6. 湍流模型

湍动耗散率（turbulent dissipation rate）
( ui' )( ui' ) xk xk
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:标准k-ε模型
标准的k-ε双方程 其中， k-ε分别通过他们的输运方程求出
(k) t
uk
(k) xk
uiuk
ui xk
1
(uk
p)
t
y
w +(wu)=- 1 p +v (grad w)
t
z
一、 “雷诺平均”模式（RANS)
根据湍流统计平均理论，湍流的速度、压 强都可以分解为平均量和脉动量
ui ui ui'
p p p
其中，ui, p 为脉动量
ui , p 为系综统计平均量，任意变量ф的时间平均值定义为 :
1 tt(t)dt
ui' xmxk
2
湍动能耗散的扩 散项
湍动能耗散的 生成项
湍动能的耗 散项
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:标准k-ε模型
标准的k-ε双方程
其中，k, 分别通过他们的输运方程求出
(k)
t
(kui )
xi
x j
[(
t k
)
k x j
]
Gk
Gb
YM
Sk
(
t
)
(ui )
xi
x j
2ui x jxi
x j
(uiuj
uiu j )
这即为脉动运动方程，在该方程中，也出现了雷诺应 力项，因此，也是不封闭的。
一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力输运方程
从以后湍做u流j平，脉均再动运在方u算程j脉，出动得发方到，程在上u乘i 脉以动u方i，程两上式乘相加
(uiuj ) t
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:非线性k-ε模型
将雷诺应力用以下代数式近似
ui'u
' j
2 3
kij
c
k
Sij
a1
k3
2
Sik
S jk
1 3
Smn Smmij
a2
k3
2
பைடு நூலகம்ik
jk
1 3
mn
mm
ij
a3
k3
2
Sik jk S jk ik
a5
k3
2
Sij t
uk
uk
(uiuj ) xk
uiuk
u j xk
u juk
ui xk
1
(u
j
p xi
ui
p ) x j
(u
j
2ui xk xk
ui
2u
j
xk xk
)
(uiu juk ) xk
一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力输运方程
u
j
p xi
ui
p x j
u
j
p
xi
ui p x j
p( ui x j
项
项Pij
(uiuj ) t
uk
(uiuj ) xk
uiuk
u j xk
u juk
ui xk
p
p( ui x j
u
j
)
xi
1
u
j
p
xi
ui p x j
uiu
j
xk xk
(uiu juk xk
)
2
ui xk
u
j
xk
雷诺应力扩散项Dij
雷诺应力耗散
项Eij
雷诺应力输运方程是不封闭的，由N-S方程还可推导出更高阶
需要注意的是，该模型仍是针对充分发展的湍流有效的，
即是高Re数的湍流计算模型。
RNG k-ε模型
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:改进的k-ε模型
Realizable k-ε 模型
（1）湍动粘度计算公式发生了变化，引入了与旋转和曲率有关 的内容。
（2） ε方程发生了很大变化，方程中的产生项不再包含有k方 程中的产生项Ck 项，这样，更好的表示了光谱的能量转换。
0
t
ui
x j
(uiu j )
1
p xi
x j
[
ui x j
(uiu
j
)]
si
t
x j
(u j)
x j
[
x j
(ui)]
si
RANS方程和原N-S方程在形式上很相似， 只是多了雷诺应力项（6个）。这样，方程 只有4个，而变量有10个。为封闭这个方程
组，人们提出了各种湍流模化方法将与时 均量u，p等联系起来。
[(
t
)
x j
] C1
k
(Gk
C3 Gb )
C2
2
k
S
——涡粘模型:标准k-ε模型
标准k-ε模型模式常数
c 0.09 k 1.0 1.3
c1 1.44
c 2 1.92
——涡粘模型:标准k-ε模型
标准k-ε模型的控制方程组
注意：针对高Re数的湍流计算模型；计算各向异性大湍流有误差。
t
uk
xk
2
ui xk
ui x j
'
uk' x j
2
ui xk
u
j
'
u
' j
xi xk
2
2 ui xkx j
uk'
ui x j
'
2
ui xk
'
ui ' xm
uk' xm
xk
uk'
ui ' ui' xm xm
2
xk
p ' xm
uk' xm
2
2
2ui' xmxk
（3） ε方程的倒数第二项不具有任何奇异性，即使k值很小， 分母也不会为零，这与标准k-ε 模型和RNG k-ε模型有很大 的区别。
已被有效应用于各种不同类型的流动模拟，包括旋转均匀剪切流、包 含有射流和混合流的自由流动、管道内流动、边界层，以及带有分离 的流动等。
Realizable k-ε 模型
——涡粘模型: 低Re数k-ε模型
——涡粘模型: 低Re数k-ε模型
为体现分子粘性的影响，控制方程的扩散系数项 包括了湍流扩散系数与分子扩散系数两部分。
控制方程的有关系数必须考虑不同流态的影响，
即在系数计算中引入湍流雷诺数Ret。
在k方程中壁面附近湍动能的耗散不是各向同性。
据文献建议，当局部湍流的Ret小于150时，就应该
t t
一、 “雷诺平均”模式（RANS)
对N-S方程做系综平均
xi
ui
0
ui t
x j
(uiu j )
1
p xi
2ui x jx j
fi
遵循求导和系综平均可交换的原则，上式的线性 项可直接写出 :
ui ui t t
一、 “雷诺平均”模式（RANS)
对非线性对流项
x j
(uiu j )
ui x j
Sij
1 ( ui 2 x j
u j xi
)
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——标准k-ε模型
湍动能的扩散项
1
(uk
p)
2k
(ku)
xk xkxk xk
[( t ) k ]
xi
k xi
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:标准k-ε模型
由湍流脉动方程可以导出湍动能耗散方程如下
涡粘模型
单方程模型
瞬态项
对流 项
扩散 项
产生项
耗散项
考虑到湍动的对流输运和扩散输运，比零方程模型更为合理；
——涡粘模型:标准k-ε模型
标准的k-ε双方程
令
t
C
k2
该式依据的是脉动动量输运的物理机制（涡粘系数应
当正比于脉动速度和混合长度之积（类比：分子粘性
系数正比于分子自由程和分子热运动速度之积））
第六章 湍流模型
湍流模型
湍流运动中动量与能量交换主要受大尺度 涡的影响
湍流的基本方程
无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和Navierstokes方程对于瞬时运动仍然是使用的。对不可压流动：
u=0
u +(uu)=- 1 p +v (grad u )
t
x
v +(vu)=- 1 p +v (grad v)
湍流的数值模拟方法简介
湍流数值 模拟方法
直接数值模 拟（DNS）
大涡模拟 方法（LES）
非直接数值 Reynolds平均
模拟
法（RANS）
统计平均法
Reynolds 应力模型
涡粘模型
RSM ASM 零方程模型 一方程模型 两方程模型
两方程模型：标准k-e模型，RNG k-e模型，Realizable k-e模型等
u
j
xi
)
u
j
2ui xk xk
ui
2u
j
xk xk
xk
(u
j
ui ) xk
xk
(ui
u
j
xk
)
2
ui
xk
u
j
xk
uiu
j
xk xk
2
ui xk
u
j
xk
一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力输运方程
雷诺应力再分配
最后得雷诺应力输运方程 雷诺应力生成
22
涡粘模型
依据确定t 的微分方程数目的多少，涡粘 模型包括： 零方程模型 一方程模型 两方程模型
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型
混合长度模型
混合长度lm由经验公式或实验确定； 直观简单，对于如射流、混合层、扰动和边界层
等带有薄的剪切层的流动有效，对于复杂流动则 很难确定lm，且不能用于带有分离及回流的流动。
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型
涡粘模型的一般形式（布辛涅斯克假设 ） （类比于物理粘性）
ui'u
' j
t
(
ui x j
u j xi
)
2 3
( k ) ij
其中，t 为湍动粘度，k为湍动能。
当i=j，ij 1, 当i≠1时， ij 0
K
ui'u
' j
1 (u'2 v'2 w'2 )
u 1 ln(Ey )
u u / u
y yu
u
w
E 为常数
——涡粘模型: k-ε模型壁面函数
——涡粘模型: k-ε模型壁面函数
是FLUENT的默认方法，对各种壁面流动都非常 有效。
壁面函数法无法像低Re数k-ε模型那样得到粘性底 层和过渡层内的“真实”速度分布。
当流动分离过大或近壁面流动处于高压之下时， 该方法很不理想。
成。
一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力输运方程
雷诺应力扩散项Dij
1
u
j
p
xi
ui p x j
uiu
j
xk xk
(uiu juk ) xk
xk
(
u
j
p
ik
ui p
jk
)
uiu
j
xk
uiu
juk
由脉动速度和脉动压 强的关联产生的扩散
由分子粘性产生的扩 散
处于最外层，其中粘性力的影响不明显，湍流切应力占主 导地位，流动处于充分发展的湍流状态，流速分布接近对数 律。
近壁区流动的特点
u u / u
y yu
u
w
k-ε模型求解壁面区流动的方法
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型: k-ε模型壁面函数
对一般工程问题，第一层网格一般不能伸到粘性底层(在 该区域， k-ε模型不适用），需要采用壁面函数。
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型:改进的k-ε模型
RNG k-ε模型
（1）通过修正湍动粘度，考虑了平均流动中的旋转及旋 流流动情况。
（2）在ε方程中增加了一项，从而反映了主流的时均应变 率Eij，这样，模型中产生项不仅与流动情况有关，而且在
同一问题中也还是空间坐标的函数。
从而， RNG k-ε模型可以更好地处理高应变率及流线弯 曲程度较大的流动。
t
y
x y z
w
+(wu)=-
1
p
+v(grad w) [- u'w'
-
v'w'
w' 2 -
]
t
z
x y z
一、 “雷诺平均”模式（RANS)
xi
ui
0
t
ui
x j
(ui u j )
1
p xi
v
2 ui x j x j
xi
(uiu
j
)
fi
Rij
(uiu
j
)
为雷诺应力项
t
xi
ui
xk
2k xk xk
(k u) xk
ui
xk
ui xk
k
1 2
uiuj
,
k
1 2
uiuj
湍动能的 生成项
湍动能的扩散项
湍动能的 耗散项
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——标准k-ε模型
湍动能的生成项：由于平均速度梯度引起 的湍动能k的产生项
Gk
ui'u
' j
u j xi
Gk
2t Sij
相关量的输运方程，但方程中必然出现更高阶相关量，因此由
N-S方程导出的湍流统计方程总是不封闭的，湍流模型的任务
是研究统计方程的封闭方法
一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力输运方程
雷诺应力生成项Pij
uiuk
u j xk
u juk
ui xk
是平均运动变形率和雷诺应力联合作用的结果，
因此，没有平均运动变形率就没有雷诺应力的生
用低Re数k-ε模型
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——雷诺应力模型（RSM)
雷诺应力模型的关键是对雷诺应力输运方 程各项的模化，使方程得以封闭
一、 “雷诺平均”模式（RANS) 脉动运动方程
用N-S方程减去RANS方程得：
xi
ui
0
ui t i
uj
ui x j
uj
ui x j
1
p
xi
x j
(uiu j
)
x j
((ui
ui )(u
j
u
j
))
x j
(ui u
j
ui u
j
u
j
u
i
uiu
j
)
x j
(ui u
j
uiu
j
)
将以上方程代入N-S方程的系综平均中:
u=0
u
+(uu)=-
1
p
+v(grad u)+[- u'2
-
u'v'
u'w' -
]
t
x
x y z
v +(vu)=- 1 p +v(grad v) [- u'v' - v'2 - v'w' ]
Sij xk
式中的k-ε通过解相应的输运方程获得。
一、 “雷诺平均”模式（RANS) ——涡粘模型: k-ε模型壁面函数
壁面区可分为3个子层
粘性底层 粘性力在动量、热量及质量交换中起主导作用，湍流切应
力可以忽略，几乎是层流流动。 过渡层
处于粘性底层的外面，粘性力与湍流切应力的作用相当， 流动状态比较复杂。 对数律层