数值分析第四章作业

数值分析第四章作业

1.求0x ,1x ,A ,使得求积公式10101()()()2

f x dx f x Af x ≈+⎰具有最高的代数精度,并给出所得求积公式代数精度的次数.

2.给定求积公式()()()2

b a a b f x dx b a f +≈-⎰. ①求该公式的代数精度;

②证明:存在(,)a b η∈使得3()()()()()224

b

a a

b b a f x dx b a f f η+-''--=⎰. 3.用复化梯形公式计算积分 1.50x e dx -⎰,要使得截断误差不超过41102

-⨯应将积分区间多少等分?

4.已知函数值 (0)0f =,(1)1f =-,(2)2f =-,(3)3f =,(4)20f =, 利用龙贝格求积算法计算4

0()f x dx ⎰的近似值, 并指出T 表中哪些量相当于用(复化)辛普森公式计算结果.

5.确定求积系数A 及求积节点0x 和1x ,使得求积公式01()[()()]h

h f x dx A f x f x -≈+⎰具有尽可能高的代数精度,并给出该代数精度的次数,该公式是否高斯型求积公式?

6.求积公式0()()n b i i a i f x dx A f x =≈∑⎰是高斯型的,0()n j k j k j j k

x x l x x x =≠-=-∏. 证明: ①2()[()]b b k k a a l x dx l x dx =⎰⎰; ②如k j ≠,则()()0b

k j a l x l x dx =⎰. 7.设2()P x 是()f x 的二次插值多项式,插值节点为0,,2h h .

证明:由2()P x 导出积分30()h

f x dx ⎰的近似计算公式为3[(0)3(2)]4

h h I f f h =+,并且有453(0)()8

h I I h f O h '''-=+. 8.确定求积公式10(0)(1)(0)(1)()212

f f f f f x dx ''+-≈+⎰的代数精度,并证明其余项为(4)1[](),(0,1)720R f f ηη=∈.