《二次函数的应用》专题练习

《二次函数的应用》专题练习
1．某一型号的飞机着陆后滑行的路程s （单位：m ）米与时间t （单位：s ）之间的函数关系式为：
s ＝60t －1.5t 2
，试问飞机着陆后滑行多远才能停止？
2．如图拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为231x y -=，当水面离桥顶的高度为3
25
米时，水面的宽度为多少 米？
3．如图是抛物线形拱桥，拱顶离水面2m ，水面宽度4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？
4．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB ＝18m 。

一同学站在门内，在离门脚B 点1m 远的D 处，垂直地面 立起一根1.7m 长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C 处。

根据这些条件，请你求出该大门的高h 。

5．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶 端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的 形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是
y ＝－x 2
＋2x ＋
5
4
，请你寻求： （1）柱子OA 的高度为多少米?
（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。

6．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到 最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。

已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。

(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是
多少？
7．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB 为6米，最高点离地面的距离OC 为5米。

以最高点O 为坐
标原点，抛物线的对称轴为y 轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求： （1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x 的取值范围；
（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB 的距离）能否通过此隧道？
(1)0(2)x B
y
A O
x y A B
C
8．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地
面6m ，建立如图所示的坐标系： （1）求抛物线的解析式；
（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？
（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
9．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米。

现以O 点为原点，OM 所在直 线为x 轴建立直角坐标系。

(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD － DC － CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑 架”总长的最大值是多少？
10．某服装商销售每件进价为40元的衬衫，市场调查显示，若每件以50元的价格销售，平均每天可销售500件，
价格每提高1元，则平均每天少销售10件。

当每件衬衫提价x 元时，可以获得利润y 元。

（1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）当每件衬衫提价多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
P
y B A O C x
11．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中运动路线是如图所示坐标系下的经过原点
O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。

在跳某个规定动作时，正常情况下该运动员在空中的最高处
距水面3
2
10
m ，入水距池边的距离为4m ，同时运动员在距水面高度为5m 以前，必须完成规定的翻腾动作，并 调整好入水的姿势，否则就会出现失误。

（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳时，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，
距池边的水平距离为5
3
3
m ，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。

12．如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛
物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD 为12米时，球移动的水平距离PD 为9米。

已知山坡PA 与水平方向PC 的夹角为30°，AC ⊥PC 于点C ，P 、A 两点相距38米。

请你建立适 当的平面直角坐标系解决下列问题。

（1）求水平距离PC 的长；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P 点直接打入球洞A 点。

13．某水果商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元。

市场调查显示，若每箱以
50元的价格销售，平均每天可销售90箱，价格每提高1元，则平均每天少销售3箱。

（1）求平均每天销售量y （箱）与售价x （元/箱）之间的函数关系； （2）求平均每天销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系； （3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
14．为把产品打入国际市场，某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产。

方案一：生产甲产品，每
件产品成本为a 万美元（a 为常数，且3＜a ＜8），每件产品销售价为10万美元，每年最多可生产200件；方 案二：生产乙产品，每件产品成本为8万美元，每件产品销售价为18万美元，每年最多可生产120件。

另外，
年销售x 件乙产品．．．
时需上交2
0.05x 万美元的特别关税。

在不考虑其它因素的情况下： （1）分别写出该企业两个投资方案的年利润1y 、2y 与相应生产件数x （x 为正整数）之间的函数关系式，并指 出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
15
《二次函数的应用》专题练习答案
1．解：s ＝60t －1.5t
2
＝－1.5（t 2－40 t ）2
＝－1.5（t －20）2
＋600 ∵－1.5＜0，
∴函数有最大值。

当t ＝－20时， s 最大值＝600，
即飞机着陆后滑行600米才能停止。

2．10米。

3．解：以抛物线的顶点作为原点，水平线作为x 轴，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为2
ax y =， ∵过（2，－2）点，∴21-
=a ，抛物线的解析式为2
2
1x y -=。

当3-=y 时，6±=x ，所以宽度增加（462-）m 。

4．解法一：如图1，建立平面直角坐标系。

设抛物线解析式为y ＝ax 2
＋bx 。

由题意知B 、C 两点坐标分别为B(18，0)，C(17，1.7)。

把B 、C 两点坐标代入抛物线解析式得
解得
∴抛物线的解析式为 y ＝－0.1x 2
＋1.8x
＝－0.1(x －9)2
＋8.1。

∴该大门的高h 为8.1m 。

解法二：如图2，建立平面直角坐标系。

设抛物线解析式为y ＝ax 2。

由题意得B 、C 两点坐标分别为B(9，－h)，C(8，－h ＋1.7)。

把B 、C 两点坐标代入y ＝ax 2
得
解得。

∴y＝－0.1x 2
.
∴该大门的高h 为8.1m 。

说明：此题还可以以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点，建立直角坐标系，可得抛物线解析式为
y ＝－0.1x 2
＋8.1。

5．(1)当x ＝0时，y ＝
5
4，故OA 的高度为1.25米。

(2)∵y＝－x 2＋2x ＋54
＝－(x －1)2
＋2.25，
∴顶点是(1，2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米。

(3)解方程－(x －1)2
＋2.25＝0，得1215,22x x =-=。

∴B 点坐标为5,02⎛⎫
⎪⎝⎭。

∴OB＝
52。

故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外。

6. (1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2
＋k ，
由图知图象过点(1.5，3.05)，代入求得a ＝－0.2。

∴抛物线的表达式为y ＝－0.2x 2
＋3.5。

(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m ，则球出手时，球的高度为h ＋1.8＋0.25＝(h ＋2.05) m ，
∴h ＋2.05＝－0.2×(－2.5)2
＋3.5， ∴h ＝0.2(m)。

7．解：（1）设所求函数的解析式为2ax y =。

由题意，得 函数图象经过点B （3，－5）， ∴－5＝9a 。

∴9
5-=a 。

∴所求的二次函数的解析式为2
9
5x y -=。

x 的取值范围是33≤≤-x 。

（2）当车宽8.2米时，此时CN 为4.1米，对应45
494.19
52
-
=⨯-=y ， 离地面高度为EN 长为：145
17645495>=-
， ∴农用货车能够通过此隧道。

8．（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），
设抛物线的方程为6)4(2
+-=x a y ， 又因为点A （0，2）在抛物线上， 所以有6)40(22
+-=a 。

所以a ＝4
1-。

因此有：6)4(4
1
2+--
=x y 。

（2）令4y =，则有 6)4(4
142
+--=x 。

解得12422422x x =+=-，
21422x x -=>。

∴货车可以通过。

（3）由（2）可知
211
2222
x x -=>， ∴货车可以通过。

9. 解：(1) M(12，0)，P(6，6)。

(2) 设抛物线解析式为：6)6(2+-=x a y 。

∵抛物线6)6(2
+-=x a y 经过点(0，0)， ∴6)60(02
+-=a ，即6
1-=a ， ∴抛物线解析式为：
x x y x y 26
1
,6)6(6122+-=+--=即 。

(3) 设A(m ，0)，则B(12－m ，0)，)261,12(2m m m C +-
-，)261
,(2m m m D +-。

∴“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝ )261()212()261(2
2m m m m m +-+-++-
＝15)3(3
1122312
2+--=++-m m m 。

∵ 此二次函数的图象开口向下。

∴ 当m ＝3米时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为15米。

10．设每件衬衫提价x 元时，可以获得利润y 元。

根据题意，得 y ＝（50－40＋x)（500－10x ）
＝－10x 2
＋400x ＋5000，
＝－10（x －20）2
＋9000，
因为－10＜0，所以，当x ＝20时，y 的最大值为9000元。

即，当每件衬衫提价20元时，可获最大利润9000元。

11．解：（1）在给定的直角坐标系中，设抛物线的解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c 。

由题意得，O 、B 两点坐标分别为
（0，0）、（2，－10），顶点纵坐标为
3
2。

则有 ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧-=++=-=.1024,32
44,02c b a a
b a
c c 解得 ⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==-=.0,310,625c b a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.0,2,23c b a 因抛物线对称轴在y 右侧，所以－
a
b
2＞0，即a 与b 异号，又开口向下，则a ＜0，b ＞0，
所以a ＝－
2
3
，b ＝－2，c ＝0不符合题图意，舍去。

故所求抛物线的解析式为y ＝－625x 2＋3
10
x 。

（2）当运动员在空中距池边的水平距离为353m ，即x ＝353－2＝5
8
m 时，
y ＝（－625）×（58）2＋310×58＝－3
16。

所以此时运动员距水面的高为10－316＝3
14
＜5。

因此，此次跳水会出现失误。

12．解：（1）依题意得：∠ACP ＝90°，∠APC ＝30°，PA ＝38，
∴AC ＝34，∴PC ＝12，
∴PC 的长为12m 。

（2）以P 为原点，PC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知：顶点B
（9，12），
抛物线经过原点，
设抛物线的解析式为y ＝a （x －9）2
＋12，
将点P （O ）的坐标代入可得：0＝a （0－9）2
＋12，
求得a ＝－
27
4， 故抛物线的解析式为：y ＝－
27
4 (x －9)2
＋12。

（3）由（1）知点C 的坐标为（12，0），易求得AC ＝34，
即可得点A 的坐标为（12，34）， 当x ＝12时，y ＝－
274 (12－9)2
＋12＝3
32≠34， 故小明不能一杆把高尔夫球从P 点直接打入球洞A 点。

13．（1）y ＝90－3(x －50)，化简得y ＝－3x ＋240 (50≤x≤55)
(2)w ＝(x －40)y ＝－3x 2
＋360x －9600，
(3)当x ＝60时，w 有最大值，
又因x ＜60，所以，当x ＝55时，w 的最大值为1125元。

即，当每箱苹果的售价为55元时，可获最大利润，为1125元。

14．解：（1）1(10)y a x =- （1≤x≤200，x 为正整数）
22100.05y x x =- （1≤x≤120，x 为正整数）
（2）①∵3＜a ＜8， ∴10－a ＞0，即1y 随x 的增大而增大 ，
∴当x ＝200时，1y 最大值＝（10－a ）×200＝2000－200a （万美元）
②220.05(100)500y x =--+
∵－0.05＜0， ∴x＝100时， 2y 最大值＝500（万美元）
（3）由2000－200a ＞500，得a ＜7.5，
∴当3＜a ＜7.5时，选择方案一； 由2000200500a -=，得 7.5a =， ∴当a ＝7.5时，选择方案一或方案二均可； 由2000200500a -<，得 7.5a >， ∴当7.5＜a ＜8时，选择方案二。

15．解：（1）∵根据表格知道日销售量与时间t 是均匀减少的，
∴确定m 与t 是一次函数关系，设函数关系式为：m ＝kt ＋b ， ∵当t ＝1，m ＝94；当t ＝3，m ＝90，
∴⎩⎨⎧=+=+90394b k b k ， ∴⎩⎨⎧=-=96
2
b k ，。