第4节 电子自旋与轨道运动的相互作用

设电子自旋角动量为： ps s 电子自旋角动量的取向数为： 2s 1 2
1 s 2
电子自旋的两个取向一个顺磁场，另一个反磁场。即在磁场方 向的角动量分别为: 1 2
价电子的轨道角动量和自旋角动量合成价电子的总角动量，由 于原子实的总角动量为零（后面的课程将介绍），原子的总角 动量等于价电子的总角动量。
n

RNa 2.9901 T3 D
n Z n

RNa 2 Z 2 T 3 3.655(m1 ) n l (l 1)
三个角动量就有如图的关系
电子自旋磁矩在轨道运动的磁场作用 下，应该绕着该磁场旋进。 从另一方面考虑，轨道运动也受到自 旋磁场的作用，也必须绕该磁场旋进。 按照角动量守恒原理，总角动量的方 向不变，因此ps和pl绕pj旋进，由于pj 是个守恒量，ps和pl的夹角不变。 附加运动引起附加能量，这是碱金属 能级精细结构的原因。
ps 和pl 就不能 平行或反平行
例如 l＝1，j＝1+1/2＝3/2，或 j＝1-1/2＝1/2
1 3 pl 2 1.41 , ps 0.87 , 2 2
pj
B
B
pj

3 5 pj 1.94 , 2 2
ps
s

s
j 3 2 j 1 2
ps
1 3 0.87 , 或 pj 2 2
pj
pl
ps
电子自旋角动量和轨道 角动量绕总角动量旋进
2.自旋—轨道相互作用能
电子自旋运动而具有自旋磁矩：
e e 1 3 h he s ps 3 1.7 B m m 2 2 2 4m
u
Z*e
B
r
Z*e
PS
B
-e
电子感受到的磁场： 0 Z ev 1 Z e pl B sin 2 4 0 m c2 r 3 4 r 如图，由余弦定理得：
r -e
m
B

u
pj
B
cos
p p p
2 j 2 l
2 s
pj

2 pl ps
ps
s

自旋—轨道相互作用能为：
2 2 2 1 e Z e 1 p j pl ps El ,s s B cos 40 m mc2 r 3 2
s
j 3 2 j 1 2
ps
考虑相对论效应后：
hcR 2 Z 4 El s 3 1 2n l (l ) 2
________
hcR 2 Z 4 El s 3 1 2n (l )l 1 2
________
hcR 2 Z 4 El s 3 1 2n l (l ) 2
________
1 r是一个变量，根据量子力学，可求得 3 的平均值，于是： r
hcR 2 Z 4 j 2 l 2 s 2 El,s 1 2 n3l (l )l 1 2
________
hcR 2 Z 4 El s 3 1 2n (l )l 1 2
________
3．双层能级中，j值较大的能级较高。
3．碱金属原子态符号
2
2s+1
Lj
j=+1/2 j=-1/2
0,1, 2, 3, 4, 5, S,P, D, F, G
4. 单电子辐射跃迁的选择定则
单电子辐射跃迁的选择定则
从碱金属原子的光谱中，可以得出这样的结 论，能级的跃迁只能发生在下列条件下:
l 1, j 0, 1
实验装置示意图
二、电子的自旋 美国物理学家克罗尼格（R.L.Kroning)提出电子绕自 身的轴自旋的模型，并作了一番计算。并急忙去找泡 利，但遭到泡利的强烈反对，并对他说：“你的想法 很聪明，但大自然并不喜欢它”。因泡利早就想到过 这一模型，并计算出电子速度要超过光速。所以必须 放弃。 半年后，荷兰物理学家埃斯费斯特的两个学生乌仑贝克和古德 史密特（G.E.Uhlenbeck and S.A.Goudsmit)在不知上述情形下， 也提出了同样的想法，并写了一篇论文，请埃斯费斯特推荐给 “自然”杂志。并将论文寄出。接着又去找洛仑兹，洛仑兹热 情地接待了他们。但一周后，洛仑兹交给他们一叠稿纸。并告 诉他们，如果电子自旋，其表面速度将超过光速，但论文已寄 出，他们后悔不已。
总角动量为：
pj
pl ps (l s) j ( j l s)
pl ps (l s) j ( j l s)
电子自旋角动量引起的 能量附加值为：
pl
B
ps
pl
B
s
ps
Els s B cos
a图（较大的j）的能量大于 b图（较小的j）的能量，附 加能量引起双层能级。
讨论：
2 4 hcR Z 双层能级的间隔： E n3l l 1
1．能级由n、j、l三个量子数决定， 当l=0时，j=s，能级不分裂； 1 当时 l 0，j l ，能级为双层。 2 2. 能级分裂的间隔由n、l决定
E 小，即 E4 p E4 d E4 f 当n一定时，l 大， E 小，即 E2 p E3 p E4 p 当l一定时，n 大，
2D 3/2
2P 1/2
2P 3/2 2D 3/2 2D 5/2
l 1, j 0,1
三线结构
l 1, j 0,1
三线结构
以上是量子力学对碱金属光谱精细结构的理论解释。
例 Na 原子光谱中得知其3D 项的项值T3D=1.2274×106m-1， 试计算该谱项之精细结构裂距。
已知 T3D=1.2274×106m-1 ， RNa=1.0974×107m-1
2 2 2 p p p 1 1 e Ze 1 j l s El ,s 2 4 0 m mc2 r 3 2
2 e 2 4 0ch 2 2 m e 4 R (4 0 ) 2 ch3
1 Z e2 h2 1 j 2 l 2 s2 40 2m2c 2 4 2 r 3 2
碱金属光谱的精细结构
2P 1/2
2P 3/2
选择定则
2S 1/2
2P 1/2 2P 3/2
主线系
l 1, j 0,1
双线结构
锐线系 2S （第二辅线系） 1/2
漫线系 （第一辅线系） 2D5/2 基线系 （柏格曼系） 2F7/2
2F 5/2
l 1, j 0, 1
双线结构
§ 4.4 电子自旋同轨道的相互作用
一、施特恩—盖拉赫实验 1921年施特恩和盖拉赫用实验证明了原子具有磁矩，磁矩的数 值和取向是量子化的。
银原子的实验结果： 当B=0时，P上只有一条细痕， 磁矩不受力的作用。 当B均匀时，P上仍只有一条 细痕，磁矩不受力的作用。 当B不均匀时，P上有两条细 痕，磁矩受力的作用。 怎样解释这一奇怪的现象呢？
论文发表后，海森伯表示赞许，后经爱因斯坦等人的努力， 物理界普遍接受了自旋的概念，但泡利始终反对。
泡利认为“一种新的邪说被引进了物理学”。应当说泡利并没 有错，两年后狄拉克建立了相对论量子力学，自然地得到了电 子具有内禀角动量的重要结论。
1. 电子自旋角动量和自旋磁矩 1925年，荷兰的乌伦贝克和古德史密特提出了电子自旋的假设： 每个电子都具有自旋的特性，由于自旋而具有自旋角动量和自 旋磁矩，它们是电子本身所固有的，是电子的属性之一，又称 固有矩和固有磁矩。 从运动的相对性原理，在固定于电子的一个坐标系中，相当于 带正电的原子实绕着电子运动，电子会感受到一个磁场的存在， 其方向为原子实绕电子运动的角动量方向，因而电子自旋取向 就必须量子化，不同的取向具有不同的能量。 从实验上分析，碱金属能级是双层的，因而可以认为电子自旋 有两个取向。
pj
s

ps pl
a
psbpl源自j l1 2 pj
1 2
j l
根据量子力学角动量具有以下的形式：
Pl l( l 1) l *
* 其中l*为简略符号 l l( l 1)
Ps s( s 1) s * , ( s 1/2)
Pj
j( j 1) j * , ( j l s或l s )