参数方程教案教学内容

参数方程教案

第一节 曲线的参数方程

【教学目标】

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立，对学生进行数学的返璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 【教学重点与难点】

重点：曲线参数方程的探求及其有关概念； 难点：是弹道曲线参数方程的建立． 【教学过程】

一． 复习：

1．满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？

曲线方程的概念：(1)曲线C 上任一点的坐标（x,y ）都是方程f(x,y)=0的解；(2)同时以这个方程F(x,y)=0的每一组解(x,y)作为坐标的点都在曲线C 上．那么，这个方程f(x,y)=0就称作曲线C 的方程，而这条曲线C 就称作这个方程f(x,y)=0的曲线．

2．写出圆心在原点，半径为r 的圆O 的方程，并说明求解方法． ⊙O 的普通方程是：x 2

+y 2

=r 2

；

⊙O 的参数方程是： ⎩⎨

⎧==θ

θ

sin cos r y r x （θ为参数）

这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x 、y 联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式．

二．新课：

1．参数方程的定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y ，都是某个变数t 的函数

⎩⎨

⎧==)

()

(t g y t f x )(*，并且对于t 的每个允许值，由方程组)(*所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组)(*就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y 之间关系的变量t 叫做参变数，简称参数。

2．例：炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等．现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求出弹道曲线的方程．(不计空气阻力)。

我们知道弹道曲线是抛物线的一段．现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，那么，怎样来求点的轨迹方程？

（1）建系：建立适当的直角坐标系；

以炮口为原点，水平方向为x 轴，建立直角坐标系。 （2）设标，设炮弹发射后t 秒时的位置为M(x ，y)． (3)列式：即找出x 与y 之间的关系。 怎样把x 、y 之间的关系联系起来呢。

这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动．炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动．显然在x 、y 分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度)。x 、y 都与时间t 有关．

在水平方向的初速度是v 0cos α，在竖直方向的初速度是v 0sin α. 水平方向的位移，因为水平方向是作匀速直线运动，所以x=v 0cos α;

在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动．所以y=v 0sin α·t-2

1gt

2

这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t 表示出来了，即把x 、y 都表示成了t 的函数，t 应该有一个确定的范围？

令y=0，得t=0或t =

g

v α

sin 20， ∴0≤t ≤

g

v αsin 20。

当t=

g v αsin 20时炮弹刚落地。记g

v α

sin 20为T 。 则)0(21sin cos 200T t gt t v y t

v x ≤≤⎪⎩

⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα 这个方程组表示的是弹道曲线的方程。

前面我们举的圆和弹道曲线这两个例子中，这两个方程组有一个共同的特点，就是曲线上的点的坐标x,y

之间的关系不是直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来的．在圆的参数方程中旋转角θ参与了方程组的建立，且x 、y 都是θ的函数；在弹道曲线的参数方程中时间t 参与了方程组的建立，且x 、y 都是t 的函数。

参数方程的定义：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x 、y 都是某个变量t 的函数⎩⎨

⎧==)()(t g y t f x ※，

且对于的t 每一个允许值，由※所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，则※就叫做曲线的参数方程，叫参变数，简称参数。

相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的。为了区别起见，我们把以前学过的方程称作曲线的普通方程。

参数可以有明确的几何意义(旋转角θ——几何的)，也可以有明显的物理意义(时间t ——物理的)．事实上，除此之外，还可以是没有明显意义的变数．即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作参数． 曲线参数方程的建立，不但能使曲线上点的坐标较容易通过参数联系起来，同时某些情况下还可较好地反映变数的实际意义，如弹道曲线中，x 表示炮弹飞行的水平位移，y 表示炮弹飞行的竖直高度．求出炮弹的最大水平射程和相应的最大竖直高度？ ∵当t=g

v αsin 20时炮弹刚落地

∴x=v 0cos αg v αsin 20=g v α2sin 20，2α=2π，即α=4

π，得x 最大=g v 20

当4π

α=,t=g v αsin 0,y 最大=v 0sin g v αsin 0-2

22

sin 21g v g o α=g v 2sin 220

α=g v 420。

【练习】

1． 动点M 作等速直线运动，它在x 轴、y 轴方向的速度分别为9和12，运动开始时点M 位于A （1，1），求

M 点轨迹的参数方程。 2． 求半径为5，圆心在点（2，-5）的圆的参数方程。