表格法解线性规划设计问题.doc

表格法解线性规划问题

【教学目标】

知识目标：理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.

能力目标：通过例子详细地介绍了表格法解线性规划问题的过程，

并引入了线性规划标准型的概念，归纳总结了表格法

解线性规划问题的步骤.

【教学重点】理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.

【教学难点】理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.

【教学设计】

1、表格法也称单纯形法，是解线性规划问题的常用方法，使用该

方法时，首先要将一般的线性规划问题化为标准型.在教材中给出了化标准型的方法.讲解时一定要注意b≥0 以及变量的非负性.

2、表格法解线性规划问题的过程，教材中归纳为五个步骤，这实

际上是一个算法，可以利用前面介绍过的算法知识来学习.

3、初始表格中初始解组的确定是关键，一般可取松弛变量，但当

标准型中没有这样的变量满足初始解组的要求时，通常要通过添加人工变量来解决，本教材没有就这方面的问题进行深入讨论（一般的运筹学教材中都可找到该内容）.

4、表格在转换时（通常称为转轴），教材中提到用加减消元法来转

轴.教师可就这部分内容作适当的讲解.

5、由于通常的表格转换要进行多次，而表头部分是不变的，因此

可以将多张表格合并起来，具体样式可参见5.5节表5- 16.

1

【教学过程】

5.3.1 线性规划问题的标准形式

求线性规划问题的图解法虽然直观简便，但对多于两个变量的情

况就不能适用了，对于多于两个决策变量的线性规划问题，可以用什么方法呢？

下面介绍一种用表格的方法来求解线性规划问题的解.

表格法是根据单纯形法而专门设计的一种计算表格.

单纯形法（Simple Method）是求解线性规划问题的主要方法，该法由丹赛（Dantzig ）于1947 年提出，后经过多次改进而成，是求解线性规划问题的实用算法. 由上节的叙述可知，如果线性规划问题的最优解存在，则必定可以在其可行解集合的顶点（极点）中找到．因此，寻求一个最优解就是在其可行域的各个极点中搜索最优点. 单纯形法实质上是一个迭代过程，该迭代即是从可行域的一个极点移到另一个近邻的极点，直到判定某一极点为最优解为止.

为使用表格法，首先介绍线性规划问题的标准形式.

一般的线性规划问题中目标函数可能是求最大( 或最小)值，而线性约束条件中可能是线性方程，也可能是线性不等式，约束条件中约束方程（或不等式）的个数也未必就比决策变量的个数少，这些问题对于线性规划的求解，带来极大的不便，为此，引入下述标准形式：

求目标函数最大值m ax Z c1 x1 c2 x2 c3 x3 ... c n x

n

( 用和式表示为

n max )

Z c x

j j

j 1

2

a 11 x

1

a

12

x

2

... a

1n

x

n

b

1

a x

21 1 a

22

x

2

... a

2n

x

n

b

2

满足............

a x m1 1 a

m

2

x

2

... a

mn

x

n

b

m

x 1 0, x

2

0,..., x

n

n

用和式表示为满足j 1 a

ij

x

i

b

i

,(i 1,2 ,3, ,m) x

j

0,( j 1,2,3, ,n)

其中，a ,b ,c (i 1,2,3, ,m; j 1, 2, ,n) 各都是确定的常数，

ij i j

x j 是决策变量，Z 是目标函数，( j 1,2, , n) a 叫做技术系数，

ij

b ≥0

i

（i 1, 2, m)叫做资源系数， c 叫做目标函数系数.

j

特点：

1、目标函数为极大化；

2、除决策变量的非负约束外，所有的约束条件都是等式，且右端常数均为非负；

3、所有决策变量均非负．

如果根据实际问题建立起来的线性规划模型不是标准型的，可以用下述方法将它化为标准型.

（1）若目标函数是

min Z c x c x c x ...

1 1

2 2

3 3

c

n x

n

可令z z' ,将目标函数转化为max ( ... )

Z c x c x c x c n x

'

1 1

2 2

3 3 n

（2）若约束条件不等式中是“≤”, 可在不等式左边加上非负变量，将不等式转化为方程. 如6x x ≤180 可转化为6x 2 180,其

1 2 1 x x

2 2 3

中x3 ≥0.这里的x3 叫做松弛变量. 表示没有用完的资源.

（3）若约束条件不等式是“≥”，可在不等式左边减去非负变量，将

3

不等式转化为等式方程，如 2x x ≥ 10 可转化为2 2 10

1 2 x 1 x x ，

2 2 4

其中， x 4 ≥ 0.这里的 x 4 叫做 多余变量 ，表示不存在的资源 .

一般地，松弛变量和多余变量的目标函数系数为0.

（4）若有一个变量 x 没有非负约束（叫做 自由变量 ），可 令

k

x ，

k x x l s

其中 x ≥ 0， l

x ≥ 0.

s

知识巩固

例 1 将 5.1节问题1 中的线性规划问题化为标准型

6x

1

2 x

2

180

约束条件

4x

1

3x

1

10x 2

5x

2 4 0 0

2 1 0

x

1

0, x

2

求目标函数最大值

m ax Z 31x 1 22x 2

解 分别对前三个约束条件引入松弛变量

x ，得标准型：

3 ,x ,xx ，得标准型：

4 5

6x

1

2x

2 x

3

180

约束条件

4x 1

3x

1

10x 2

5x

2

x

4

x

5

4 0 0

2 1 0

x 0, j 1, 2, 3, 5.

j

求目标函数最大值

m ax Z 31x 1 22x 2

5.3.2 表格法

下面我们通过实例来介绍表格法 .

首先要列出初始表格．为了得到初始表格，我们分几步来说明： 先把标准型中的约束条件方程转换成表格（表 5.4 ）的形式． 如:5.1问题1转化的结果为：