数字图像处理第九章部分答案

9.10证明：

(a)若x ∈A ΘB ，则对于任意b ∈B 有x+b ∈A ，即x ∈(A)-b 。则对于所有b ∈B 都有x ∈(A)-b ，即 B b b A x ∈-∈

)(。

那么若 B b b A x ∈-∈

)(，则对于所有b ∈B 都有x ∈(A)-b 。因此对于任意b ∈B 有x+b ∈A ，即

x ∈A ΘB 。

(b)假设x ∈A ΘB B b b A ∈-∈

)(。那么对于任意b ∈B 都有x ∈(A)-b 或者x+b ∈A 。

若A B x ⊆)(即对于任意b ∈B 有x+b ∈A ，由(a)得x ∈(A)-b

即对于对于所有b ∈B 都有x ∈(A)-b ，即 B b b A x ∈-∈

)(

9.12证明：

(a)若B A x ⊕∈，则对于a ∈A ，b ∈B ，x=a+b 。即x ∈(A)b 且 B b b A x ∈∈

)(

或者设 B b b A x ∈∈)(，则有b ∈B ，x ∈(A)b 。

而x ∈(A)b 意味着存在一个a ∈A 使x=a+b 。

但由题意知，a ∈A ，b ∈B ，x=a+b 得B A x ⊕∈

(b)设 B b b A x ∈∈

)(，则有b ∈B ，x ∈(A)b

x ∈(A)b 意味着存在一个a ∈A 使得x=a+b

但若x=a+b ，a ∈A ，b ∈B ，则有x-b=a 或者x-b ∈A ，即])[(^Θ≠∈A B x x

那么设])[(^Θ≠∈A B x x ，则Θ≠A B x )(^表示对于b ∈B ，x-b ∈A 或者对于a ∈A 有x-b=a 但若对于a ∈A ，b ∈B 有x=a+b ，那么x ∈(A)b ，则 B b b A x ∈∈

)(

9.18解：之所以能够腐蚀再膨胀从而重建为原始形式，是因为原始方块与腐蚀采用的结构元是同一种形状。若是长方形或三角形等其他形状则不能恢复。

9.19解：如果将结构元放在图像正中央，边界选为1个像素边界。最后将得到一个点，因为“T ”中间一竖和结构元是完美匹配的。