中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.

(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?

(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?

【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【解析】

【分析】

（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．

（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．

【详解】

解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，

解得：x＝40，

60﹣40＝20元，

答：这一星期中每件童装降价20元；

（2）设利润为w，

根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000

＝﹣10（x﹣50）2+4000，

答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．

【点睛】

本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．

2．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，

y=x+2，y=﹣x+4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在

x 轴和y 轴上，抛物线21()4y x m n =

-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部． （1）直接写出点D （m ，n ）所有的特征线；

（2）若点D 有一条特征线是y =x +1，求此抛物线的解析式； （3）点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将△OAP 沿着OP 折叠，点A 落在点A ′的位置，当点A ′在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上？ 【答案】（1）x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m+n ；（2）21(2)34y x =

-+；（3）抛物线向下平移

923-或2312距离，其顶点落在OP 上． 【解析】

试题分析：（1）根据特征线直接求出点D 的特征线；

（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （2）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．

试题解析：解：（1）∵点D （m ，n ），∴点D （m ，n ）的特征线是x =m ，y =n ，y =x +n ﹣m ，y =﹣x +m +n ；

（2）点D 有一条特征线是y =x +1，∴n ﹣m =1，∴n =m +1．∵抛物线解析式为21()4y x m n =-+，∴21()14

y x m m =-++，∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，D （m ，n ），∴B （2m ，2m ），∴21(2)24y m m n m =

-+=，将n =m +1带入得到m =2，n =3；

∴D （2，3），∴抛物线解析式为21(2)34

y x =-+． （3）①如图，当点A ′在平行于y 轴的D 点的特征线时：

根据题意可得，D （2，3），∴OA ′=OA =4，OM =2，∴∠A ′OM =60°，∴∠A ′OP =∠AOP =30°，∴MN 3=33，∴抛物线需要向下平移的距离=333-=9233

-． ②如图，当点A ′在平行于x 轴的D 点的特征线时，设A ′（p ，3），则OA ′=OA =4，OE =3，

EA ′=2243-=7，∴A ′F =4﹣7，设P （4，c ）（c ＞0），，在Rt △A ′FP 中，（4﹣7）2+（3﹣c ）2=c 2，∴c =

1647-，∴P （4，1647-），∴直线OP 解析式为y =47-x ，∴N （2，827-），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣8273-=1273

+． 综上所述：抛物线向下平移923-或127+距离，其顶点落在OP 上．

点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标．

3．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。 （1）求函数3的图像上所有“中国结”的坐标；

（2）求函数y=

k x

（k≠0，k 为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标； （3）若二次函数y=2222(32)(241)k k x k k x k k -++-++-（k 为常数）的图像与x 轴

相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？

【答案】（1）（0,2）；（2）当k=1时，对应“中国结”为（1,1）（－1，－1）；当k=－1时，对应“中国结”为（1，－1），（－1,1）；（3）6个.

【解析】

试题分析：（1）因为x 是整数，x≠03是一个无理数，所以x≠03不是整数，所以x=0，y=2，据此求出函数3x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可． （2）首先判断出当k=1时，函数y=k x

（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判断出当k≠1时，函数y=

k x

（k≠0，k 为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标即可．