初中数学—实数

初中数学讲义—实数

本章节授课计划：本章将首先学习平方根与立方根，在此基础上引入无理数，把数系的范围扩充到实数，然后类比有理数，引入实数在数轴上的表示和实数的运算。并用这些知识解决一些实际问题。

算术平方根的定义：一般的，如果一个正数x 的平方等于a ，即x ²＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。a 的算术平方根记为√a ，读作根号a ，a 叫做被开方数。

例 2²=4 √4=2 3²=9 √9=3 4²=16 √16=4

5²= √25=

注意：我们可以把被开方数看成正方形的面积，算数平方根看成正方形的边长 所以被开方数和算术平方根一定为非负数，即0和正数 因为面积大的正方形所对的边长一定大，那么就有如下规律

若a ＞b ，则√a ＞√b 若a ＜b ，则√a ＜√b 若a=b ，则√a =√b

我们规定零的算术平方根是零 对于分式的算术平方根，例如

√a²b²=

√=a b

练习：√

2536

= √1+54

=

平方根的定义：一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。这就是说，如果x²=a ，那么x 叫做a 的平方根。

注意：平方根的定义中没有提到x 必须是正数，所以x 的取值范围是没有限制的。

±√a =x

因为正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方还是0，没有一个数的平方为负数。由此可见一个正数的平方根是两个互为相反数的实数，0的平方根还是0，负数没有平方根

例如：5²=25，（-5）²=25，所以25的平方根为5和-5，记作±5为25的平方根 练习：求下列数的平方根

（1）100 （2）81

49 (3)0.25

求一个数平方根的运算，叫做开平方，简称开方 考点

①比较大小：熟记特殊的开方运算，牢记被开方数大的，开完方后也大

②被开方数一定大于等于0，根式的值一定大于等于0，常与“多个非负式子相加得0，则每个非负式子都为零”相结合考察。

例：|a|+√b+c²=0,则a=0，b=0，c=0

1、√81的平方根是。

2、若(4a-3b)²+|c-2b|=0,则a:b:c= 。

3、一个正数的平方根为2a-3和1-a,则这个数是。

思考题：

的大小关系是什么?

(1)实数0＜x＜1，则x，x²，√x,1

x

(2)代数式x²+1,√x，|y|，(m-1)²，√x²中一定是正数的有。

立方根的定义：一般的，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。也就是说，如果x³=a，那么x叫做a的立方根。

3=3

例：如果3³=27，那么3就是27的立方根，记作√27

3=4

如果4³=64，那么4就是64的立方根，记作√64

……

如果（-3）³=-27，那么-3就是-27的立方根，记作√3

3=-4

如果（-4）³=-64，那么-4就是-64的立方根，记作√−64

由上等式可知，三次方根的被开方数可以为正数，也可以为负数

当被开方数为正数时，开方后还为正数

当被开方数为负数时，开方后还为负数

当被开方数为0时，开方后还为0

求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算

形如√x

n的式子，我们把n称作根指数，x称作被开方数，当n=2时，可以省略

n，其他情况一律不能省略n。

一般的：√−a

3=-√a

3

名称算数平方根平方根立方根

数学语言√a±√a√a

3被开方数a 大于等于0 大于等于0 无限制

a的取值

正数正数正数和负数正数

0 0 0 0

负数无无负数

①如果一个数的平方根等于这个数的立方根，那么这个数是。

②如果x²=64,那么√x

3的值是。

③若某个正方体的体积为V，那么这个正方体的边长为（用含V的式子表示）。

④计算：√1+9

16

-√7²+√81-√0.125

3

整数：正整数、负整数、0统称为整数

自然数：正整数、0统称为自然数

有理数：整数、分数统称为有理数

无理数：无限不循环小数称为无理数

实数：有理数和无理数统称为实数

数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0。

实数也可以进行加、减、乘、除、开立方和乘方运算，正数和0可以进行开方运算

一般的，不能直接化为正数的根式都是无理数,π也是无理数

例如：√2=1.41421……

√3=1.73205……

√5=2.23607……

√6=2.44949……

π=3.1415926……

同时，二次根式的加减运算也符合分配律和交换律、结合律

例如：（√3+√2）-√2=√3+√2-√2=√3

3√3+2√3=(3+2)√3=5√3

同时还满足一个重要运算法则

√m×√n=√mn

例如：√2×√3=√6√5×√7=√35

一个数先平方再开方还等于这个数本身，即√x²=x

一个数先开方再平方还等于这个数本身，即√x ²=x

考点

①区分实数的一系列概念，这是学生易错点

②确定某个根式的小数部分

例如求√13的小数部分，通过比大小的方法，我们可以得出

√9＜√13＜√16

又因为√9=3，√16=4，所以3＜√13＜4

即√13是一个比3大，比4小的无限不循环小数，则√13的小数部分为√13-3 练习：若√17的小数部分为a,整数部分为b,则b²+a-√17=

总结

根式满足加减乘除的运算法则，并有√m×√n=√mn这一运算法则