四川省成都市树德中学2014-2015学年高二数学上学期11月份段考试卷(含解析)

四川省成都市树德中学2014-2015学年高二上学期段考数学试卷（11

月份）

一、选择题（每题5分，共50分）

1．（5分）如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（）

A．B．C．D．

2．（5分）设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β

B．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1所成的角为60°

4．（5分）已知△ABC的斜二测直观图是边长为2的等边△A1B1C1，那么原△ABC的面积为（）

A．B．C．D．

5．（5分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体AB1CD1的体积为（）

A．B．C．D．

6．（5分）下列命题中正确的是（）

A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线

B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交

C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行

D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直

7．（5分）在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．若AC=BD=a，若四边形EFGH的面积为，则异面直线AC与BD所成的角为（）

A．30°B．60°C．120°D．60°或120°

8．（5分）如果0直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则（）

A．sin2θ1+sin2θ2≥1B．sin2θ1+sin2θ2≤1

C．sin2θ1+sin2θ2＞1 D．sin2θ1+sin2θ2＜1

9．（5分）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1：h2：h=（）

A．B．C．D．

10．（5分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD•BC；类似地有命题：在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，若A点在BCD内的射影为M，则有．上述命题是（）

A．真命题

B．增加条件“AB⊥AC”才是真命题

C．增加条件“M为△BCD的垂心”才是真命题

D．增加条件“三棱锥A﹣BCD是正三棱锥”才是真命题

二、填空题（每题5分，共25分）

11．（5分）已知A（3，5，﹣7）和点B（﹣2，4，3），点A在x轴上的射影为A′，点B

在z轴上的射影为B′，则线段A′B′的长为_．

12．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于．

14．（5分）已知正方体的棱长ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，G是面BB1C1C的中心，M为面ABCD 上一点，则D1M+GM的最小值为．

15．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，有以下命题

①若A1在底面ABC内的投影为△ABC的中心，∠A1AB=60°；

②若A1在底面ABC内的投影为△ABC的中心，则AB1与面ABC所成角的正弦值为；

③若A1在底面ABC内的投影为线段BC的中点，则二面角A1﹣AB﹣C的正切值为

④若A1在底面ABC内的投影为线段BC的中点，则AB1与面ABC所成角的正弦值为．

以上正确命题的序号为．

三、解答题（共75分）

16．（12分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心．

（1）证明：PQ∥平面DD1C1C；

（2）求PQ与平面AA1D1D所成的角．

17．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）证明：BN⊥平面C1NB1；

（2）求二面角C﹣NB1﹣B的正切值的大小．

18．（12分）在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

（1）求证：BC⊥AD；

（2）若二面角A﹣BC﹣D为，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

（3）设二面角A﹣BC﹣D的大小为θ，猜想θ为何值时，四面体A﹣BCD的体积最大．（不要求证明）

19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′；

（Ⅱ）求三棱锥A′﹣MNC的体积．

（椎体体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高）

20．（13分）如图，在四棱柱ABC﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上，点E是棱C1C上一点．

（1）求证：无论E在任何位置，都有A1E⊥BD

（2）试确定点E的位置，使得A1﹣BD﹣E为直二面角，并说明理由．

（3）试确定点E的位置，使得四面体A1﹣BDE体积最大．并求出体积的最大值．

21．（14分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ（如图2）

（1）若，求证：CD⊥AB；

（2）是否存在适当θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在说明理由；

（3）取BD中点M，BC中点N，P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得．令

PQ与BD和AN所成的角分别为θ1和θ2．求证：对任意θ∈（0．π），总存在实数λ，使得sinθ1+sinθ2均存在一个不变的最大值．并求出此最大值和取得最大值时θ与λ的关系．

四川省成都市树德中学2014-2015学年高二上学期段考数学试卷（11月份）

参考答案与试题解析