函数知识点与典型例题总结

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义
域I内某个区间D上的任意两个自变量x1, x2
定 义
当x1<x2时, 都 有 ____f(_x_1_) _<_f_(_x_2),那么函数
当x1<x2时，都有 _f_(x_1_)_>__f_(x_2_) , 那么函数f(x)
f(x)在区间D上是增函数 在区间D上是减函数
重要不等式、三角法、图象法、线性规划等
——函数的图象 函数的基本性质
——单调性——1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性：同增异减.
——对称性——轴对称：f (a-x)=f(a+x); 中心对称: f (a-x)+f(a+x)=2b ——奇偶性——1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x).
函数的图象
复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。
四、函数的奇偶性
1.奇函数:对任意的 xI ,都有 f(x)f(x) 2.偶函数:对任意的 xI ,都有 f(x)f(x)
3.奇函数和偶函数的必要条件:
定义域关于原点对称.
注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定
义域区间是否关于原点对称!
奇(偶)函数的一些特征
减函数。 “同增异减”
•复合函数的单调性
例题：求下列函数的单调性y=log4(x2－4x+3)
解 设 y=log4u（外函数）,u=x2－4x+3（内函数）. 由 u＞0, u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为 {x|x＜1或x＞3}. 当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间； 当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增 函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
一、ຫໍສະໝຸດ Baidu数的概念：
B
A
C
x1 A.B是两个非空的数集,如果
y1
x2
按照某种对应法则f，对于
y2
x3 集合A中的每一个元素x，
y3
在集合B中都有唯一的元素y
x4
和它对应，这样的对应叫做
y4
x5 从A到B的一个函数。
y5
函数的三要素：定义域，值域，对应法则 y6
二、映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定 的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元 素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对 应,那么就称对应f:A→B为集合A到集合B的 一个映射
映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一
使函数有意义的x的取值范围。
求 1、分式的分母不为零.
定 2、偶次方根的被开方数不小于零.
义 域
3、零次幂的底数不为零.
的 4、对数函数的真数大于零.
主 5、指、对数函数的底数大于零且不为1. 要
依 6、实际问题中函数的定义域
据
（一）函数的定义域
1、具体函数的定义域
x≤1， (u减) 解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调 增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区
间.
•复合函数的单调性小结
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其 中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数; (2) 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增 函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是 增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为 减函数。
1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则
f(0)=0.
2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上 不改变单调性.
3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上改
变单调性
3.性质: (1)奇函数、偶函数的图象特点
➢一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称.
➢一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称. (2)在定义域的关于原点对称的公共区间内
例4：求 y0.3x22x1的单调区间.
解: 设 y 0.3u由u∈R, u=x2－2x－1, 解得原复合函数的定义域为x∈R.
因为y 0.3u在定义域R内为减函数，所以由二 次函数u=x2－2x－1的单调性易知,u=x2－2x－ 1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由 x∈R, (复合函数定义域)
(0, )
R
[1, 1]
R
求值域的一些方法：
1) y ex
3)
y 3x 7 2x 5
5） f(x)4x2x13,(x2)
2) y 2x2 x
4) ylo3g (x3) x6,12
1、图像法，2 、 配方法，3、分离常数法， 4、换元法，5单调性法。
三、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 象 法
例 7.求 下 列 函 数 的 定 义 域
(1) f ( x ) x 1 x2
(2) f ( x ) log 2 ( x 2 1)
(3) f ( x ) log 0.5 (4 x 3)
1.【-1,2）∪（2，+∞） 2.（-∞，-1）∪（1，+∞） 3.（3∕4,1】
2、抽象函数的定义域
当a=0时，N=3只是（0，+∞）上的一个数，不成立；
当a≠0时，真数N取（0，+∞）每个数即
a 0
0
2．函数的值域
(1)在函数y＝f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫 __函__数__值__，_函__数__值__的__集__合__叫函数的值域．
(2)基本初等函数的值域
基本初等函数
值域
等式 f( x y ) f( x ) 2 x ( y x 1 )恒成立，
求
f (x)
(6 )已 知 fx是 偶 函 数 ， g (x)是 奇 函 数 ， 且构造方程组法 fx+ g (x)x2x2 ,求 f(x)、 g(x)的 解 析 式 .
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
➢奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶. ➢偶×偶=偶；奇×奇=偶；偶×奇=奇. (3)奇偶性与单调性的关系
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有
相反的单调性.
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一 个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，
①y＝kx＋b (k≠0) ②y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
③ y k (k 0) x
④y＝ax (a>0且a≠1) ⑤y＝logax (a>0且a≠1) ⑥y＝sin x, y＝cos x ⑦ y＝tan x
R
a0时 ,[4acb2,);a0时 ,(,4acb2]
4a
4a
{y|yR 且 y0}
图
象
描 述
自左向右看图象是_上__升__的_
自左向右看图象是下__降__的_
写出常见函数的单调区间 并指明是增区间还是减区间
１、函数 y ax（a0）的单调区间是
a0 时 ,单 减 区 间 是 ( ,0),(0, ) a0 时 ,单 增 区 间 是 ( ,0),(0, )
2、函数y=ax+b（a≠0）的单调区间是
f 1af 12a0,
求实数a的取值范围.
题 型 三 函数的奇偶性与周期性
【例 3】设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x ＋2)＝－f(x)．当 x∈[0, 2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当 x∈[2, 4]时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．
(1 )fxx 1x 1
(2)f x 3
x2
(3)f xx1
x
( 4 )fx x 2 ,x 2 ,3
例13已知f (x)是奇函数. 且当x 0时, f (x) x(1 x); （1）求x 0时, f (x)表达式； （2）求f (x).
例15 已知f x是定义在区间1， 1上的
奇函数，在区间0， 1上是减函数，且
例 8 若 f(x) lg (a x2 4 a x 3 )的 定 义 域 为 R
求 实 数 a 的 取 值 范 围 。
当a0时，函数的定义域为R;
当a01， 6a2
时，函数的定义域也为R. 12a0
函数的定义域为R，a的取值范围是0a3.
思考：若值域为R呢？
4
分析：值域为R等价为真数N能取（0，+∞）每个数。
(1) 设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且x1＜x2; (2) 作差， f(x1)－f(x2) ; (3)变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式 (4)判号， 判断 f(x1)－f(x2) 的符号； （5）下结论.
例 1.1 证明： f(x)函 x1数 在1， （ ）上是 . x
2x+1, (x≥1)
复合函数的定义：设y=f(u)定义
域A，u=g(x)值域为B，若A B，
则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函 数f与g的复合函数，u叫中间量
•复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数
减函数
增函数
y=f(u)
增函数
减函数
减函数
则y=f[g(x)]
增函数
增函数
减函数
减函数 增函数 减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增 函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是
1. 函数f (x)= ４－x, (x＜1)
则f (x)的递减区间为( B )
A. [1, ＋∞)
B. (－∞, 1)
C. (0, ＋∞)
D. (－∞, 0]
2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞)
上是增函数,求实数a的取值范围
3
判断函数
y ex ex 2
的单调性。
•拓展提升复合函数的单调性
a0时 ,单 增 区 间 是 (,)
a0时 ,单 减 区 间 是 (,) 3、函数y=ax2+bx+c （a≠0）的单调区间是
a0时 ,单 减 区 间 是 ( ,b],单 增 区 间 是 [b,)
2a
2a
a0时 ,单 增 区 间 是 ( ,b],单 减 区 间 是 [b,)
2a
2a
用定义证明函数单调性的步骤:
函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 图象
一次函数 反比例函数
二次函数 指数函数 对数函数 幂函数
函数的复习主要抓住两条主线 1、函数的概念及其有关性质。 2、几种初等函数的具体性质。
函数的概念
——定义——表示——列表法，解析法，图象法 ——三要素——定义域，对应关系，值域 ——值域与最值——观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、
1）已知函数y=f(x)的定义域是[1，3]， 求f(2x-1)的定义域 2）已知函数y=f(x)的定义域是[0，5)， 求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域
3) yf(x2)的 定 义 域 为 {x|x4}, 求 y=f(x2)的 定 义 域
1.[1,2] ; 2.[1,4); 3. [- 2，2 ]
(定义，图象，性质，应用) 复合函数——单调性：同增异减; 奇偶性：内偶则偶，内奇同外 抽象函数——赋值法 函数的应用
——函数与方程——函数零点、一元二次方程根的分布 ——常见函数模型——幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型
函数知识结构
函数
函数的概念
函数的基本性质
函数的单调性 函数的最值 函数的奇偶性
例10求下列函数的解析式 换元法
(1)已知f (x) x2 4x3,求f (x1) (2)已知f (x1) x2 2x,求f (x)
(3)设f (x)一次函数，且 待定系数法
f[f (x)]4x3,求f (x)
配凑法
(4) 已知 求f (x
f(x1)x2
) 的解x析式
1 x2
(x0),
赋值法 （5）已知：对于任意实数x、y，
都有f(x＋T)＝__f_(_x_)_，那么就称函数y＝f(x)为周
期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有
周 期 中 _存__在__一__个__最__小__ 的 正 数 ， 那 么 这 个 最 小 正 数就叫做f(x)的最小正周期.
例12 判断下列函数的奇偶性
2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立. ——周期性——f (x+T)=f (x)；周期为T的奇函数有f (T)=f (T/2)= f (0)=0. 函数常见的几种变换——平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换 基本初等函数——正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指数、对数函数