(完整版)上海高一函数的奇偶性的典型例题

专题二 函数奇偶性
一般地，对于函数f(x)
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

（3）如果对于函数定义域内的任意一个x ，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

（4）如果对于函数定义域内的任意一个x ，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义．
奇偶函数图象的特征
定理
f(x)为奇函数等价于f(x)的图像关于原点对称
点（x,y ）→（-x,-y ）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

函数的奇偶性的典型例题
一、关于函数的奇偶性的定义
定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：
⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；
函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。

二、函数的奇偶性的几个性质
①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；
③、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；
)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；
④、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f
)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f
⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下：
①、定义域是否关于原点对称；
②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2
432)(x x x f += ⑶、1
)(2
3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=
例2：判断函数⎩
⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。

四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。

命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。

命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。

命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。

命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。

命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。

命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。

命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。

五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。

六、关于奇偶函数的图像特征
例1：已知偶函数)(x f y =在y 轴右则时的图像如图（一）试画出函数y 轴右则的图像。

七、关于函数奇偶性的简单应用
1、利用奇偶性求函数值
例1：已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f
2、利用奇偶性比较大小
例2：已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。

3.利用奇偶性求解析式
例3：已知)(x f 为偶函数时当时当01,1)(,10<≤--=≤≤x x x f x ，求)(x f 的解析式？
图（二）
图（一）
4、利用奇偶性讨论函数的单调性
例4：若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？
5、利用奇偶性判断函数的奇偶性
例5：已知函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判断cx bx ax x g ++=23)(的奇偶性。

6、利用奇偶性求参数的值
例6：定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)123()12(22+-<++a a f a a f ，则a 的取值范围是如何？
7、利用图像解题
例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图
象如右图,则不等式()0<x f 的解是 .
8.利用定义解题
例8.已知函数1().21
x f x a =-
+，若()f x 为奇函数，则a =________。