琴生不等式【介绍】和相关高考例题

琴生不等式（Jensen Inequality）是以数学家（Johan Jensen）命名的，给出积分的值和凸函数的积分值间的关系的数学名词。

1概述

1.若是区间上的，则对任意的，有不等式:

有当且仅当时等号成立。

2.若是区间上的

，则对任意的

，有不等式:

有当且仅当时等号成立。

3.其加权形式为：

若是区间上的凸函数，则对任意的，且

，有

1

若是区间上的凹函数，则对任意的，且

，有

备注：对于函数凹凸性与上凸、下凸的：凸=下凸=，形如；凹=上凸=，形如.

2应用

有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了，

如今我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式

比如

i).

ii).

iii).

2

其中前面两个取就可以了

后面一个取就可以了。

举一个简单的例子：在中为凸函数（国外教材定义；若为凹函数，则国

内教材定义），如图所示：

同时，值得注意的是，上凸、下凸、凹、凸的含义是不同的。如图：

涉及概率密度函数的形式

假设Ω是实线的可测子集，f（x）是一个非负函数

在概率语言中，f是。

然后Jensen的不等式变成了关于凸积分的下面的陈述：

如果g是任何实值可测函数且φ在g的范围内是凸的，那么：

如果g（x）=x，那么这种不等式的形式可以简化为一个常用的特例：

3

例如随机变量的偶数矩

如果g（x）=x，并且X是一个随机变量，那么g是凸的

所以

特别是，如果有的甚至瞬间2N

的X

是有限的，X具有有限的均值。这个论证的延伸表

明X具有每个阶的有限矩划分ñ。

替代有限形式

令Ω= {x1，...xn}，并且以μ为Ω上的计数度量，则一般形式简化为关于和的声明：

，

条件是λi≥0和

还有一个无限的离散形式。

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统计物理学

当是指数函数时，Jensen不等式在中特别重要，给出：

，

其中期望值是关于随机变量X 中的一些概率分布。

这种情况下的证明非常简单（参见Chandler，第5.5节）。理想的不平等直接来自书写

•{\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {X} \ rightname = {E ^ {\ operatorname {E} [X]} \ operatorname {E} \ [X]} \右]}

然后应用不等式ë≥1 +X至最终指数。

信息论

如果p（X）是用于真正的概率分布X和q（X）是另一种分布，然后施加Jensen不等式随机变量ÿ（X）=q（X）/p（X）和函数φ（ÿ）= -log（y）给出

因此：

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一个称为不平等的结果。

它表明，当代码是基于真实概率p而不是任何其他分布q分配时，平均消息长度被最小化。即非负的量被称为相对熵的q从p。

由于-log（X）为严格凸函数X> 0，它遵循：当等号成立p（X）等于q（X）几乎无处不在。

RaoBlackwell定理

主要文章：Rao-Blackwell定理

如果L 是一个凸函数，一个亚代数，然后，从

Jensen不等式的条件版本中，我们可以

得到

所以如果δ（X）是给定一个可观测量向量X的未观测参数θ的;如果T（X）是θ的;那么可以通过计算获得改进的估计量，即具有较小的预期损失L的意义

，相对于θ的期望值δ在所有可能的观察值向量X上都可以与观察到的相同的T（X）值相匹配。

这个结果被称为Rao-Blackwell定理。

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