几个重要不等式的证明

，当且仅当b i=l a i(1£i£n)时取等号

柯西不等式的几种变形形式

1.设a iÎR,b i>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当b i=l a i(1£i£n)时取等号

2.设a i,b i同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=b n时取等号例1.已知a1,a2,a3,…,a n，b1,b2,…,b n为正数，求证：

证明：左边=

例2.对实数a1,a2,…,a n,求证：

证明：左边=

例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：

证明：左边³

例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：

证明：左边=

³

=

=

例5.若n是不小于2的正整数，试证：

证明：

所以求证式等价于

由柯西不等式有

于是：

又由柯西不等式有

<

例6.设x1,x2,…,x n都是正数(n³2)且，求证：

证明：不等式左端即 (1)

∵，取，则(2) 由柯西不等式有 (3)

及

综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：

三、排序不等式

设a1£a2£…£a n,b1£b2£…£b n;r1,r2,…,r n是1,2,…,n的任一排列，则有：

a1b n+ a2b n-1+…+ a n b1£a1b r1+ a2b r2+…+ a n b rn£ a1b1+ a2b2+…+ a n b n

反序和£乱序和£同序和

例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小

解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a

例2.正实数a1,a2,…,a n的任一排列为a1/,a2/,…a n/，则有

证明：取两组数a1,a2,…,a n；

其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有例3.已知a,b,cÎR+求证：

证明：不妨设a³b³c>0,则>0且a12³b12³c12>0

则

例4.设a1,a2,…,a n是1,2,…,n的一个排列，求证：

证明：设b1,b2,…,b n-1是a1,a2,…,a n-1的一个排列，且b1

c1,c2,…,c n-1是a2,a3,…,a n的一个排列,且c1

则且b1³1,b2³2,…,b n-1³n-1；c1£2,c2£3,…,c n-1£n

利用排序不等式有：

例5.设a,b,cÎR+,求证：

证明：不妨设a³b³c,则，a2³b2³c2>0

由排序不等式有：

两式相加得

又因为：a3³b3³c3>0,

故

两式相加得

例6.切比雪不等式：若a1£a2£…£a n且b1£b2£…£b n,则

a1£a2£…£a n且b1³b2³…³b n,则

证明：由排序不等式有：

a1b1+a2b2+…+a n b n= a1b1+a2b2+…+a n b n

a1b1+a2b2+…+a n b n³ a1b2+a2b3+…+a n b1

a1b1+a2b2+…+a n b n³ a1b3+a2b4+…+a n b2

…………………………………………

a1b1+a2b2+…+a n b n³ a1b n+a2b1+…+a n b n-1

将以上式子相加得：

n(a1b1+a2b2+…+a n b n)³ a1(b1+b2+…+b n)+ a2(b1+b2+…+b n)+…+ a n(b1+b2+…+b n) ∴