第7章--非线性系统分析
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5 2014年10月31日星期五
2、不灵敏区（死区） 存在不灵敏区的元件，在输入信号很小 时系统没有输出
|x1|<Δ时， x2=0；|x1|>Δ时， x2≠0 死区会增大系统稳态误差 死区能够过滤小幅振荡干扰信号
6 2014年10月31日星期五
3、间隙（回环） 传动机构受加工精度和装配精度限制， 在转向时存在间隙特性。
25
2014年10月31日星期五
2 x 2 x 【例】二阶欠阻尼系统： n n x 0，绘制相轨迹。
解： 令： dx dx
绘制等倾线
2
x x x x 3 t 2 1 0 x x x A sin t 0
3 2014年10月31日星期五
§7.2 典型非线性特性
一、常见的几种典型非线性特性 1、饱和 饱和的特点是当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号变化，而是保持某一常值。
x2 K x1
输出信号
输入信号 4 2014年10月31日星期五
可将“饱和”非线性特性看做变增益的比例环节
随信号输入增大，开环增益减小，
超调量下降，稳态精度降低。 “饱和”可使一切不稳定系统收敛 于自振荡。 在设计控制系统时，应力求输入信 号增大时使所有元器件都能同时进 入饱和区域。
相平面法：是基于时域的一种图解分析法，只适用于一阶、二
阶系统。
计算机求解法：利用计算机、数值分析等方法，直接求解非线
性微分方程，分析系统的时域响应。
12
2014年10月31日星期五
§7.3 描述函数法
主要用来分析系统在无外作用的情况下，非线性系统的稳定性
和自激振荡的问题。 Daniel 在1940年首先提出。 描述函数是对系统的正弦信号响应进行谐波线性化处理，类似 于线性系统的幅相频率特性。 非线性部分 线性部分 描述函数法不受系统阶次限制。
B1
4
1
2
0
y t sin t d t M sin t d t
2
0
4M B1 jA1 4 M X X
NX 描述函数：
16
2014年10月31日星期五
2、死区特性的描述函数 y(t)为奇函数，A0=0，A1=0，φ1=0
B1
1
1
2
0 2
y t sin t d t K X sin t sin t d t
2 2KX arcsin 1 2 X X X 描述函数： 2 2K arcsin NX 1 2 X X X
自动控制原理
Principle of Automatic Control
1
2014年10月31日星期五
第七章 非线性系统分析
7.1 引言
7.2 典型非线性特性
7.3 描述函数法 7.4 相平面法 7.5 MATLAB在非线性系统分析中的应用
2
2014年10月31日星期五
§7.1 引言
任何起始条件都会产生自激振荡； 线性系统没有自激振荡的运动形式；
长期自激振荡造成系统磨损；小幅高
频自激振荡有利于消除间隙、死区、 摩擦等不利因素。
11 2014年10月31日星期五
三、非线性系统的分析方法 描述函数法：是基于频域的等效线性化的图解分析法，是线性 理论中频域分析法的一种推广。
18
2014年10月31日星期五
三、非线性系统的稳定性分析 描述函数法只能用于分析非线性系统的稳定性、周期运动（自 激振荡）的稳定性，不能分析非线性系统的时间响应。 线性系统的稳定性分析：奈奎斯特判据（N=P-Z） 最小相位系统（P=0）：稳定性取决于G(jω)是否包围(-1 , j0)点。
继电器特性包含了死区、间隙、饱和的特性 继电器特性使系统产生震荡现象
9
2014年10月31日星期五
二、非线性系统的特征 1、稳定性 线性系统的稳定性取决于系统的结构与参数，与起始状态无关 非线性系统的稳定性与起始状态有直接关系
多个平衡点
x x 1 x 0，分析稳定性。 【例】某一阶非线性系统微分方程： 解：设系统初始状态为 x0，时域响应为： x0et x t 1 x0 x0et
0
17
2014年10月31日星期五
3、饱和特性的描述函数 描述函数： 2 2K a a a arcsin NX 1 X X X
4、间隙特性的描述函数 描述函数： K b 4 Kb b 2b 2b b N X arcsin 1 2 1 1 j 1 2 X X X X X X 5、一般继电器特性的描述函数 2 2 描述函数： 2M mh 2Mh h 1 NX 1 j m 1 2 X X X X
2、等倾线法：用一系列不同斜率短线来近似光滑的相轨迹曲线。 等倾线：相平面上相轨迹斜率相等的各点的连线： x f x, x
① 取不同 α 值，在相平面绘制出等倾线族；
② 在等倾线上做斜率为 α 的短线段，构成相轨迹的“方向场”； ③ 从初始点出发，沿方向场做短线段，得到相轨迹。
反之，系统不稳定。
20
2014年10月31日星期五
四、自激振荡的分析与计算 自激振荡的稳定性判据：在G(jω)曲线和-1/N(X)曲线的交点处， 若-1/N(X)曲线沿振幅 X 增加的方向由不稳定区域进入稳定区域， 该交点对应的周期运动是稳定的。反之，若-1/N(X)曲线沿振幅 X 增加的方向由稳定区域进入不稳定区域，该交点对应的周期 运动是不稳定的。 自激振荡频率：交点处ω； 自激振荡振幅：交点处X； 自激振荡：
描述函数法需满足如下条件： 1. 系统能够简化为经典结构； 2. 非线性特性具有奇对称性； 3. 线性部分具有较好的低通滤波特性； 4. 非线性元件具有时不变特性；
13 2014年10月31日星期五
一、描述函数的定义和求法 开环输入：x t X sin t 稳态输出：同周期非正弦信号 y t A0 An cos nt Bn sin nt
系统输出取决于初始状态 x0 ： x0 <1，x(t) →0； x0 t ln x0 >1， 时，x(t) →∞ x0 1
10
2014年10月31日星期五
2、自激振荡 在没有外界周期变化信号的作用下，系统内产生的具有固定振 幅和频率的稳定周期运动，称为自激振荡，简称自振。
x 2 1 x 2 x x 0。 【例】范德波尔方程： 解：ρ=0.707时， x0=1、2、3时响应曲线。
只要系统中含有一个以上的非线性元件，就是非线性系统
完全线性的系统是不存在的
线性系统：满足叠加性，通过基本信号表征系统性能； 非线性系统：不满足叠加性，不能通过基本信号表征系统性能；
非线性系统的数学模型：n 阶非线性常微分方程；
x x 2 2 x x 0
y 【例7-2】设非线性放大器输入输出：
解：y(t)为奇函数，A0=0，A1=0，φ1=0；
B1 1
2
1 1 x x 3 ，计算描述函数。 2 4
1 3 1 x x sin t dt 0 2 4 1 2 1 1 X sin t X 3 sin 3 t sin t dt 0 2 4 1 3 3 X X 2 16
B1 jA1 1 3 2 描述函数： NX X X 2 16
描述函数不仅可以是是输入信号频率的 函数，也可以是输入信号振幅的函数！ 15 2014年10月31日星期五
二、典型非线性特性的描述函数 1、理想继电器特性的描述函数 y(t)为奇函数，A0=0，A1=0，φ1=0
A0 Yn sin nt n
n 1 n 1
周期函数傅里 叶级数展开
直流分量 A0=0、低通滤波特性：
1 2 A0 y t d t 0 2 1 2 An y t cos nt d t
0
y t Y1 sin t 1
间隙对系统影响较复杂，通常对系统性
能有害。
7 2014年10月31日星期五
4、摩擦 摩擦力阻挠 系统运动： 静摩擦力、 动摩擦力、 粘性摩擦力。
对小功率系
统摩擦相当 于在执行机 构中引入死 区。
8
2014年10月31日星期五
5、继电器 继电器：当输入量(激励量)的变化达到规定要求时，在电气输 出电路中使被控量发生预定的阶跃变化的一种电器。
Bn
1
2
0
y t 百度文库 sin nt d t
谐波线性化：只用一次基波代替总体输出。 描述函数：稳态输出与正弦输入的复数比：
Yn
2 2 An Bn
Y1 j1 B1 jA1 NX e X X
14
n arctan An Bn
2014年10月31日星期五
22
相轨迹的起点为：(x0 , x′0)，轨迹箭头表示随时间 t 增加，系统
的运动方向。 所有可能的起点(x0 , x′0)构成的相轨迹，称为相轨迹族。 相轨迹的斜率： f x, x dx dx dt x dx dx dt x x 相轨迹的对称：关于横轴、纵轴对称；关于原点对称 相平面图的奇点： 同时满足 x′=0 和 x″=0 的点称为奇点； 通过奇点的根轨迹不止一条，且斜率不同； 相轨迹曲线在奇点相交。 相轨迹的运动方向： 在上半平面（x′>0），相轨迹曲线向右运动； 在下半平面（x′<0），相轨迹曲线向左运动。
23
2014年10月31日星期五
二、相轨迹图的绘制 1、解析法：通过求解微分方程找出 x 和 x′ 的解析关系。
2 x 0，绘制相平面图。 【例】无阻尼二阶系统：x n 2 解：
x x 2 A2 n
2
A
n2
2 x0
2 x0
24
2014年10月31日星期五
负倒描述函数
非线性系统等效开环幅相特性：
N X G j 1 G j 1 N X
非线性系统存在自激振荡的必要条件：G(jω)与-1/N(X)相交
19 2014年10月31日星期五
非线性系统的稳定判据： G(jω)没有包围-1/N(X)，则系统稳定；
c t X sin t
21
2014年10月31日星期五
§7.4 相平面法
相平面法仅可用于一阶、二阶线性和非线性系统的性能分析。
相平面法能够全面地表征系统的运动状态：稳定性、动态性能、
平衡点、初始条件和参数的影响。 Poincare 在1885年首先提出。 输入信号为零，x 表 一、相平面法的基本概念 二阶时不变系统： x f x, x 0
示某一物理量
以 x 为横轴，以 x′ 为纵轴构成
的直角坐标系，称为相平面。 的点(x, x′)移动所形成的轨迹， 称为相轨迹。
2014年10月31日星期五
令 x1=x、x2=x′，状态方程： 在相平面上表示系统运动状态
x2 x1 f x1 , x2 x2
2、不灵敏区（死区） 存在不灵敏区的元件，在输入信号很小 时系统没有输出
|x1|<Δ时， x2=0；|x1|>Δ时， x2≠0 死区会增大系统稳态误差 死区能够过滤小幅振荡干扰信号
6 2014年10月31日星期五
3、间隙（回环） 传动机构受加工精度和装配精度限制， 在转向时存在间隙特性。
25
2014年10月31日星期五
2 x 2 x 【例】二阶欠阻尼系统： n n x 0，绘制相轨迹。
解： 令： dx dx
绘制等倾线
2
x x x x 3 t 2 1 0 x x x A sin t 0
3 2014年10月31日星期五
§7.2 典型非线性特性
一、常见的几种典型非线性特性 1、饱和 饱和的特点是当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号变化，而是保持某一常值。
x2 K x1
输出信号
输入信号 4 2014年10月31日星期五
可将“饱和”非线性特性看做变增益的比例环节
随信号输入增大，开环增益减小，
超调量下降，稳态精度降低。 “饱和”可使一切不稳定系统收敛 于自振荡。 在设计控制系统时，应力求输入信 号增大时使所有元器件都能同时进 入饱和区域。
相平面法：是基于时域的一种图解分析法，只适用于一阶、二
阶系统。
计算机求解法：利用计算机、数值分析等方法，直接求解非线
性微分方程，分析系统的时域响应。
12
2014年10月31日星期五
§7.3 描述函数法
主要用来分析系统在无外作用的情况下，非线性系统的稳定性
和自激振荡的问题。 Daniel 在1940年首先提出。 描述函数是对系统的正弦信号响应进行谐波线性化处理，类似 于线性系统的幅相频率特性。 非线性部分 线性部分 描述函数法不受系统阶次限制。
B1
4
1
2
0
y t sin t d t M sin t d t
2
0
4M B1 jA1 4 M X X
NX 描述函数：
16
2014年10月31日星期五
2、死区特性的描述函数 y(t)为奇函数，A0=0，A1=0，φ1=0
B1
1
1
2
0 2
y t sin t d t K X sin t sin t d t
2 2KX arcsin 1 2 X X X 描述函数： 2 2K arcsin NX 1 2 X X X
自动控制原理
Principle of Automatic Control
1
2014年10月31日星期五
第七章 非线性系统分析
7.1 引言
7.2 典型非线性特性
7.3 描述函数法 7.4 相平面法 7.5 MATLAB在非线性系统分析中的应用
2
2014年10月31日星期五
§7.1 引言
任何起始条件都会产生自激振荡； 线性系统没有自激振荡的运动形式；
长期自激振荡造成系统磨损；小幅高
频自激振荡有利于消除间隙、死区、 摩擦等不利因素。
11 2014年10月31日星期五
三、非线性系统的分析方法 描述函数法：是基于频域的等效线性化的图解分析法，是线性 理论中频域分析法的一种推广。
18
2014年10月31日星期五
三、非线性系统的稳定性分析 描述函数法只能用于分析非线性系统的稳定性、周期运动（自 激振荡）的稳定性，不能分析非线性系统的时间响应。 线性系统的稳定性分析：奈奎斯特判据（N=P-Z） 最小相位系统（P=0）：稳定性取决于G(jω)是否包围(-1 , j0)点。
继电器特性包含了死区、间隙、饱和的特性 继电器特性使系统产生震荡现象
9
2014年10月31日星期五
二、非线性系统的特征 1、稳定性 线性系统的稳定性取决于系统的结构与参数，与起始状态无关 非线性系统的稳定性与起始状态有直接关系
多个平衡点
x x 1 x 0，分析稳定性。 【例】某一阶非线性系统微分方程： 解：设系统初始状态为 x0，时域响应为： x0et x t 1 x0 x0et
0
17
2014年10月31日星期五
3、饱和特性的描述函数 描述函数： 2 2K a a a arcsin NX 1 X X X
4、间隙特性的描述函数 描述函数： K b 4 Kb b 2b 2b b N X arcsin 1 2 1 1 j 1 2 X X X X X X 5、一般继电器特性的描述函数 2 2 描述函数： 2M mh 2Mh h 1 NX 1 j m 1 2 X X X X
2、等倾线法：用一系列不同斜率短线来近似光滑的相轨迹曲线。 等倾线：相平面上相轨迹斜率相等的各点的连线： x f x, x
① 取不同 α 值，在相平面绘制出等倾线族；
② 在等倾线上做斜率为 α 的短线段，构成相轨迹的“方向场”； ③ 从初始点出发，沿方向场做短线段，得到相轨迹。
反之，系统不稳定。
20
2014年10月31日星期五
四、自激振荡的分析与计算 自激振荡的稳定性判据：在G(jω)曲线和-1/N(X)曲线的交点处， 若-1/N(X)曲线沿振幅 X 增加的方向由不稳定区域进入稳定区域， 该交点对应的周期运动是稳定的。反之，若-1/N(X)曲线沿振幅 X 增加的方向由稳定区域进入不稳定区域，该交点对应的周期 运动是不稳定的。 自激振荡频率：交点处ω； 自激振荡振幅：交点处X； 自激振荡：
描述函数法需满足如下条件： 1. 系统能够简化为经典结构； 2. 非线性特性具有奇对称性； 3. 线性部分具有较好的低通滤波特性； 4. 非线性元件具有时不变特性；
13 2014年10月31日星期五
一、描述函数的定义和求法 开环输入：x t X sin t 稳态输出：同周期非正弦信号 y t A0 An cos nt Bn sin nt
系统输出取决于初始状态 x0 ： x0 <1，x(t) →0； x0 t ln x0 >1， 时，x(t) →∞ x0 1
10
2014年10月31日星期五
2、自激振荡 在没有外界周期变化信号的作用下，系统内产生的具有固定振 幅和频率的稳定周期运动，称为自激振荡，简称自振。
x 2 1 x 2 x x 0。 【例】范德波尔方程： 解：ρ=0.707时， x0=1、2、3时响应曲线。
只要系统中含有一个以上的非线性元件，就是非线性系统
完全线性的系统是不存在的
线性系统：满足叠加性，通过基本信号表征系统性能； 非线性系统：不满足叠加性，不能通过基本信号表征系统性能；
非线性系统的数学模型：n 阶非线性常微分方程；
x x 2 2 x x 0
y 【例7-2】设非线性放大器输入输出：
解：y(t)为奇函数，A0=0，A1=0，φ1=0；
B1 1
2
1 1 x x 3 ，计算描述函数。 2 4
1 3 1 x x sin t dt 0 2 4 1 2 1 1 X sin t X 3 sin 3 t sin t dt 0 2 4 1 3 3 X X 2 16
B1 jA1 1 3 2 描述函数： NX X X 2 16
描述函数不仅可以是是输入信号频率的 函数，也可以是输入信号振幅的函数！ 15 2014年10月31日星期五
二、典型非线性特性的描述函数 1、理想继电器特性的描述函数 y(t)为奇函数，A0=0，A1=0，φ1=0
A0 Yn sin nt n
n 1 n 1
周期函数傅里 叶级数展开
直流分量 A0=0、低通滤波特性：
1 2 A0 y t d t 0 2 1 2 An y t cos nt d t
0
y t Y1 sin t 1
间隙对系统影响较复杂，通常对系统性
能有害。
7 2014年10月31日星期五
4、摩擦 摩擦力阻挠 系统运动： 静摩擦力、 动摩擦力、 粘性摩擦力。
对小功率系
统摩擦相当 于在执行机 构中引入死 区。
8
2014年10月31日星期五
5、继电器 继电器：当输入量(激励量)的变化达到规定要求时，在电气输 出电路中使被控量发生预定的阶跃变化的一种电器。
Bn
1
2
0
y t 百度文库 sin nt d t
谐波线性化：只用一次基波代替总体输出。 描述函数：稳态输出与正弦输入的复数比：
Yn
2 2 An Bn
Y1 j1 B1 jA1 NX e X X
14
n arctan An Bn
2014年10月31日星期五
22
相轨迹的起点为：(x0 , x′0)，轨迹箭头表示随时间 t 增加，系统
的运动方向。 所有可能的起点(x0 , x′0)构成的相轨迹，称为相轨迹族。 相轨迹的斜率： f x, x dx dx dt x dx dx dt x x 相轨迹的对称：关于横轴、纵轴对称；关于原点对称 相平面图的奇点： 同时满足 x′=0 和 x″=0 的点称为奇点； 通过奇点的根轨迹不止一条，且斜率不同； 相轨迹曲线在奇点相交。 相轨迹的运动方向： 在上半平面（x′>0），相轨迹曲线向右运动； 在下半平面（x′<0），相轨迹曲线向左运动。
23
2014年10月31日星期五
二、相轨迹图的绘制 1、解析法：通过求解微分方程找出 x 和 x′ 的解析关系。
2 x 0，绘制相平面图。 【例】无阻尼二阶系统：x n 2 解：
x x 2 A2 n
2
A
n2
2 x0
2 x0
24
2014年10月31日星期五
负倒描述函数
非线性系统等效开环幅相特性：
N X G j 1 G j 1 N X
非线性系统存在自激振荡的必要条件：G(jω)与-1/N(X)相交
19 2014年10月31日星期五
非线性系统的稳定判据： G(jω)没有包围-1/N(X)，则系统稳定；
c t X sin t
21
2014年10月31日星期五
§7.4 相平面法
相平面法仅可用于一阶、二阶线性和非线性系统的性能分析。
相平面法能够全面地表征系统的运动状态：稳定性、动态性能、
平衡点、初始条件和参数的影响。 Poincare 在1885年首先提出。 输入信号为零，x 表 一、相平面法的基本概念 二阶时不变系统： x f x, x 0
示某一物理量
以 x 为横轴，以 x′ 为纵轴构成
的直角坐标系，称为相平面。 的点(x, x′)移动所形成的轨迹， 称为相轨迹。
2014年10月31日星期五
令 x1=x、x2=x′，状态方程： 在相平面上表示系统运动状态
x2 x1 f x1 , x2 x2