高考数学总复习提素能高效题组训练5-1

[命题报告·教师用书独具]
一、选择题
1．把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．
则第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29
D ．30
解析：观察三角形数的增长规律，可以发现第一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
答案：B
2．(2013年合肥模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x
－1 (x ≤0)，
f (x －1)＋1(x ＞0)，
把函数g (x )＝f (x )
－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )
A ．a n ＝
n (n －1)2
(n ∈N *
) B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝a －1(n ∈N *)
D ．a n ＝2n －2(n ∈N *)
解析：作为选择题，本题有一种有效的解法是先确定函数的第1,2,3，…有
限个零点，即数列的前几项，然后归纳出其通项公式，或代入选项验证即可，据已知函数关系式可得
f (x )＝⎩⎨⎧
2x －1(x ≤0)，
2x －1(0＜x ≤1)，
2
x －2
＋1(1＜x ≤2)，
…
此时易知函数g (x )＝f (x )－x 的前几个零点依
次为0,1,2，…，代入验证只有C 符合．
答案：C
3．(2013年温州测试)已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7
a 3
＝( )
A ．2
B ．4
C ．5
D.52
解析：依题意得，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2
a n ＝2，数列a 1，a 3，a 5，a 7，…
是一个以5为首项，以2为公比的等比数列，因此a 7
a 3
＝4，选B.
答案：B
4．(2013年九江七校联考)数列{a n }的通项a n ＝n
n 2＋90，则数列{a n }中的最大
值是( )
A ．310
B ．19 C.119
D.1060
解析：因为a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n ≤1290
，由于n ∈N *
，
不难发现当n ＝9或10时，a n ＝1
19最大，故选C.
答案：C
5．在数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝b ，且a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 012＝( )
A ．0
B ．a
C ．b
D ．a ＋b
解析：由题意可得a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝b －a ，a 4＝(b －a )－b ＝－a ，a 5＝(－a )－(b －a )＝－b ，a 6＝(－b )－(－a )＝a －b ，a 7＝(a －b )－(－b )＝a ，a 8＝a －(a －b )＝b …于是可知数列{a n }是以6为周期的周期数列，又S 6＝0,2 012＝6×335＋2，所以S 2 012＝a 1＋a 2＋335S 6＝a ＋b .
答案：D 二、填空题
6．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 2＝55，且a n ＋1·4＋1
a 2n ＝1(n ∈
N *)．则数列{a n }的通项公式为________．
解析：∵a n ＋1×
4＋1
a 2n
＝1(n ∈N *)，
∴1
a 2n ＋1－1
a 2n
＝4(n ∈N *)． ∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a 2n 是等差数列，公差
d ＝4.
∴1a 2n
＝1a 22
＋(n －2)×4＝5＋4n －8＝4n －3，∴a 2n ＝
14n －3
. ∵a n ＞0，∴a n ＝1
4n －3
(n ∈N *)． 答案：a n ＝
1
4n －3
7．数列{a n }满足a n ＋
1＝⎩⎪⎨⎪⎧
2a n ，0≤a n ≤1
2，2a n －1，1
2＜a n ＜1，
a 1＝3
5，则数列的第2 013项
为________．
解析：∵a 1＝35，∴a 2＝2a 1－1＝1
5. ∴a 3＝2a 2＝25.∴a 4＝2a 3＝4
5， a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝1
5，…， ∴该数列的周期T ＝4.∴a 2 013＝a 1＝3
5.
答案：3
5
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫
78n ，则当a n 取得最大值时，n 等
于________．
解析：由题意知⎩⎨⎧
a n ≥a n －1，
a n ≥a n ＋1，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n
－1
，
(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥(n ＋3)⎝ ⎛⎭
⎪⎫78n ＋1
.
解得，⎩⎨⎧
n ≤6，
n ≥5.∴n ＝5或6.
答案：5或6
9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 的值为________．
解析：∵S n ＝n 2－9n ，
∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，
a 1＝S 1＝－8适合上式．∴a n ＝2n －10(n ∈N *)． ∴5＜2k －10＜8.解得7.5＜k ＜9.∴k ＝8. 答案：8 三、解答题
10．(2013年合肥质检)已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于1
1 000？ 解析：(1)a n ＝
a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2
a 1·a 1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2＋…＋(n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －1)n 2，∴a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n (n －1)2.
(2)当n ≤4时，(n －1)n 2≤6，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －
1)n 2≥1
64，
当n ≥5时，(n －1)n 2≥10，a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12(n －
1)n
2≤11 024.
∴从第5项开始各项均小于1
1 000.
11．(2012年高考大纲全国卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2
3a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．
解析：(1)由S 2＝4
3a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3. 由S 3＝5
3a 3得，3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝3
2(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.
当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋1
3a n －1， 整理得a n ＝n ＋1
n －1a n －1
.
于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n
n －2a n －2，
a n ＝n ＋1n －1a n －1
.
将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得 a n ＝n (n ＋1)2.
综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)
2.
12．(能力提升)(2013年长春模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足4b 1－1·42b 2－1·43b 3－1·…·4n b n －1＝(a n ＋1)n ，求数列{b n }
的通项公式．
解析：(1)∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． ∴a n ＋1＋1a n ＋1
＝2. ∵a 1＝1，a 1＋1＝2≠0，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)∵4b 1－1·42b 2－1·43b 3－1·…·4n bn －1＝(a n ＋1)n ，
∴4b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋n bn －n ＝2n 2，
∴2(b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n )－2n ＝n 2， 即2(b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n )＝n 2＋2n ，① 当n ≥2时，
2[b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1]＝(n －1)2＋2(n －1) ＝n 2－1，②
由①－②得2nb n ＝2n ＋1(n ≥2)，b n ＝1＋1
2n (n ≥2)． 易知当n ＝1时，4b 1－1＝a 1＋1＝2，得b 1＝3
2，满足上式， ∴b n ＝1＋1
2n (n ∈N *)．
[因材施教·学生备选练习]
1．(2013年鞍山模拟)函数f (x )满足：当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，且对任意正数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，若数列{a n }满足f (a n ＋1)－f (a n )＝f (3)，n ∈N *，a 3＝27，则a 1的值为( )
A ．1
B ．3
C ．6
D ．9
解析：由f (xy )＝f (x )＋f (y )， ∴f (xy )－f (x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
xy x ，
即对任意的正数x ，y ，有f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x y ，
∴由f (a n ＋1)－f (a n )＝f (3)得f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
a n ＋1a n ＝f (3)，
∴a n ＋1
a n
＝3.
∵a 3＝27，∴a 1＝3.故选B. 答案：B
2．(2013年皖南八校模拟)已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且当n ＝1时其图象过点(2,8)，则a 7的值为( )
A.12 B ．7 C ．5
D ．6
解析：由题知y ′＝2a n x ，∴2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)． ∴a n －a n －1＝1
2.又n ＝1时其图象过点(2,8)， ∴a 1×22＝8，得a 1＝2.
∴{a n }是首项为2，公差为1
2的等差数列， a n ＝n 2＋3
2，得a 7＝5.故选C. 答案：C
3．(2013年银川联考)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1
a n
，记数列{a n }的
前n 项之积为Πn ，则Π2 011的值为( )
A ．－12
B ．－1 C.12
D ．2
解析：由a 1＝2，a 2＝1
2，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而Π2 011＝Π1＝2.
答案：D。