圆锥曲线齐次式与点乘双根法

一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值

例1：12,Q Q 为椭圆22

2212x y b b

+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂

线OD ，求D 的轨迹方程.

解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，

联立22

2212y kx m

x y b b

=+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以

22222221212222222

2()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++

因为12OQ OQ ⊥所以

222222222222

1212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++

22232(1)

m b k ∴=+*

又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2

00000

x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200

x k y x y m

y ⎧

-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：22

20023x y b +=.

解法二（齐次式）：

设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立22

22222211

11022mx ny mx ny x y x y b b b b

+=+=⎧⎧⎪⎪

⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 222

22()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b

+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2

2

2

22

2

2

(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2

x ，则

222

2

2

2

22

1222

12(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n

---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，

22

2212122m b b n -=-- 22232()

b m n ∴=+*

又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即2

00000

x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0

2200022

00

x m

x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨

⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：22

20023x y b +=. 例2：已知椭圆2

214

x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.

解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：

旧坐标 新坐标

(,)(',')x y x y ⇒

即(0,1)(0,0)⇒

所以''

'1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨

⎨

=-→⎩⎩

原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒

+=-则转换到新坐标就成为：1212''

1''

y y x x +=- 12''1k k +=-即

设直线l 方程为：''1mx ny +=

原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22

'4('1)4x y ++=

展开得：22

'4'8'0x y y ++=

构造齐次式：2

2

'4'8'('')0x y y mx ny +++=

整理为：22

(48)'8'''0n y mx y x +++=

两边同时除以2

'x ，则2

(48)'8'10n k mk +++=

所以128''148m k k n +=-

=-+所以1

2212

m n m n -=⇒=+

而''1mx ny +=1

'

()''1('')102

2

x n x ny n x y ∴++=⇒++

-=对于任意n 都成立. 则：''0

'2''2102

x y x x y +=⎧=⎧⎪

⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-.

例3：已知椭圆22182

x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.

解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：

旧坐标 新坐标

(,)(',')x y x y ⇒

即(2,1)(0,0)⇒

所以'2'

'1'

x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨

⎨

=-→⎩⎩ 原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒

+=--则转换到新坐标就成为：1212''

0''

y y x x += 12''0k k +=即

设直线AB 方程为：''1mx ny +=

原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22

('2)4('1)8x y +++=

展开得：22

'4'4'8'0x y x y +++=

构造齐次式：22

'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=

整理为：22

'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=

两边同时除以2

'x ，则2

(48)'(48)'140n k n m k m +++++=

所以1248''048n m

k k n

++=-

=+所以2n m =-

而''1mx ny +='(2)'1210mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=

2

k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12

.