2019届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学(理)试卷【含答案及解析】

2019届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（理）试

卷【含答案及解析】

姓名___________ 班级____________ 分数__________

一、选择题

1. 已知集合，，若，则实

数的取值范围为（）

A．________ B．________ C．________

D．

2. 设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为

（）

A．________ B．________ C．________ D．

3. “ ”是“函数在区间内单调递减”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 ______________ D．既不充分也不必要

4. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得

，则的取值范围为（）

A．________ B．________ C．________ D．

5. 将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一

个偶函数的图象，则的取值不可能是（）

A．________ B．________ C．________ D．

6. 已知点，是椭圆上的动点，且，则

的取值范围是（）

A．________ B．________ C．________ D．

7. 如图所示程序框图中，输出（）

A．45________ B．-55________ C．-66________ D．66

8. 如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数

图象下方的区域（阴影部分），从内随机取一个点，则点

取自内的概率为（）

A．________ B． C． D．

9. 在棱长为3的正方体中，在线段上，且，

为线段上的动点，则三棱锥的体积为（）

A．1________ B．_________

C．________ D．与点的位置有关

10. 已知点是抛物线上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是（）

A．________ B．________ C．________ D．

11. 设满足约束条件，则目标函数的最

大值为11，则的最小值为（）

A．2________ B．4________ C．6________ D．8

12. 设函数，则当时，表达式的展开式中

常数项为（）

A．-20________ B．20________ C．-15________ D．15

二、填空题

13. 若，则等于

________________________ .

14. 给定双曲线，若直线过的中心，且与交于

两点，为曲线上任意一点，若直线的斜率均存在且分别记为，则________________________ .

15. 已知点的坐标满足，则的取值范围为

________________________ .

16. 在数列中，，，是数列

的前项和，当不等式恒成立时，的所有可能取值为________________________ .

三、解答题

17. 已知函数的最小正周期为 .

（1）求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）已知分别为锐角三角形中角的对边，且满足

，，求的面积.

18. 某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：p

19. ly:宋体; font-size:10.5pt">年份 2011 2012 2013 2014 2015 居民生活用水量（万吨） 236 246 257 276 286 （1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程；

（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.

参考公式：， .

20. 如图，在等腰梯形中，，，

，四边形为矩形，平面平面，

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.

21. 已知椭圆的两个焦点分别为，

，以椭圆短轴为直径的圆经过点 .

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.

22. 设（且），是的反函数.

（1）设关于的方程在区间上有实数解，求

的取值范围；

（2）当（为自然对数的底数）时，证明：；（3）当时，试比较与4的大小，并说明理由.

23. 已知是的外角的平分线，交的延长线于点，延长交的外接圆于点，连接 .

（1）求证：；

（2）若是外接圆的直径，，，求的长.

24. 已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系

原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；

（2）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长.

25. 选修4-5：不等式选讲.

已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）证明： .

参考答案及解析

第1题【答案】

第2题【答案】

第3题【答案】

第4题【答案】

第5题【答案】

第6题【答案】

第7题【答案】

第8题【答案】