洛必达法则失效的情况及处理方法(详解)
使用洛必达法则应注意的问题
使用洛必达法则应注意的问题作者：尹丽高辉高胜哲来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2014年第10期摘要：洛必达法则是求函数极限的一种简单方便的方法。
本文通过实例，对使用洛必达法则应注意的问题进行了分析。
关键词：洛必达法则；极限；等价无穷小；分析中图分类号：O171文献标识码：A文章编号：1671—1580（2014）10—0151—02洛必达法则是求函数极限的一种简单方便的方法，而求函数极限是高等数学的重要内容，也是研究微积分学的常用工具。
因此，正确灵活地使用洛必达法则，对学生学好高等数学这门课程，深入研究微积分学，都具有积极的意义。
本文通过实例，对使用洛必达法则应注意的问题进行了分析。
一、洛必达法则定理：设在某一极限过程中，函数f（x），g（x）满足条件：（1）limf（x）=0，limg（x）=0或limf（x）=∞，limg（x）=∞；（2）在该极限过程中，f′（x），g′（x）都存在且g′（x）≠0；（3）limf′（x）1g′（x）存在或为∞，则limf（x）1g（x）=limf′（x）1g′（x）法则当x→x0，x→x+0，x→x-0，x→∞，x→+∞，x→-∞时均成立。
二、正确理解洛必达法则使用的几个主要前提和结论1.求极限函数为010型，满足洛必达法则使用的前提，分子分母分别求导，得到limf′（x）1g′（x）的极限存在，可以使用洛必达法则的结论。
2.求极限函数为110型，不满足洛必达法则使用的前提，不适用洛必达法则。
3.求极限函数为∞1∞型，考虑用洛必达法则，分子分母分别求导，发现limf′（x）1g′（x）仍为∞1∞，继续使用洛必达法则，分子分母再次分别求导。
只要符合条件，洛必达法则可多次使用[1]。
三、使用洛必达法则可能遇到的问题例1[2]：limx→∞x+sinx1x错解：原式=limx→∞1+cosx11 ，极限不存在正解：原式=limx→∞x1x+sinx1x=1+limx→∞sinx1x=1分析：求极限函数为∞1∞型，使用洛必达法则，发现limf′（x）1g′（x）不存在，但不代表原式极限不存在。
洛必达法则解高中导数问题
洛必达法则解高中导数问题在高中教学内容中，导数占据着重要的地位，并且通常在数学考试中以压轴题目出现，另外还是学生以后学习微积分的基础。
合理应用导数可以拓宽解决中学问题的视野，可以说导数是解决数学问题的有力工具。
而在运用导数解决问题的时候通过引入洛必达法则可以有效提高解题效率。
本文结合相关教学经验，分析洛必达法则在高中数学导数教学中的应用。
在高中数学教学内容中，有关导数有着较为详细的介绍，并详细论述导数的概念与几何意义，通过函数的变化率刻画函数变化的趋势。
导数教学内容是对函数性质与图像的总结与延伸，是研究函数、几何问题、证明不等式的重要工具，并且，通过导数可以实现生活中最优化问题的解答。
而应用洛必达法则可以对部分导数问题进行进一步的简化。
1应用洛必达法则的注意事项作为高中数学导数学习中的一个重要板块，洛必达法则能够有效减轻学生解决极限问题的压力，帮助他们以较为简便的方法对相关导数问题求解，大大降低了求解导数的难度，这在一定程度上有利于导数应用的广泛性，帮助学生应用导数解答大量的数学问题。
但是应用洛必达也有一些注意事项，教师在开展教学活动的过程中可以对此进行强调，引导学生在正确的情境之中合理应用洛必达法则，提高自己的解题效率。
如果教师不对应用洛必达法则的注意事项进行强调，学生难免会出现滥用洛必达法则而不自知的情况，这对于学生的解题是不利的。
教师可以从以下几个方面对洛必达法则进行强调：1、洛必达法则只能应用于0/0型或者是无穷大比无穷大型的。
在0/0型中，函数可以从正向趋近于0，也可以从负向趋近于0;在无穷大比无穷大型中，函数可以趋近于正无穷大，也可以趋近于负无穷大。
而在其他条件下，洛必达法则是不适用的。
如果学生在应用洛必达法则前没有对函数的情况进行判断，当然，他们能够应用洛必达的解题思路得出一个答案，但是这个答案是错误的，而这个错误常常不能够被学生所发现。
2、若lim（x从正向趋近于0、从负向趋近于0、趋近于正无穷大、趋近于负无穷大或者取某一个值）f（x）的导数/g（x）的导数不存在，不能够说明若lim （x从正向趋近于0、从负向趋近于0、趋近于正无穷大、趋近于负无穷大或者取某一个值）f（x）/g（x）不存在，只能说明洛必达法则失效。
二元函数求极限的洛必达法则解析
二元函数求极限的洛必达法则解析洛必达法则是一种用于求解二元函数极限的有效方法。
在这个方法中，我们可以将函数表示为两个单变量函数的比值，并通过对这些函数应用洛必达法则来求解极限。
下面将对洛必达法则进行详细解析。
在进行洛必达法则的求解之前，我们首先需要确定极限函数的形式，即将函数表示为两个单变量函数的比值。
设函数为f(x)和g(x)，则极限函数的形式可以表示为lim(x→a) f(x)/g(x)。
在这种情况下，如果f(x)和g(x)在x=a的附近连续并满足一定的条件，那么可以将其化简为lim(x→a) f'(x)/g'(x)。
为了使用洛必达法则，我们需要满足以下条件：1. 两个函数在x=a的附近连续；2. 在x=a附近，g(x)不等于0且g'(x)也不等于0；3. 当x趋近于a时，函数f(x)和g(x)的极限存在。
在满足这些条件的前提下，我们可以按照以下步骤使用洛必达法则求解极限：Step 1: 计算f'(x)和g'(x)的极限。
这些极限可以通过直接求导或应用其他求导规则来计算。
Step 2: 计算lim(x→a) f'(x)/g'(x)。
如果这个极限存在，那么它就是lim(x→a) f(x)/g(x)的极限。
Step 3: 如果极限lim(x→a) f'(x)/g'(x)不存在，那么重复Step 1和Step 2，直到找到一个极限。
通过洛必达法则，我们可以更容易地求解二元函数的极限。
这个方法不仅可以简化计算过程，还可以提供更准确的结果。
然而，需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有情况。
有些函数无法通过洛必达法则求解其极限，因此在使用该方法时需要注意。
总结起来，洛必达法则是一种用于求解二元函数极限的有效方法。
通过将函数表示为两个单变量函数的比值，并应用洛必达法则，我们可以简化计算过程并获得更准确的结果。
然而，需要注意的是，洛必达法则并不适用于所有情况，因此在使用该方法时需要谨慎。
数论洛必达法则
数论洛必达法则-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:数论洛必达法则是数学中一个重要的定理，它在解决极限计算问题中扮演着重要的角色。
洛必达法则主要用于解决形式为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}的不定式极限问题。
这个法则的提出和应用，极大地简化了求解极限的复杂程度，成为数学分析中的重要工具。
在本文中，我们将对洛必达法则进行详细的介绍，包括其概念、应用和意义。
我们将深入探讨这一定理在数论领域中的重要性，以及它在数学研究和实际问题中的应用。
同时，我们也会对洛必达法则的局限性进行探讨，以及未来在这一领域中的发展展望。
通过本文的阐述，读者将更加深入地理解数论洛必达法则，并对数学研究中的极限问题有更深入的认识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将分为引言、正文和结论三部分进行阐述。
引言部分将从概述、文章结构和目的三方面介绍数论洛必达法则的重要性和意义。
正文部分将详细介绍洛必达法则的概念、应用和意义，包括其在数论领域的具体运用和影响。
结论部分将对洛必达法则进行总结，并讨论其局限性和未来的发展方向，以展望洛必达法则在数论研究中的潜力。
每个部分将以清晰的逻辑顺序和详细的论证来展现洛必达法则在数论领域的重要性和价值。
1.3 目的本文旨在深入探讨数论中的洛必达法则，并分析其概念、应用和意义。
通过对洛必达法则进行系统性的介绍和解读，旨在帮助读者更好地理解这一重要的数学原理，并且探讨洛必达法则在数论领域中的具体运用。
同时，本文也将对洛必达法则的局限性进行深入分析，并展望未来在数论研究中的潜在应用。
通过本文的阐述，读者将能够更全面地了解洛必达法则在数论领域中的重要性和意义，以及未来可能的发展方向。
2.正文2.1 洛必达法则的概念洛必达法则是数学中的一个重要概念，通常用于解决极限计算中的不定式形式。
它最初由意大利数学家洛必达（L'Hôpital）在17世纪提出，并在微积分学中得到广泛应用。
洛必达法则5种常见错误
洛必达法则使用中的5种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。
在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：000,1,,0,,,00∞∞∞⋅∞−∞∞∞（其中后面3种可以通过A e A ln =进行转换）的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。
17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则（L,Hospital Rule）。
虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。
在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。
本文的目的不是为了追求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。
以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。
█失误一不预处理例1错误：−∞=−⋅⋅=′⋅′=+++→→→1(1lim )(lim lim 2101010x e e x xe x x x x x x 正确：+∞=′′⋅==+++→→→)1()1(lim 1lim lim 101010x x e x e xe x x x x xx █失误二急躁蛮干例：错解21126lim 2126lim 42633lim 34223lim 112212331==−=−−−=+−−+−→→→→x x x x x x x x x x x x x x 正确解：532126lim 42633lim 34223lim 12212331=−=−−−=+−−+−→→→x x x x x x x x x x x x x 例2：错解122sin cos cos cos lim cos sin sin lim sin cos lim 000==−++=++=−=→→→x x x x x e x x x x e x x x e x x x x x x 正确解：∞=++=−=→→xx x x e x x x e x x x x cos sin sin lim sin cos lim 00更好的解法：∞=+=−=−=→→→x x e x x e x x x e x x x x x x 2sin lim cos lim sin cos lim 0200经验：先考虑无穷小代换(与“0”结合)，后考虑洛必达法则上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算例3402220220)cos (sin sin lim cos sin sin lim )1(2sin 21cos 1lim2x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x −=⋅−=−−−→→→＝313sin lim cos sin lim 2030==−→→x x x x x x x x x █失误三对离散点列求导例4求n n n+∞→lim 错解：属于0∞型，先进行变形1lim lim lim 011lim ln lim ln 11======+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→e e e e n n nn n n n n n n n n n n 错误原因：n n n f =)(是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。
洛必达法则详解【一元分析学经典讲义】
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练习题
一、 填空题： 填空题：
0 ∞ 1、洛必达法则除了可用于求“ ” 及“ ”两种类 洛必达法则除了可用于求“ ， 0 ∞ 型的未定式的极限外，也可通过变换解决 _____________， _____________， ____________， _____________，_____________，____________， _____________，_____________， _____________，_____________，等型的未定式 的求极限的问题. 的求极限的问题.
2 2
6 cos 6 x 3. = = lim π x → 2 cos 2 x
2
法则可多次使用
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注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 但与其它求极限方法结合使用，效果更好.比如 等价替换、 极限先求等 等价替换、非0极限先求等. 例6 解
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例
求 lim
e x (1 − cos x 2 ) x ⋅ ( 1 + x 2 − 1)
x → 0 tan 2
.
0 ( ) 0
x4 2 = lim 1 = 1. ( 因 e x →1 ) 原式 = lim 解 式 2 x →0 x→0 2 x x ⋅ 2 0 e2 x − 1 − 2 x ( ) 例 求 lim 2 x . 0 x → 0 x ⋅ (e + 1 + 2 x )
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三、小结
洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，可多次 使用， 不是万能的. 使用，但不是万能的 它与其它求极限方法结合使 效果更好.比如等价替换 等价替换、 极限先求等 用，效果更好.比如等价替换、非0极限先求等
洛必达法则失效的种种情况及处理方法
《高数解题的四种思维定势》1．在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
2．在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
3．在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
4．对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
《线性代数解题的八种思维定势》1．题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。
2．若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
3．若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。
4．若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关，先考虑用定义再说。
5．若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。
6．若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。
7．若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。
8．若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。
关于可积和原函数存在如下三种情况可积，是充分条件1。
闭区间上的连续函数是可积的2。
只有有限个第一类间断点的函数是可积的，也就是分段连续函数是可积的3。
单调有界函数必定可积不满足以上三条的也可能是可积的，上面的是充分条件另外，关于原函数是否存在在某个区间上有第一类的函数，则在这个区间上一定不存在原函数在某个区间上有第二类间断点的函数，则在这个区间上有可能有原函数，也可能没有最后，可积和是否有原函数，说的不是一个事情，这个要记住了可积大概的理解，就是图形和x轴围成的面积是存在的，不是无穷大的原函数，就是有这样一个函数，可以表达块面积显然，面积存在的时候，是不一定有这样一个函数的关于合同，相似，等价的关系1、两个矩阵合同，并不需要他俩一定是对称矩阵！2、俩个实对称矩阵合同的充要条件是它俩必然具有相同得正负惯性指数；3、不是实对称的俩矩阵合同，根本无从讨论它俩的什么正负惯性指数——因为二次型的矩阵一定是实对称矩阵，也只有实对称矩阵对应的二次型才有所谓正负惯性指数这一概念！呵呵^_^4、两个矩阵合同，一定推出它俩等价；两个矩阵相似，也一定推出它俩等价；两矩阵相似与两矩阵合同谁也不比谁更强！5、如果两矩阵有相同的秩，且为同型矩阵，那么两矩阵等价6、两个实对称矩阵相似，可推出两个矩阵合同，但合同不能推出相似关于偏导，可微1。
洛必达法则失效的种种情况及处理方法
洛必达法则失效的种种情况及处理方法洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则)()(lim )()(limx g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件： （1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a x （或∞）； （2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；（3）A x g x f a x =''→)()(lim（或∞）。
中第三个条件尤其重要。
其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。
所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
而对于极限问题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 来说，因为x x g x f x x sin lim )()(lim +∞→+∞→=''不存在（既不是某个常数，也不是无穷大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。
此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。
实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
【问题】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim。
【解】对于任何足够大的正数x ，总存在正整数n ，使ππ)1(+<≤n x n ，也就是说总存在正整数n ，使r n x +=π，其中π<≤r 0。
这样+∞→x 就等价于∞→n ，所以⎰⎰+∞→+∞→+=r n n x x x x r n x x x ππ00d sin 1lim d sin 1lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰+∞→r n n n n x x x x r n ππππd sin d sin 1lim 0 ππππ22lim d sin d sin 1lim 00=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∞→∞→⎰⎰r n R n t t x x n r n n r n ， 这里前面一项注意到了函数x sin 的周期为π，而后面一项作了令t n x +=π的换元处理。
洛必达法则及其应用
洛必达法则及其应用洛必达法则，又称为L'Hopital法则，是微积分中一个重要的计算极限的方法。
它的优点在于可以化繁为简，使我们不用进行繁琐的代数计算就能求出许多复杂的极限值。
在本文中，我们将讨论其定义、应用以及常见的注意事项。
一、洛必达法则的定义洛必达法则是指在求取例如$\lim\limits_{x \rightarrow a}{f(x)\over g(x)}$的值时，若函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$附近的某个去心邻域内都可导，且在该去心邻域内$g'(x)$不为0，那么对于该极限，有以下成立：$$\lim_{x \rightarrow a}{f(x) \over g(x)}=\lim_{x \rightarrowa}{f'(x) \over g'(x)}$$二、洛必达法则的应用1. 未定形式$\frac{0}{0}$首先，我们探讨一般情况下，当$\lim\limits_{x \rightarrowa}{f(x) \over g(x)}$的分子和分母都为零时，如何利用洛必达法则进行破除，即使用法则后，极限值能够变得更简单。
例如，求$\lim\limits_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x} $，这里$f(x) = \sin x, g(x) = x$，我们给出解法如下：$$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0}{\sin x \over x}&=\lim_{x \rightarrow 0}{\cos x \over 1} (\text{由洛必达法则})\\ &=1\end{aligned}$$显然，我们可以发现，直接求极限值需要调用三角函数的极限表，虽然对于高手也许不会太困难，但对于初学者而言，光靠极限表是很难掌握的，而使用洛必达法则，我们只需要求导数，就能简单明了地求解。
关于利用洛必达法则求极限的几点探讨
高校理科研究
关于利用洛必达法则求极限的几点探讨
渤海船舶职业学院 王 悦
［摘 要］《高等数学》是大学中的基础课程，极限是学生一开始就要接触的最基本的知识。其中有一类未定式的极限不能用“商的极 限等于极限的商”这一法则，而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单，使用起来也方便，但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就可 能出错。对于初学者来讲，若盲目使用此法则，会导致错误。本文就利用该法则解题中的几点注意作以分析与探讨，并举例说明。 ［关键词］洛必达法则 极限未定式 等价无穷小代换
成ｌｉｍ
ｘ
ｘ ，此极限式的极限不存在（振荡），故洛必达法则
ｘ→０
ｃｏｓｘ
失效。但原极限是存在的，可用如下方法求得：
ｘ２ｓｉｎ １
ｌｉｍ ｘｓｉｎ １
ｌｉｍ
ｘ ＝ｌｉｍ （ ｘ ·ｘｓｉｎ １ ）＝ ｘ→０ ｘ ＝ ０ ＝０
ｘ→０ ｓｉｎｘ ｘ→０ ｓｉｎｘ
ｘ ｌｉｍ ｓｉｎｘ １
ｘ→０ ｘ
三、未定式的其它类型： 0.∞，∞-∞，0°，∞°，1∞ 型的求解
参考文献 ［１］《高等数学》第五版上册［Ｍ］．高等教育出版社，２００７．２ 第 ５ 版 １３３－１３７ 页 ［２］刘书田等编《． 微积分学习辅导与解题方法》［Ｍ］．高等教育出版 社，２００５ ［３］华东师范大学《． 数学分析》［Ｍ］．人民教育出版社，１９８０
，∞∞
型可直接利用洛必达法则定理求解；
未定式的其它类型： ０．∞，∞－∞，０°，∞°，１∞ 型
⑴对于
０．∞
型，可将乘积化为除的形式，即化为
０ ０
或
∞ ∞
型的未Leabharlann 定式来计算。⑵对于
∞－
∞
型，
高中数学极限探究——洛必达法则初探
高中数学极限探究——洛必达法则初探摘要：极限计算是微积分学的基础知识，在许多求极方式中，洛必达法则是一个最简易而又简单的求极方式。
但在具体应用过程中，如果忽略，解法就很可能错误。
本篇就针对运用此规则寻求极限的具体步骤和求解过程中问题，对洛必达规则求函数限制的具体要求以及范围、应用、何时失效作了总体剖析和研究，并举例。
除此以外，还阐述了除洛必达规则以外其他求函数限制的方式及其同洛必达规则之间的对比，最后还对洛必达规则加以全面分析归纳。
关键词：高中数学；极限探究；洛必达法。
序言数学分析中，似乎全部的定义都离不开极限。
所以，限制现象是数学分析的主题，而限制论又是数学分析的基础理论。
极限法的引进和完备是由于社会实际的需求，是很多人共同努力的成果，而没有哪一位数学家苦思冥想出来的。
限制的求法方法很多，大致包括有:①运用限制的基本概念;②运用限制的运算规律求限制;③运用限制所产生的必要条件和规则求限制;④运用二种主要限制求限制;⑤运用等价无穷小量和泰勒展开求限制;⑥运用函式的连续性求限制;⑦运用洛必达法则求限制;⑧运用中值定理求限制;⑨运用导数以及定微分的概念求限制;⑩运用级数收敛的条件求限制。
在此，我仅对运用"洛必达法则"求限制的这一方式，进行了研究和总结。
洛必达法则可谓是在求不定式极限方法中效果较为突出的一个办法，当然，它也有失灵的时刻。
"失效"的基本问题，则在于题目本身不符合可以应用洛必达法则的几个必要条件。
所以，当要求应用洛必达法则时，则需要先检查该问题是否满足了洛必达原则要求，由此梳理洛必达原则失效的基本问题。
一、洛必达法则的应用（一）基本类型：不定式直接应用法则求极限例1：求解：这是待定型。
运用洛必达法则，我们有因为从而例2：求解：上述极限是待定型，于是（二）未定式的其它类型：、、、、型极限的求解此外，除了这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。
譬如等待定型，由于他们都可以转化为，因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值[2]。
洛必达法则的内容及运用注意事项
１
１
化为 ： ｌ ｉ ｍ［ 日 （ 一 ６ （ 】 ＝ｌ ｉ ｍ
ｘ － － － ￣ ｘ ｏ ＿ ＋ ｌ
，
口 （ ． ６ （
则 为 罢 ｌ ｌ 型 未 定 型 ， 实 际 运 算 时 ， 一 般 均 可 通 过 通 分 实 现 。
定理 ５ ：０ 。 型未 定 型 。
。 ，． ． 、
使用 洛必达法则。如果 ｌ ｉ ｍ
叶 Ｄ ｋ Ｘ）
不存在 ， 且不是未定型时 ，
化为 ：ｌ ｉ ａａ ｒ （ ） ． ６ （ ：ｌ ｉ ｍ
叶
一
并不说明极限不存在 ， 还有可能可用其他方法求出极限。 （ ３ ）
ｌ
－ ÷
在使用洛必达法则之前和之中 ，要不断对函数进行化简 ， 并配合其他求极限的方法 ， 使计算过程更为简洁， 洛必达法 则只是计算未定型极限的一种较为普遍 的方法 ， 但它不是唯
【 关键词 】 教 学改革 高等数学 洛必达法则 【 中图分类号 】 Ｇ ６ ４ ２ 【 文献标识码 】 Ａ 【 文章编号 】ｌ ６ ７ ４ —４ ８ １ ０（ ２ ０ １ ４） １ ４ —０ Ｏ ３ ５ 一Ｏ ｌ
定理 ６ ：１ 型未定型。
定理 ７ ：Ｏ ０ 型未定 型 。
型情形化为 型未定型或 型未定型 ， 即可使用洛必达法则
Ｕ ∞
定理 １ ： 二 型未定 型 ， 如果 ： （ １ ） ｌ ｉ ｍ ） ：∞， ｌ ｉ ｍ ６ （ ） ： ｏ 。 ： （ ２ ） ａ（ Ｘ ） ・ ｂ（ Ｘ） 在Ｕ 。 （ ） 内可 导 ，且 ｂ ’ （ Ｘ ）ｌ ≠０ ； （ ３ ） ｌ ｉ ｍ
（ ２ ） ａ（ ） ・ ｂ（ ） 在Ｕ 。 （ Ｘ ０ ）内可导 ，且 ｂ ’ （ Ｘ ）≠０ ； （ ３ ）
导数极限知识总结
导数极限知识总结——仅作了解切忌深究一．洛必达法则是什么（鄙人觉得高中数学神器）洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
在导数问题的3）问中通常会出现形似f(x)g(x)的式子，而一般会出现求其导数，极值，甚至是某一点极限的问题，洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。
引入：试求lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1试求 xx xx x sin sin lim+-∞→显而易见，这两个极限在以往的算法中一个是00式，一个则是∞∞，无法求导，这时就需要用到高端大气上档次的洛必达法则了。
1.使用条件定理1 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。
简而言之，当满足00或 ∞∞的不定式时，A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000PS ：一次求导不行仍未不定式，则多次求导 于是上面的两个式子可以这样解例一．lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1 = lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x−2=2例二．1)sin sin (lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-=+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x (此为错解)事实上，1sin 1sin 1lim sin sin lim =+-=+-∞→∞→xxx xx x x x x x （正解），这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。
高等数学课件-D32洛必达法则
例题二：判断函数性质问题
题目
判断函数 f(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)) 的奇偶性。
解题思路
本题考察的是利用洛必达法则判断函数的性质。 首先，我们需要判断函数在x=0处的值，然后 利用洛必达法则求解函数在x→0时的极限值， 最后根据奇偶性的定义进行判断。
例题二：判断函数性质问题
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总结回顾本次课程内容
洛必达法则的基本概念
洛必达法则是用于求解不定式极限的一种有效方法，通过分子分母分别求导的方式，简化极限的求解 过程。
洛必达法则的适用条件
在使用洛必达法则时，需要满足一定的条件，如分子分母在某点的去心邻域内可导，且分母导数不为 零等。
洛必达法则的求解步骤
首先验证是否满足适用条件，然后分别对分子分母求导，得到新的分子分母，再次判断是否满足适用 条件，如此循环直至求出极限或判断极限不存在。
泰勒公式可以将函数展开为多项式形式，而洛必达法则可 以解决多项式函数的极限问题。因此，可以将泰勒公式与 洛必达法则结合使用，解决复杂函数的极限问题。
要点二
复杂函数极限的求解
对于复杂函数，可以先使用泰勒公式将其展开为多项式形 式，然后应用洛必达法则进行求解。这种方法可以简化复 杂函数的极限求解过程。
在复变函数中应用
证明过程
由于$varphi(x)$在点$a$附近单调且有界，因此存在极限 $lim_{x to a} varphi(x) = l$。又因为$frac{F'(x)}{G'(x)} to l$， 所以$frac{F(x)}{G(x)} to l$。
03 洛必达法则在高等数学中 应用
洛必达法则的一些应用
1 引言18世纪数学本身的发展，以及这个世纪后期数学研究活动的扩张和数学教育的改革都为19世纪数学的发展准备了条件．微积分学的深人发展，才有了后面的洛比达法则，而且在英国和欧洲大陆是循着不同的路线进行的．在欧洲大陆，新分析正在莱布尼茨的继承者们的推动下蓬勃发展起来．伯努利家族的数学家们首先继承并推广莱布尼茨的学说. 雅各布·伯努利运用莱布尼茨引用的符号，并称之为积分，莱布尼茨采用他的建议，并列使用微分学与积分学两个术语．雅各布·伯努利的弟弟约. 翰·伯努利在莱布尼茨的协助之下发展和完善了微积分学. 他借助于常量和变量，用解析表达式来定义函数，这比在此之前对函数的几何解释有明显的进步. 他在求“0/0”型不定式的值时，发现了现称为洛必达法则的方法，即用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限. 约翰·伯努利的学生、法国数学家洛必达的《无限小分析》(1696)一书是微积分学方面最早的教科书，在十八世纪时为一模范著作，他在书中规范了这一种算法即洛必达法则，之后洛必达法则的也得到了广泛应用，这对传播微分学起到很大的作用.从极限概念的产生到现在已经经历了两千五百多年的发展，漫漫的历史长河，人类在寻求真理和科学的过程中不断探索和总结，对于数学的探索给了人类科学发展以强大的动力．我们应当对任何知识都认真的学习、研究及做出总结．不仅踏寻前人的路迹，同时也要从中开创新的空间．极限是数学分析的基石，是微积分学的基础．不定式极限是一种常见和重要的极限类型，其求法多种多样，变化无穷．本文先介绍了洛必达法则的定义，然后对洛必达法则使用条件及其常见误区进行了详细分析，阐述了该法则适用于解决函数极限的类型并举例说明其应用，总结了洛必达法则的各种形式及使用范围，并介绍了洛必达法则的基本应用，以及在使用洛必达法则解题时应注意的问题．文章还将法则的适用范围推广至求数列极限，然后分析法则的使用过程中容易出现的错误；最后通过具体实例说明了可以将法则和其他求极限方法结合起来使用，使我们对法则有了更深入的理解，进而提高了应用洛必达法则解决问题的能力．2 洛必达法则及使用条件在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母同时趋向于零或无穷大的情况，由于这时无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难，事实上，这时极限可能存在，也可能不存在，当极限存在时，极限的值也会有各种各样的可能，如当a x →（或∞→x ）时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限第 2 页 共16页)()(lim)(x g x f x ax →∞→可能存在也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为0型和∞∞型. 未定式极限除了以上两种外，还有∞⋅0型、∞-∞型、0∞型、∞1型、00型等五种，后面几种都可以转换成前面两种类型来进行计算，因此掌握0型和∞∞型极限的计算方法是前提．2.1 洛必达法则型 定理2.1 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋于零；（2）在点a 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f ax →存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim )()(limx g x f x g x f a x ax →→=. 这就是说，当)(')('limx g x f ax →存在时，)()(lim x g x f a x →也存在且等于)(')('lim x g x f a x →；当)(')('lim x g x f a x →为无穷大时，)()(limx g x f ax →也是无穷大，这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证明 因为)()(x g x f 当a x →时的极限与)(a f 及)(a g 无关，所以可以假定0)()(==a g a f ，于是由条件（1）、（2）知道，)(x f 及)(x g 在点a 的某一邻域内是连续的，设x 是这一邻域内的一点，那么在以x 及a 为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有)(')(')()()()()()(ξξg f a g x g a f x f x g x f =--= （ξ在x 与a 之间）.令a x →，并对上式两端求极限，注意到a x →时a →ξ，再根据条件（3）便得要证明的结论.如果)(')('x g x f 当a x →时仍属于0型，且这时)('x f ，)('x g 都能满足定理中)(x f ，)(x g 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，从而确定)()(limx g x f ax →，即 )('')(''lim)(')('lim )()(limx g x f x g x f x g x f a x a x ax →→→==. 且可以依次类推.定理2.2 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当∞→x 时，函数)(x f 及)(x g 都趋于零； （2）当N x >时，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f x ∞→存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim )()(limx g x f x g x f x x ∞→∞→=. 2.2 洛必达法则∞∞型 定理2.3 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋于∞；（2）在点a 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f ax →存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim )()(limx g x f x g x f a x ax →→=. 定理2.4 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当∞→x 时，函数)(x f 及)(x g 都趋于∞； （2）当N x >时，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f x ∞→存在（或为无穷大），第 4 页 共16页那么)(')('lim )()(limx g x f x g x f x x ∞→∞→=. 2.3 其他类型未定式除了上述的00型和∞∞型未定式外，还有∞-∞∞⋅∞∞,0,,0,100等类型的未定式．这几种类型的未定式，都可转化为0型或∞∞型的未定式，即可利用洛必达法则进行求解．如下图所示：具体步骤如下：(1)∞⋅0型未定式可将乘积化为除的形式，即当0x x →或∞时，若0)(→x f ,∞→)(x g ，则()()()()x g x f x g x f x x x x 1limlim 0→→=⋅或()()()()x f x g x g x f x x x x 1lim lim 00→→=⋅， 这样，∞⋅0型未定式就变为00型或∞∞型未定式. (2)∞-∞型未定式可通过通分计算，即当0x x →或∞时，若∞→)(x f ,∞→)(x g ，则型∞∞型 ∞-∞型∞⋅0型0,1,0∞∞型()()()()()()11()lim lim11x x x x f x g x f x g x f x g x →→---=⋅，这样，∞-∞型未定式就变为型未定式. (3)00，1∞，0∞型未定式可先化为以e 为底的指数函数的极限, 再利用指数函数的连续性, 转为直接求指数的极限, 而指数的极限形式为“∞⋅0”型, 再转化为“” 型或“∞∞”型计算.当0x x →或∞时，若0)(→x f (或1)(→x f ，或∞→)(x f )，0)(→x g （或∞→)(x g ）. 则()()ln ()lim ()lim g x g x f x x x x x f x e →→=或000lim ()ln ()()()ln ()lim ()lim x x g x f x g x g x f x x x x x f x e e →→→==，这样就可利用洛必达法则进行求解.2.4 洛必达法则求极限的条件从定理知道, 无论是“0”型还是“∞∞”型,都必须具备一个重要条件, 即在自变量的同一变化过程中，)(')('lim)(x g x f x ax →∞→存在（或为∞）时，才有)()(lim )(x g x f x a x →∞→存在（或为∞），且)(')('lim )()(lim)()(x g x f x g x f x x a x ax →∞→∞→→=，但是此条件却不便先验证后使用，所以连续多次使用法则时，每次都必须验证它是否为“”型或“∞∞”型，其使用程序如下：)()(lim )(x g x f x a x →∞→（“00”），)(')('l i m )(x g x f x a x →∞→（“00”），...，)()(lim )1()1()(x g x f n n a x x --→→∞（“00”），若)()(lim )()()(x g x f n n a x x →∞→存在（或为∞），那么才有式子)()(lim )()(lim ...)(')('lim )()(lim )()()1()1()()()()(x g x f x g x f x g x f x g x f n n a x n n a x a x a x x x x x →∞→∞→∞→∞→--→→→====成 立。
用洛必达法则证明重要极限的逻辑错误
用洛必达法则证明重要极限的逻辑错误
洛必达法则(Löb's Theorem)是运筹学中一个重要的论断，是一种关于证明逻
辑上重要极限的方法。
洛必达法则是运筹学家D.Löb提出的，可以证明有些命题和它所处的集合之间有强烈的耦合关系，其鸡肋和缺陷是，要求用户先假定这一命题，然后进行证明。
洛必达法则曾经被广泛应用，首先，它可以用来证明一些重要的极限，例如量
化了无限集合中每个非空子集，从而为不同概念提供了准确的定义，从而提高了研究分析的准确性。
其次，洛必达法则可以用来证明形式逻辑系统中的一些重要命题。
最后，洛必达法则也可以用来证明一些数学逻辑定理，这些逻辑定理有些是很难证明的，凭借此方法可以更容易的证明它们。
可以看出，洛必达法则的优点很多，但它也存在一些逻辑错误。
首先，洛必达
法则要求用户首先假定其中一些命题，但在某些情况下，它也可能毫无意义，例如，用它来证明一个形式逻辑中矛盾的命题，或者要求用它来证明一个永远不可能成立的命题。
此外，洛必达法则还不能很好的处理一些复杂的命题，这就可能影响它对重要极限的证明。
综上所述，洛必达法则是一种关于证明重要极限的方法，具有诸多优点。
但同
时也存在一些逻辑错误，像要求用户先假定命题，用它来证明永远不可能成立的矛盾命题，以及对复杂命题不处理等。
只有有效率利用，才能够充分发挥洛必达法则的重要极限证明能力。
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f ( x) 1 x lim lim sin x sin x dx x g ( x ) x 0 而对于极限问题 x x 来说，因为 不存在（既不是某个常数，也不是无穷
lim
大） ，而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因 此而说本问题之极限不存在。 实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
洛必达法则失效的情况及处理方法
【本章定位】 此部分内容不需要特别掌握， 关键是要用这部分的讲解来让读者记住使用泰勒 展开式的重要性！
。
洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法， 我们在使用它时， 一定要注意到该法则是极限存在的充分条
lim
件，也就是说洛必达法则 （1） xa
x a
f ( x) f ( x) lim g ( x) xa g ( x) 的三个条件：
还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例：
6e x sin x x(6 7 x 2 ) lim x 0 1 x 2 x(3 x 2 ) 3 ln 1 x 问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达 【例 1】求极限
法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了。
lim f ( x) 0
（或 ） ， x a
lim g ( x) 0
（或 ） ；
（2） f ( x) 和 g ( x) 在 x a 点的某个去心邻域内可导；
lim
（3）
xa
f ( x) A g ( x) （或 ） 。
其中第三个条件尤其重要。 其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通 过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。所以在利 用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
这里前面一项注意到了函数 分值 R 的有界性（ 0 R 2 ） 。
sin x
的周期为 ，而后面一项作了令 x n t 的换元处理。最后注意到积
如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况， 则洛必达法则还有第二种失效的情况： 第三个条件永 远也无法验证。
3
lim
【问题 2】求极限（1）
1
n r 1 x 1 sin x dx sin x dx lim 0 x x 0 n n r n r 1 n lim sin x dx sin x dx n n n r 0
lim
lim
r 2n R 2 1 n sin x dx sin t dt lim 0 0 n n r n n r ，
2
3
x
x3 1 e x ex lim x x x ； （2） x e e 。
【分析与解】 （1）这是 型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证
到第两次后可以得到
3 3 x3 1 x2 x3 1 lim lim x 3 x x ( x 3 1) 2 x
可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘 e
x
，得到
e x ex 1 e 2 x lim lim 1 x 1 e 2 x x e x e x 。
1
2
e x lim 100 x 0 x 【问题 3】求极限 。
0 【分析与解】这是 0 型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，法则失效，处理的方法是
3
lim
x
1 x3 1 x3 1 3 lim lim 3 1 3 1 3 x x x x x 。
（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
e x ex e x ex e x ex lim lim x e x e x x e x e x x e x e x ， lim
1 x 0 sin x dx 。 【问题 1】求极限 x x lim
【解】对于任何足够大的正数 x ，总存在正整数 n ，使 n x (n 1) ，也就是说总存在正整数 n ，使
x n r ，其中 0 r 。
这样 x 就等价于 n ，所以
2
知洛必达法则的第三个条件
lim
x 0
e e lim 100 x 0 200 x 102 x
?
1 x2
1 x2
完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。正确有
t
效的方法是作换元，令
1
2
1 x 2 ，这样就有
t 50 e x lim 100 lim t 0 x 0 x t e 。