圆锥曲线方程单元知识总结

圆锥曲线方程单元知识总结

【知识结构】

【命题趋势分析】

从近三年高考情况看，圆锥曲线的定义、方程和性质仍是高考考查的重点内容，三年平均占分20分，约为全卷分值的13.3%，在题型上一般安排选择、填空、解答各一道，分

别考查三种不同的曲线，而直线与圆锥曲线的位置关系又是考查的重要方面。

例1 （20XX 年江苏卷理科第13题）椭圆552

2=+ky x 的一个焦点是（0，2），则

k________________________________________。

分析 本题主要考查椭圆的标准方程，先将其化为标准形式，然后求解。 解 椭圆方程即11522=+x k

y ∴k

a 52= 12=

b ，∴由21522=-=-=k

b a

c 解得k=1。 点评 由焦点在y 轴上，其标准方程应化为122

22=+b

x a y 的形式，若此题变化为：已知曲线552

2=+ky x 的焦距为4，则k_____________________________________。 则应分两种情况讨论：（1）若为椭圆，则k=1；（2）若为双曲线，方程即为151

2

2=-k

y x

∴12=a ，由k b 52-=

，由25122=-=+=k b a c ，得3

5-=k 。

例2 （20XX 年全国卷理科第14题）双曲线116

92

2=-y x 的两个焦点为21F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为_________________________________。

分析 本题主要考查双曲线的定义，从“形”的角度看，只需求出21F PF Rt ∆斜边21F F 上的高，可用第一定义求解；从“数”的角度看，只需求出点P 的纵坐标0y ，先利用第二定义即焦半径公式表示出||1PF ，||2PF ，由勾股定理求出0x ，再代入双曲线方程即可求出0y 的值；由于点P 在以21F F 为直径的圆上，因此，解决本题一个最基本的方法，则是利

用交迹法求出点P 。

解法一 设n PF m

PF ==||||21，且由双曲线的对称性不妨设点P 在第一象限，则m ―n=2a ―6 ①，1004222=-+c n m ②， ②－①2得2mn=64，∵mn=32，作PQ ⊥x 轴于Q ，则在21F PF Rt ∆中，

5161032||21===F F mn PQ ，即点P 到x 轴的距离为5

16， 解法二 设)00)((0000>>y x y x P ，，，由第二定义可得

a ex c a x e PF +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=0201||，a ex c a x e PF -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0202||，∵21PF PF ⊥， ∴220204)()(c a ex a ex =-++，

即222022a c x e -=，这里a=3 c=5 35=e ，代入得415

30=x 。 ∴由双曲线方程得2525619162020

=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y ，∴5160=y 。 解法三 设)00)((0000>>y x y x P ，，，∵21PF PF ⊥

∴点P 在以21F F 为直径的圆上，即

252020=+y x ①，又点P 在双曲线上，

∴1449162020=-y x ②，由①，②消去20x ，得2525620=y ，∴5

160=y 。 点评 （1）由双曲线的对称性，可将点P 设定在第一象限内，而不必考虑所有的情况。

（2）解题的目标意识很重要，例如在解法一中只需整体求出mn 的值，而不必将m ，n

解出；在解法三中只需求0y 即可；

（3）在三种解法中，以解法三最简洁，因此，最基本的方法有时也是最有效的方法。 （4）如果将问题改为：当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是

________________________________。

那么，可先求出使21PF PF ⊥时的点P 的横坐标为41530=

x ，由图形直观及双曲线的范围可得，2000年高考理科第14题考查了椭圆中与此

类似的问题。

例3 （2000年全国卷理科第11题）过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛

物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q

p 11+等于（ ） A ．2a B ．a 21 C ．4a D ．a

4 分析 此题主要考查抛物线的定义与标准方程，可利用焦半径公式来解决。

解 抛物线方程即y a x 12=，记m a

=41，则F （0，m ），而直线PQ 的方程可设为x=k （y －m ），代入抛物线方程my x 42

=得 0)2(222222=++-m k my k y k ，

设)()(2211y x Q y x P ，，，，则

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22

12221,)2(2m y y m k k y y 而m y q m y p +=+=21，， 于是，m k

k m m k k m y y q p 222221)1(42)2(22+=++=++=+， 2222

212121)1(4)())((m k k m y y m y y m y m y pq +=+++=++=。 故，a m

pq q p q p 4111==+=+。

当k=0时，易证结论也成立，因而选C 。

点评 （1）由于所给抛物线的焦点在y 轴上，故其焦点是)410(a ，，焦半径公式是a y PF 41||1+

=，而不能写成a x PF 41||1+=。（2）解题中，令m a

=41以及将直线PQ 的方程设为x=k （y －m ），都是为了简化运算。（3）作为一道选择题，如此解法显然是不经济的，可以利用上节例5中的结论3直接得出结果，因此，记住一些重要结论，对提高解题效率无疑是有益的。（4）特例法也是解选择题的常用的解题方法，本题只需考虑PQ//x 轴，

即为通径的情况，可立即得出结果。

例4 （20XX 年全国卷理科第19题）设抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC//x 轴，证明直线AC 经过坐

标原点O 。

分析 本小题主要考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力，证明三点共线，只须证明OC 、OA 两直线的斜率相等，也可利用抛物线的性质证

明AC 与x 轴的交点N 恰为EF 的中点，从而N 与O 重合，证得结论。

解法一 易知焦点)02(，p F ，设直线AB 的方程是2

p my x +

=，代入抛物线方程得 0222=--p pmy y

设)()(2211y x B y x A ，，，，则 2

21p y y -=，即12

2y p y -=。 因BC//x 轴，且C 在准线1上，故点)2(2y p C ，-，且1212px y =，从而p

y x 2211=，从而

1122222y p y p p p y k OC =--=-=，12111122y p p

y y x y k OA ===， 于是，OA OC k k =，从而A 、O 、C 三点共线，即直线AC 经过原点O 。

解法二 如图，设准线1交x 轴于点E ，AD ⊥1于D ，连AC 交EF 于点N ，由AD//EF//BC ，