大学数学(高数微积分)专题三第2讲数列求和及数列的综合应用(课堂讲义)..
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＝2· 3n 1＋(－1)n[ ln 2＋(n－1)ln 3]
－
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＝2· 3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[ －1＋1－1＋…＋(－1)n] · (ln 2－ ln 3)＋[ －1＋2－3＋…＋(－1)nn] ln 3.
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考点一 例1
本Biblioteka Baidu讲 栏 目 开 关
分组转化求和法
等比数列{an}中，a1，a2，a3 分别是下表第一、二、三行
中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两个数不在下表的同 一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 2 4 8 10 14 18
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(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项 和Sn.
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1－3n n 当n为偶数时，Sn＝2× ＋ ln 3 1－3 2 n n ＝3 ＋ ln 3－1； 2 n－1 1－3n 当n为奇数时，Sn＝2× －(ln 2－ln 3)＋ －nln 3 1－3 2 n－1 n ＝3 － ln 3－ln 2－1. 2 n n n为偶数， 3 ＋2ln 3－1， 综上所述，Sn＝ 3n－n－1ln 3－ln 2－1， n为奇数. 2
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
1 当 n 为偶数时，an－1＝－ n， 2 1 当 n 为奇数时，2an＋an－1＝ n， 2 1 1 ∴当 n＝4 时，a3＝－ 4＝－ . 2 16
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根据以上{an}的关系式及递推式可求． 1 1 1 1 a1＝－22，a3＝－24，a5＝－26，a7＝－28， 1 1 1 1 a2＝22，a4＝24，a6＝26，a8＝28. 1 1 1 ∴a2－a1＝2，a4－a3＝23，a6－a5＝25，…， ∴S1 ＋ S2 ＋ … ＋ S100 ＝ (a2 － a1) ＋ (a4 － a3) ＋ … ＋ (a100 － a99) － 1 1 1 1 ＋ 2＋ 3＋…＋ 100 2 2 2 2
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在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思 想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，
本 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列， 哪些项构成等比数 讲 栏 列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的 目 开 各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后 关
解
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(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3. 故an＝2· 3n－1 (n∈N*)． (2)因为bn＝an＋(－1)nln an ＝2· 3n－1＋(－1)nln(2· 3n－1)
主干知识梳理
1．数列求和的方法技巧
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(1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列 通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的 数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种 方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分 别是等差数列和等比数列．
主干知识梳理
常见的拆项公式： 1 1 1 ① ＝ － ； nn＋1 n n＋1 1 11 1 ② ＝ ( － )； nn＋k k n n＋k 1 1 1 1 ③ ＝ ( － )； 2n－12n＋1 2 2n－1 2n＋1 1 1 ④ ＝k( n＋k－ n)． n＋ n＋k 2．数列应用题的模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该 模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．
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主干知识梳理
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的
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模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增 加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我 们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍 伐问题等． (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项 an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识 来解决问题.
第2讲
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数列求和及数列的综合应用
【高考考情解读】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题： 1．以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学 生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属 中档题. 2． 通过分组、 错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题， 考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用， 属中档题．
主干知识梳理
(3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将 一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可 提， 并且剩余项的和易于求得， 则这样的数列可用倒序相加法
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求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过 程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于 1 求通项为 的数列的前 n 项和，其中{an}若为等差数列， anan＋1 1 1 1 1 则 ＝da －a . ＋ anan＋1 n n 1
再验证是否可以合并为一个公式．
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(2013· 湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan 1 － n，n∈N*，则： 2 (1)a3＝________；
本 讲 解析 ∵a ＝S －S ＝(－1)na － 1 －(－1)n－1a ＋ 1 ， n n n－1 n n－1 栏 2n 2n－1 目 1 开 n n－1 关 ∴an＝(－1) an－(－1) an－1＋2n.
－
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＝2· 3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[ －1＋1－1＋…＋(－1)n] · (ln 2－ ln 3)＋[ －1＋2－3＋…＋(－1)nn] ln 3.
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分组转化求和法
等比数列{an}中，a1，a2，a3 分别是下表第一、二、三行
中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两个数不在下表的同 一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 2 4 8 10 14 18
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(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项 和Sn.
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1－3n n 当n为偶数时，Sn＝2× ＋ ln 3 1－3 2 n n ＝3 ＋ ln 3－1； 2 n－1 1－3n 当n为奇数时，Sn＝2× －(ln 2－ln 3)＋ －nln 3 1－3 2 n－1 n ＝3 － ln 3－ln 2－1. 2 n n n为偶数， 3 ＋2ln 3－1， 综上所述，Sn＝ 3n－n－1ln 3－ln 2－1， n为奇数. 2
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
1 当 n 为偶数时，an－1＝－ n， 2 1 当 n 为奇数时，2an＋an－1＝ n， 2 1 1 ∴当 n＝4 时，a3＝－ 4＝－ . 2 16
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根据以上{an}的关系式及递推式可求． 1 1 1 1 a1＝－22，a3＝－24，a5＝－26，a7＝－28， 1 1 1 1 a2＝22，a4＝24，a6＝26，a8＝28. 1 1 1 ∴a2－a1＝2，a4－a3＝23，a6－a5＝25，…， ∴S1 ＋ S2 ＋ … ＋ S100 ＝ (a2 － a1) ＋ (a4 － a3) ＋ … ＋ (a100 － a99) － 1 1 1 1 ＋ 2＋ 3＋…＋ 100 2 2 2 2
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在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思 想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，
本 在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列， 哪些项构成等比数 讲 栏 列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的 目 开 各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后 关
解
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(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3. 故an＝2· 3n－1 (n∈N*)． (2)因为bn＝an＋(－1)nln an ＝2· 3n－1＋(－1)nln(2· 3n－1)
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1．数列求和的方法技巧
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(1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列 通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的 数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种 方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和，其中{an}，{bn}分 别是等差数列和等比数列．
主干知识梳理
常见的拆项公式： 1 1 1 ① ＝ － ； nn＋1 n n＋1 1 11 1 ② ＝ ( － )； nn＋k k n n＋k 1 1 1 1 ③ ＝ ( － )； 2n－12n＋1 2 2n－1 2n＋1 1 1 ④ ＝k( n＋k－ n)． n＋ n＋k 2．数列应用题的模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该 模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．
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(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的
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模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增 加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我 们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍 伐问题等． (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项 an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识 来解决问题.
第2讲
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数列求和及数列的综合应用
【高考考情解读】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题： 1．以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学 生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属 中档题. 2． 通过分组、 错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题， 考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用， 属中档题．
主干知识梳理
(3)倒序相加法 这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将 一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可 提， 并且剩余项的和易于求得， 则这样的数列可用倒序相加法
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求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过 程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于 1 求通项为 的数列的前 n 项和，其中{an}若为等差数列， anan＋1 1 1 1 1 则 ＝da －a . ＋ anan＋1 n n 1
再验证是否可以合并为一个公式．
热点分类突破
(2013· 湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan 1 － n，n∈N*，则： 2 (1)a3＝________；
本 讲 解析 ∵a ＝S －S ＝(－1)na － 1 －(－1)n－1a ＋ 1 ， n n n－1 n n－1 栏 2n 2n－1 目 1 开 n n－1 关 ∴an＝(－1) an－(－1) an－1＋2n.