – s4)2+s4=7200 –11 s4+0.005 s42
•一致 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n 阵性质 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量
• A的归一化特征向量可作为权向量 •对于不一致(但在允许范围内)的成 对比较阵A，建议用对应于最大特征
根的特征向量作为权向量w ，即
•层次分析法的基本步骤
•成对比较阵和权向
量 •比较尺度
•Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
即生产费用加存储费)最低。
•动态规划模型举例
•设xk为第k阶段生产量，则有直接成本
•
dk(sk, xk)= ck xk+2sk
•状态转移公式为
•
sk-1= sk+ xk- yk
•总成本递推公式
•第一阶段：(即第4月份)
•由边界条件和状态转移方程 s0=s1+x1-y1= s1+x1–6=0 得
•
s1+x1= 6 或 x1= 6 – s1
•估计第一阶段，即第4月份初库存的可能状态： s1 [0,5]
•动态规划模型举例
第一阶段最优决策表
第二阶段：最大可能库存量 7 件
由状态转移方程： s1=s2+x2-120 及 x210，可知 s2[2,7]，min x2=5
由阶段效果递推公式有：
f2(2,10)=d2(2,10)+f1*(0,6) =22+8010+456=1260
•层次分析法的基本步骤
•“选择旅游地” 中准则层对目标的 权向量及一致性检 验
•准则层对目标的成对比较 阵
•最大特征根
=5.073
•权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T •一致性指 标 •随机一致性指标 RI=1.12 (查表)
•一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
解 四个季度为四个阶段，采用阶段编号与季度顺序一致。 设 sk 为第k季初的库存量，则边界条件为 s1=s5=0 设 xk 为第k季的生产量，设 yk 为第k季的订货量； sk ，xk ，yk 都取实数，状态转移方程为 sk+1=sk+xk - yk 仍采用反向递推，但注意阶段编号是正向的 目标函数为
•3.005 •3.002 •3 •3.009 •3
•动态规划模型举例
•例2 生产–库存管理问题 设某厂计划全年生产某种产品A。 其四个季度的订货量分别为600公斤，700公斤，500公斤和 1200公斤。已知生产产品A的生产费用与产品的平方成正比 ，系数为0.005。厂内有仓库可存放产品，存储费为每公斤每 季度1元。求最佳的生产安排使年总成本最小。
•通过一 致性检验
•层次分析法的基本步骤
•组合权向 量
•记第2层（准则）对第1层（目标 ）的权向量为
•同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
•方案层对C1(景色) 的成对比较阵
•方案层对C2(费用) 的成对比较阵
•…Cn
•最大特征根 1
•权向量
w1(3)
2
w2(3)
•…Bn
… n
… wn(3)
注意：最优阶段总效果仅是当前状态的函数，与其后的决策无 关
•动态规划模型举例
第四步：(第一、二、三、四季度) 总效果 f1(s1,x1)=0.005 x12+s1+ f2*(s2)
将 s2= s1 + x1 – 600= x1 – 600 代入 f1(s1,x1) 得：
•由此回溯：得最优生产–库存方案 • x1*=600，s2*=0； x2*=700，s3*=0； x3*=800，s4*=300； • x4*=900。
•层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
•层次分析法的基本步骤
•成对比较 阵和权向量
• 元素之间两两对比，对比采用相对尺 度
• 设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要
性
•选 择 旅 游
•A~成对比较 阵 •A是正互反阵
地
•要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
•Saat百度文库的结果如下
• •1 •2 •3 •4 •5 •6 •7 •8 •9 •10 •11 •nR •0 •0 •0.58 •0.90 •1.12 •1.24 •1.3 •1.41 •1.45 •1.49 •1.51 •定I 义一致性比率 CR = CI/RI • 当2 CR<0.1时，通过一致性检验
•动态规划模型举例
s1 有0~9种可能，第一阶段（第三市场）最优决策表如下：
•为什么与例1 的第一阶段的表有差别？
•动态规划模型举例
s2 有0~9种可能，第二阶段最优决策表如下：
•动态规划模型举例
由边界条件 s3=9，第三阶段最优决策表如下：
•得决策过程：x3*=2, x2*=0, x1*=7, f3*=218 • 即 市场1 分配 2人，市场2 不分配 ，市场3 分配 7人 •最优解与分配的顺序有关吗？