中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?
(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【解析】
【分析】
（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20元，
答：这一星期中每件童装降价20元；
（2）设利润为w，
根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
2．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，
y=x+2，y=﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在
x 轴和y 轴上，抛物线21()4y x m n =
-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；
（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式； （3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？ 【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21(2)34y x =
-+；（3）抛物线向下平移
923-或2312距离，其顶点落在OP 上． 【解析】
试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；
（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；
（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为21()4y x m n =-+，∴21()14
y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21(2)24y m m n m =
-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；
∴D （2，3），∴抛物线解析式为21(2)34
y x =-+． （3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：
根据题意可得，D （2，3），∴OA ′=OA =4，OM =2，∴∠A ′OM =60°，∴∠A ′OP =∠AOP =30°，∴MN 3=33，∴抛物线需要向下平移的距离=333-=9233
-． ②如图，当点A ′在平行于x 轴的D 点的特征线时，设A ′（p ，3），则OA ′=OA =4，OE =3，
EA ′=2243-=7，∴A ′F =4﹣7，设P （4，c ）（c ＞0），，在Rt △A ′FP 中，（4﹣7）2+（3﹣c ）2=c 2，∴c =
1647-，∴P （4，1647-），∴直线OP 解析式为y =47-x ，∴N （2，827-），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣8273-=1273
+． 综上所述：抛物线向下平移923-或127+距离，其顶点落在OP 上．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标．
3．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。

（1）求函数3的图像上所有“中国结”的坐标；
（2）求函数y=
k x
（k≠0，k 为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标； （3）若二次函数y=2222(32)(241)k k x k k x k k -++-++-（k 为常数）的图像与x 轴
相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？
【答案】（1）（0,2）；（2）当k=1时，对应“中国结”为（1,1）（－1，－1）；当k=－1时，对应“中国结”为（1，－1），（－1,1）；（3）6个.
【解析】
试题分析：（1）因为x 是整数，x≠03是一个无理数，所以x≠03不是整数，所以x=0，y=2，据此求出函数3x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可． （2）首先判断出当k=1时，函数y=k x
（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判断出当k≠1时，函数y=
k x
（k≠0，k 为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标即可．
（3）首先令（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k=0，则[（k ﹣1）x+k][（k ﹣2）x+（k ﹣1）]=0，求出x 1、x 2的值是多少；然后根据x 1、x 2的值是整数，求出k 的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．
试题解析：（1）∵x 是整数，x≠0
是一个无理数，
∴x≠0
x+2不是整数，
∴x=0，y=2，
即函数
x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．
（2）①当k=1时，函数y=
k x
（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： （1，1）、（﹣1、﹣1）； ②当k=﹣1时，函数y=
k x
（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： （1，﹣1）、（﹣1，1）． ③当k≠±1时，函数y=k x
（k≠0，k 为常数）的图象上最少有4个“中国结”： （1，k ）、（﹣1，﹣k ）、（k ，1）、（﹣k ，﹣1），这与函数y=
k x （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，
综上可得，k=1时，函数y=
k x （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；
k=﹣1时，函数y=
k x
（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．
（3）令（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k=0，
则[（k ﹣1）x+k][（k ﹣2）x+（k ﹣1）]=0， ∴121{12k
x k k x k =
--=- ∴12122111
x x k x x +==++， 整理，可得
x 1x 2+2x 2+1=0，
∴x 2（x 1+2）=﹣1，
∵x 1、x 2都是整数，
∴211{
21x x =+=-或211{21x x =-+= ∴123
{1x x =-=或121
{1
x x =-=- ①当123{
1x x =-=时， ∵112k k
-=-， ∴k=
32； ②当121{
1x x =-=-时， ∵11k k
=--， ∴k=k ﹣1，无解；
综上，可得 k=32
，x 1=﹣3，x 2=1， y=（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k =[(32)2﹣3×32+2]x 2+[2×（32）2﹣4×32+1]x+（32）2﹣32
=﹣
14x 2﹣12x+34 ①当x=﹣2时，
y=﹣
14x 2﹣12x+34=﹣14×（﹣2）2﹣12×（﹣2）+34 =34
②当x=﹣1时， y=﹣
14x 2﹣12x+34 =﹣
14×（﹣1）2﹣12×（﹣1）+34 =1
③当x=0时，y=34
， 另外，该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中x 轴上的“中国结”有3个：
（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．
综上，可得
若二次函数y=（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k （k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，
该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．
考点：反比例函数综合题
4．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；
（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.
【答案】（1）21452
=-+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1．
【解析】
【分析】
（1）函数表达式为：()243y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解；
（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式，即可求解；
（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.
【详解】
解：（1）函数表达式为：()243y a x ==+，
将点B 坐标代入上式并解得：12a =-
， 故抛物线的表达式为：21452
=-+-y x x ；
（2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，
设直线AB 的表达式为：5y kx =-，
将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =，
故直线AB 的表达式为：25y x =-；
（3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ⎛
⎫-+- ⎪⎝⎭
， ①当AM 是平行四边形的一条边时，
点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，
同样点21,452P m m m ⎛
⎫-+- ⎪⎝⎭
向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，214542
m m s -+--=， 解得：6m =，3s =-，
故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-；
②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：424m +=+，2131452
m m s -=-
+-+， 解得：2m =，1s =，
故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；
故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.
5．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m .
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是85
s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-
1
3
x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为
y=-
1
3
x+3，再解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物
线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得
3
p q
q
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
3
3
p
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣1
3
x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3
x+3，
解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
，解得
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
7
3
20
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，则此时P点坐标为（
7
3
，
20
9
）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得1
3
+b=0，解得b=﹣
1
3
，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3x﹣
1
3
，
解方程组
223
11
33
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
--
⎪⎩
＝
＝
，解得
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
10
3
13
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则此时P点坐标为（
10
3
，﹣
13
9
）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
）.
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
7．如图，已知直线AB 与抛物线C ：2y ax 2x c =++ 相交于()1,0A -和点()B 2,3两点.
⑴求抛物线C 的函数表达式；
⑵若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA MB 、为相邻两边作平行四边形
MANB ,当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时四边形MANB 的面积S 及点M 的
坐标；
⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线17
y 4
=
的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】⑴2y x 2x 3=-++；⑵当12a =
，S □MANB =2S △ABM =274
，此时115M ,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
；⑶存在. 当15F 1,4⎛⎫
⎪⎝⎭时，无论x 取任何实数，均有PG PF =. 理由见解析.
【解析】 【分析】
（1）利用待定系数法，将A ，B 的坐标代入y=ax 2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； （2）过点M 作MH ⊥x 轴于H ，交直线AB 于K ，求出直线AB 的解析式，设点M （a ，-a 2+2a+3），则K （a ，a+1），利用函数思想求出MK 的最大值，再求出△AMB 面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标； （3）如图2，分别过点B ，C 作直线y=
17
4
的垂线，垂足为N ，H ，设抛物线对称轴上存在点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y=
17
4
的距离，其中F （1，a ），连接BF ，CF ，则可根据BF=BN ，CF=CN 两组等量关系列出关于a 的方程组，解方程组即可． 【详解】
（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax 2+2x+c ，
得，20443a c a c -+=⎧⎨++=⎩
，
解得a=-1，c=3，
∴此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，
将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，
得，
0 23
k b
k b
-+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，
解得，k=1，b=1，
∴y AB=x+1，
设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK=-a2+2a+3-（a+1）
=-（a-1
2
）2+
9
4
，
根据二次函数的性质可知，当a=1
2
时，MK有最大长度
9
4
，
∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK
=1
2
MK•AH+
1
2
MK•（x B-x H）
=1
2
MK•（x B-x A）
=1
2
×
9
4
×3
=27
8
，
∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，
S最大=2S△AMB最大=2×27
8
=
27
4
，M（
1
2
，
15
4
）；
（3）存在点F，
∵y=-x2+2x+3
=-（x-1）2+4，
∴对称轴为直线x=1，
当y=0时，x1=-1，x2=3，
∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），
如图2，分别过点B，C作直线
y=
17
4
的垂线，垂足为N，H，
抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=17
4
的距
离，设F（1，a），连接BF，CF，
则BF=BN=17
4
-3=
5
4
，CF=CH=
17
4
，
由题意可列：
2
22
2
22
5 (21)(3)
4
17
(31)
4
a
a
⎧⎛⎫
-+-=
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎨
⎛⎫
⎪
-+= ⎪
⎪⎝⎭
⎩
，
解得，a=15
4
，
∴F（1，15
4
）．
【点睛】
此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．
8．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，、交于A、B两点，如果直线y=m与、的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与、的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．
（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．
（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题．
试题解析：（1）∵二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，
∴，解得：，∴二次函数的解析式．
（2）∵=，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，），∴抛物线为
，由，消去y整理得到，设，是它的两个根，则MN===；
（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则
CD===，由，消去y得到
，设两个根为，，则
EF===，∴EF=CD，EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四边形．
考点：二次函数综合题．
9．抛物线，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线为“恒定”抛物线．
（1）求证：“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A；
（2）已知“恒定”抛物线的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见试题解析；（2），或．【解析】
试题分析：（1）由“恒定”抛物线的定义，即可得出抛物线恒过定点（﹣1，0）；
（2）求出抛物线的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在两种情况：①作QM⊥AC于M，则QM=OP=，证明Rt△QMC≌Rt△POA，
MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为，把点A坐标代入求出a的值即可；
②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为，把点C坐标代入求出a的值即可．
试题解析：（1）由“恒定”抛物线，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵抛物线，当x=﹣1时，y=0，∴“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A（﹣1，0）；
（2）存在；理由如下：∵“恒定”抛物线，当y=0时，，解
得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0时，y=，∴顶点P的坐标为（0，），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，∴PA∥CQ，PA=CQ，
∴存在两种情况：①如图1所示：作QM⊥AC于M，则QM=OP=，
∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，
∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵点A和点C是抛物线上的对称点，∴AM=MC=1，∴点Q的坐标为（﹣2，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点A（﹣1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：，即；
②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，∴点C坐标为（1，0），
∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点C（1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：；
综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：，或
．
考点：1．二次函数综合题；2．压轴题；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论．
10．已知二次函数y=﹣
3
16
x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣
9
2
）两点．
（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=﹣
3
16
x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请
说明情况．
【答案】（1）983
b c ⎧=⎪
⎨⎪=⎩；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【解析】
【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式求得b 、c 的值；
（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x 轴有交点，由题意得到方程﹣
239
168
x x ++3=0，通过解该方程求得x 的值即为抛物线与x 轴交点横坐标． 【详解】（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣
92
）分别代入y=﹣3
16x 2+bx+c ，
得3
39164162c b c =⎧⎪⎨-⨯-+=-⎪⎩，
解得983
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣316x 2+9
8
x+3， △=（9
8）2﹣4×（﹣3
16）×3=22564
＞0， 所以二次函数y=﹣316
x 2
+bx+c 的图象与x 轴有公共点， ∵﹣
316x 2+9
8
x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8， ∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．。